Dans ce dernier cas, j'ajouterai encore une observation

Ayant, pour toutes les valeurs de x comprises entre- et

Tégalilé

(t r )x f( xr )

je remarque que, si/(;) c[f{f^) sont de même signe et si l'équation •i(.r) = o n'a aucune racine comprise entre o et -|- i , *l(x)

d*où Ton déduit

ALGEBRE.

Or le nombre des alternances de la suite

-4-4 — JtH-a — 2-+-6-+-a2

étant nul, Téquation ^(x) = o n'a aucune racine positive inférieure à Tunité et, par suite, l'équation proposée n'a aucune racine comprise entre -h i et -h 2. Elle a donc une racine négative et quatre racines imaginaires.

13. La propriété fondamentale des coefficients du polynôme ^(x) peut s'énoncer ainsi :

Le nombre des racines de l'équation /{x) = o, qui sont comprises entre les nombres Ç et t;, est au plus égal au nombre des variations que présente la suite

Pq, Pi, P«,

Il est nécessaire d'examiner les simplifications qui se présentent, lorsque le polynôme /(x) présente des lacunes. Soit, pour fixer les idées, l'équation

Bx»-(-CT"-r-Dxi« = o;

formons la suite

= A - Bt,>

-^Cv -hDt.<»,

= A-r-Br.»

-Ct.- --Dît.».

- A-^Bt.»

Cv -r-DÎ'r.»,

-^Cv -^Dt»r.-,

- A -^ Bt.»

-Cîr.« -Dt»r.«.

= A -T^ Bt.»

-Cî«T.»-Dλr.»,

= A -,- Bt,»

•CλT/-^Dt*v,

= A-t-Bt.»

-Cî'T.'-DÎ-T,'.

= A - fi'-r,'-

^CλT.Î-^DλT.Î,

-C;«T. ^Di'T.

- Cr Dî'".

A l'égard du nombre des variations que présente la suite de ces nombres, on peut remarquer que les termes Po, P< , P2 et P3 peuvent s'écrire de la façon suivante

Û-hDT,»o, i2-hD$r,», û-f-n$«r,», i2-+-D$»r,^

OÙ j'ai posé, pour abréger,

Il est clair que ces quantités vont toutes en croissant ou toutes en décroissant, le nombre des variations qu'elles présentent se réduit donc au nombre des variations des deux termes P© et P3 et l'on peut supprimer les termes P< etPa; on démontrerait de même qu'on peut ne tenir aucun compte des termes P4, P5, Pc, Pg et P..

Il suffit ainsi de considérer la suite

D'une façon un peu plus générale, soit l'équation (i) /(r) = A -+- Bx^ -i- Cxy -^ Dx^ -i- K.T^ = o,

OÙ ^, y, 0, e désignent des nombres entiers positifs croissants; on établira comme ci-dessus la proposition suivante :

^n désignant par ^ etr\ deux nombres positifs, dont le plus grand soit tj, le nombre des racines de V équation f{x) = o, çui sont comprises entre Ç et ri, est au plus égal au nombre des 'variations que présente la suite des nombres

-hBt^P

-4-CrJ

Dr,S

Er,s

-f-BT,P

-hCrJ

Dr, 8

-St8