Los t'quatûiits importantes de la forme
se ramènent it une équ.>lion de la forme coosidérée précédemment <ea posant r'= s: d"où la pro(H>sîtion suivante, qui s'étend évïdemmenl au cas où le prt-niier membre contient nn nombre quelconque de termes, mais que, jKtur plus de clarté, j'énoncerai seuleroeDl dans un cas particulier.
£m tirsif^mnnt p^ir l rt r. druj- n<.nnbrr-s positifs oit négatifs tkmt Ifptus îrnutit stut t.. |iar a, Z. -■. Z el i des nombres quel- «wtfWT». t''osil(fs OM mt-S'itiff. quf je supposerai rangés par
SUR QUELQUES POINTS DE LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. igij
ordre croissant de grandeur , le nombre des racines de l'équation
qui sont comprises entre $ et '/\, est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes de la suite
A tf «rj ^ B ePl -+- C eï^ -+- D e^fi H- E g'e-8JÇ+S/j ^
Atf») ^ Be?^ -f- Cem -+- De^à-y)k^yri ^ Ec«î-Y'5+-Tnn,
A^aYj ^ BeP^i -+- Ce^y-^^^^^Pn -+- Dc^S-p)5-Hp/i -h Ee^s-P^S-^Ptj^ Ae«Ç-+-Bc?5 -f-GeY^ -f- De^Ç -hE^s?;
il est clair que, si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre pair.
Le théorème de Fourier peut aussi s'appliquer, mais d'une façon moins facile, aux équations de la forme précédente; il exige en effet \^voir le Mémoire de M. Stern Sur la résolution des équations transcendantes {Journal de Crelle, tome 22)] que ron calcule les dérivées de F(j:) jusqu'à ce qu'on arrive à une dérivée qui ne change pas de signe dans l'intervalle considéré; ce qui peut exiger de longs calculs et amener souvent à tenir compte d'un très grand nombre de termes.
13. Les propositions qui suivent se rattachent à des considérations entièrement différentes de celles qui font l'objet des paragraphes précédents.
Étant donnée l'équation générale du degré n
il existe toujours une infinité de systèmes de nombres
^0» 3£|, a2, . . . , at/i,
tels que, si l'équation f{x^ = o a toutes ses racines réelles, il en est de même de l'équation
•200 ALOERIIK.
Il paraît difficile de délermincr, d'une façon précise, les conditions auxquelles doivent satisfaire les nombres a/, lesquelles d'ailleurs ne dépendent que de la valeur attribuée au nombre entier /i.
Je laisserai entièrement de côté ce problème et m'en tiendrai aux considérations suivantes, qui peuvent, dans certains cas, trouver d'utiles applications.
16. Soient /(j:) un polynôme entier, du degré /i, ayant toutes ses racines réelles, et a un nombre positif; il est clair que l'équation
a également toutes ses racines réelles.
Pour le voir, il suffit, dans le cas où toutes les racines de f{jc) sont inégales, de mettre l'équation précédente sous la forme
et la proposition subsiste évidemment quand f{x) a des racines égales.
En mettant en évidence les coefficients /(j:) et en posant
/( jr) = ^y -h ai jr -h «iX* H- . . . -+- a/jj?" , l'équation (i) peut s'écrire
cio^t H- «ifa -f- \)x -{- <7î(a -H 'i)x^-^- . . . -f- «„(a -t- n)x'^ = o.
Comme elle a encore toutes ses racines réelles, on peut encore en déduire une infinité d'équations jouissant de la même propriété; telle sera, en général, l'équation
«0^(0) H- «i F(i).:r -4- </jF(j>).a"* -h ... -h o„F(/i). jr« = o, V {x) désignant un polynôme entier de la forme
\{x -\- H) {x — Hx) {X — ti) ... (t -+- a^),
où les a/ sont des quantités positives arbitraires et en nombre ([iielconque.
SUR QUELQUES POINTS DE LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. aoi
La même chose aura lieu évidemment quel que soit le nombre k^ à regard de l'équation
aoF(o)-ha, F(i)e*a?-i-«,F('2)e«^.r»H-...-i- cr«F(/i)e«^j7« = o.
que l'on peut écrire
(a) aoO(o) -+- «16(1)37 -f- aje(2)x'-f-. . .-+- anS(n)x^ = o,
si Ton pose
B(x) = ke*^^(x -4- a) (a:-4- «i) . . . (x -h a„).
Comme le nombre des quantités a/ peut croître au delà de toute limite et que le nombre k est arbitraire, on peut supposer que 0(j?) soit une fonction entière du genre zéro ou du genre un.
D'où la proposition suivante :
En désignant par ^{ûc) une fonction entière quelconque, ne s' annulant que pour des valeurs réelles et négatives de x et dont les éléments simples sont des polynômes entiers, des exponentielles de la forme e^', des fonctions entières du genre zéro ou du genre un, si l'équation f{x) = o a toutes ses racines réelles, il en est de même de l'équation (si).
17. Comme application, considérons la fonction G(j?), de M. Weierstrass, qui est l'inverse de l'intégrale eulérienne T{x),
La fonction G(a:-haj) ne s'annule que pour x ^= — w, X -= — ((O -+- 1) , etc.; si donc co est positive, G{x -h w) satisfait aux conditions énoncées ci-dessus et l'on voit que, l'équation (1) ayant toutes ses racines réelles, il en est de même de l'équation
r(ci>) r(u)H-i) r(w-+-9.) r((o-h/i)
que l'on peut écrire
Oo H- J H • X^ H ; X*
10 tu ^^ (D -4- I ) (0 ( oj -f- I ) ( w H- •;». )
ftn
io( (O -f-i ) . . . ( (O -T- /i — I ;
ao2 ALOKBRE.
J'ajouterai que le théorème subsiste encore pour les valeurs de (o comprises entre — i et o (par conséquent pour toutes les valeurs de w supérieures à — i), si l'équation f(x)z= o a toutes ses racines de même signe.
18. En faisant usage de la proposition précédente (•), on démontrera aisément le théorème général qui suit :
En désignant par q un nombre positif quelconque égal ou inférieur à V unité, et par H et B(j:) deux fonctions entières quelconques, ne s' annulant que pour des valeurs réelles et né^ gatives de x et dont les éléments simples sont des polynômes entiers, des exponentielles de la forme e^^, des fonctions entières du genre zéro ou du genre un, si V équation f{x) •= o a toutes ses racines réelles, il en est de même de Inéquation
û(.r) = aoe(o)H-a,gjIj ^^H-a, ^^^^^^ q^x^^a, h(o)H(OH(^) ^'^
On voit ainsi qu'on satisfait au problème, posé au commencement de ce paragraphe, en faisant, quels que soient les coefficients «0» ^ii • • •> ^/ï (pourvu que l'équation y*(^) = o ait toutes ses racines réelles)
ao = e(o), «i = HTi)^' "*=H(o)?i(.)^'' "•'
on obtiendrait encore une solution plus générale en considérant Téqualion x^iî ( - ) = o, qui a le même nombre de racines réelles que l'équation û(x) = o.
19. Pour appliquer ce qui précède à un exemple simple, je considérerai l'équation
dont toutes les racines sont réelles.
( ') Voir, i\ ce sujet, mon .)fémoire sur la théorie des équations numériques,
Sun QUELQUES POINTS DE LA TnÊORlE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 203
Faisant B(^) = i , 5^ = i et H(a:) = j: + i , on voit que i'équa-
lion
ç(ar) = i-h/i- H .' h -i^ 'Al ï -f-
a toutes ses racines réelles et négatives; proposition bien connue. Il en est de même de Téquation
X n(n — i) X* n{n — i)(ai — 2) x^ ^
IH- /l - H ■ -H
or le premier membre, quand n croit indéfiniment, a pour limite la fonction de Bessel
De là résulte, en vertu d'une proposition que j'ai fait connaître dans une Note insérée dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences, que if{x) est une fonction du genre zéro, ou du moins le produit d'une pareille fonction par une exponentielle de la forme e*^, a étant un nombre essentiellement positif. On a donc
F(d:) étant une fonction du genre zéro et n'ayant que des racines négatives.
Je veux maintenant prouver que le nombre a est nul ; à cet effet, je remarque que i({x) satisfait à l'équation linéaire du
second ordre
xY(x) -h '^'{x) — '^{x) = o,
d'où l'on déduit
(3 ) O'H =— (2a-H - ) T7-7— ( — -FT
Quand x prend des valeurs positives de plus en plus grandes, le premier membre a pour limite a^\ cherchons la limite du second membre. *
En désignant par ai, a^, a.,, ... les valeurs absolues des ra-
:io4 ALGÈBRE.
cines de l'équation F(x) = o (je suppose ces nombres rangés par ordre croissant de grandeur), on a
F (07) X -r- ai X -h ttf X -h Oj
où le second membre est convergent pour toute valeur positive de x, puisque, F(j?) étant du genre zéro, la série
ai ai «3
est elle-même convergente.
Soit S^ la somme des p premiers termes de la série contenue dans le second membre de l'égalité (4), on a
cette quantité tend vers zéro, quel que soit /?, quand x croît indéfiniment : donc S^ a pour limite zéro, et il en est de même
On a d'ailleurs
¥'{x) __ __ 1 I __ii
F ix) ~~"~ (jT-f-rt,)* " {X -{-a^y (j-H-a,)*
\^x -X- ai j- -H aj ^ -h «3 J
on voit, a fortiori, que =r4 — ( a pour limite zéro.
D'où il suit, le second membre de l'identité (3) ayant pour limite zéro, que a est nul.
La transcendante de Bessel est donc une fonction du genre zéro.
20. Aux considérations précédentes se rattache encore le théorème qui suit :
Si r équation
f(x) = (to -h (ti.r — </jj^î -h r/.T./'* -h . . . -h ^#/,^" = o
SUR QUELQUES POINTS DE LA THEORIE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. ao5
a toutes ses racines réelles et de même signe, V équation
o^cosX H- aiCos(X -f- ^)x 4- €iiCos(X -h 20)vr* -h €i3Cos(X -h 36)j"' -+-...
-t- rt«cos(X -4- wO)jr« = o,
ou\ et^ désignent deux arcs arbitraires, a toutes ses racines réelles.
Pour le démontrer, je m'appuierai sur celte remarque importante due à M. Hermite (*) :
Si, pour toutes les racines de Téquation F(a:) = o, les coefficients de i sont de même signe et si, mettant en évidence dans le polynôme F(x) la partie réelle et la partie imaginaire, on
pose
les racines de Téquation
où a et P désignent des nombres arbitraires, sont toutes réelles. Considérons maintenant Téquation
(5) /[a7(cosco H- isinw)] = o;
dont les racines, en désignant par Ati, Âr2, A^, ... les racines de réquation/(j:) = o, sont
A'i(cosco — i'sinw), A:j(cosaj — ^sinio), A*3(cosw — ^sinco), ....
11 est clair, puisque les kg sont tous de même signe, que le coefficient de i a le même signe dans toutes les racines de l'équation (5).
Or on a
y[jr(cos<i>-f- «sinco)] = ao-f- aicosio. j:-f-a2COS2a>.j7*-4-. . .-4- a,|COsnai. x'» -+- i[a|Siii (0.37-1- ajsin 2(0. j* -h. . .-h «,,8111/1(0.07'»].
(•) Sur l'indice des fractions rationnelles {Bulletin de la Société math,, l. VII, p. i3i); voir également, sur ce sujet, mes Notes sur la résolution des équations numériques, p. 4^.
3o6 ALGÈBRE.
En vertu du théorème de M. Hermite , on voit donc que Téquation
cosX[ao -f- ajcosw.ar -+- afCOS'xoy.x* -h . , . ] — sinX[a|Sin(i).â7 h- ajsinaco.a?* H- . . . ] = o
a toutes ses racines réelles, quels que soient les arcs réels X et co. Or cette équation peut s'écrire
rïoCosX ■+- aiCos(X -h (i>)x -+- asCos(X -+- 2a))ar* -h. . .
H- €irtCos(> H- no})x'* = o;
ce qui démontre la proposition que j'avais énoncée.
SUR
