L'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ
Nouvelles Annales de Mathématiques, 2* série, t. IX; 1870.
Soient F(x) el/{x) deux polynômes du troisième degré par rapport à la variable x; ^désignant une quantité arbitraire, considérons l'équation
Soit V le discriminant de cette équation; V est, comme on le voit facilement, une fonction entière et du quatrième degré de y. En regardant j^ comme inconnue, Téquation
a quatre racines; désignons par a, 6, c trois quelconques de ces racines.
Si, dans Téquation (1), on donne ky la valeur a, Téquation résultante a deux racines égales; soient X la valeur commune à ces deux racines et a la valeur de la troisième racine.
Pour abréger, représentons aussi par
le coefficient de x^ dans le premier membre de l'équation (i). On a identiquement
- F(a:)- a/(3r)= g{a){x - \)*(x - a), d'où
en désignant respectivement par jjl, v et ^, y les quantités ana-
ao8 ALOKBRE.
logues à )v et à a et relatives aux deux racines 6 et c de Téqualion (a), on a de même
et
=z X fl
= ar — V.
Multiplions la première des trois relations précédentes par ([jl — v), la deuxième par (v — ).), la troisième par (X — jjl) et additionnons, membre à membre, les équations ainsi obtenues; il vient
fi-v . /-h\x)-^/{T) ^ v-X /-^F(x)—b/{x)
Celle relation est une identité qui doit être vérifiée, quelque soitx. On peut la mettre sous la forme suivante :
Si maintenant on suppose que x ne désigne plus une quantité arbitraire, mais une racine de Téquation (i), on a
•^" Ai y
et si Ton pose, pour abréger,
v/^(a) Vé-i^) )/^{c)
on a la relation suivante
SUR L*ÉQUATION DU TROISIÈME DEQRÉ. 20i)
Voilà ainsi une forme irrationnelle que Ton peut donner à Téquation (i); d'après ce qui précède, cette transformation peut être faite de quatre façons différentes, puisque Ton peut employer, pourTeflectuer, trois quelconques des racines de l'équation
Si l'on considère y et x comme les coordonnées rectangulaires d'un point mobile du plan, on peut dire que l'équation (3) est une forme particulière de l'équation de la courbe du quatrième ordre représentée par l'équation (i).
Pour parler plus exactement, les points de cette courbe satisfont à l'équation (3); mais cette dernière est plus générale.
En effet, si l'on fait disparaître de cette équation les irrationnalités, en effectuant le produit des différentes valeurs que prend son premier membre, quand on donne aux radicaux les divers signes dont ils sont susceptibles, on obtient une équation
dans laquelle U est un polynôme entier du quatrième degré en x et du deuxième degré Qny.
Il résulte de ce qui précède que U doit être exactement divisible par
U est donc égal au produit de ce polynôme par un facteur qui est nécessairement du second degré en x et en y^ et du premier degré par rapport à chacune de ces variables.
Géométriquement, ce second facteur, égalé à zéro, représente une hyperbole équilatère.
On voit ainsi que l'équation (3) représente à la fois la courbe représentée par l'équation (i) et une hyperbole équilatère ayant ses asymptotes parallèles aux axes.
Ces deux courbes jouissent toutes les deux de la propriété géométrique exprimée par l'équation (3), propriété très simple que je me dispenserai de transcrire ici.
2IO • ALOEBRF.
On peul se demander, a priori, étant donnée Téquation (3), de déterminer quelle relation il doit exister entre les coefficients de cette équation, pour que la courbe qu'elle représente se décompose en une hyperbole équilatère ayant ses asymptotes parallèles aux axes et une autre courbe, qui est alors nécessairement représentée par une équation de même forme que Téquation (i).
Si celte décomposition a lieu effectivement, on doit pouvoir satisfaire à Téquation (3) par une valeur de x de la forme
ry -\- s
Remarquons maintenant que Ton peut toujours trouver quatre nombres : /?, q^ r et s tels, que l'on ait simultanément
pa-^q p^-^q Pt -^ *!
/•a H- 5 /• p -f- 5 ry -H s
Ces nombres étant ainsi choisis^ posons
(4) .^jy^zp-;
— ry^p
en substituant ces valeurs de «, 6, c et :r dans l'équation (3), il vient, toutes réductions faites.
Si donc on a entre les coefficients la relation
