QUELQUES THÉORÈMES D'ARITHMÉTIQUE

Bulletin de la Société mathématique de France, t. I; 1873

1. On connaît la proposition suivante : « ç(/n) désignant combien il y a de nombres premiers à m et non supérieurs à ni^ on a

m = ^(é/)-h o(é/')-f- ^(rf')-h. . .,

rf, rf', d" désignant la suite des diviseurs de m^ parmi lesquels figurent i et ni lui-même ( ' ). »

Celle proposition peut se généraliser ainsi qu'il suit :

Désignons en général par (/w, -r-)> où m désigne un nombre

entier et k une quantité réelle quelconque commensurable ou incommensurable, le nombre des entiers premiers avec m et non

supérieurs à -r; on voit que, si /r = 1 , on a (/w, m)= ç(/??).

Cela posé, je dis que Ton a, m désignant un nombre entier et

(m \ t • • < I ' ni

-r j la partie entière du quotient -r>

la somme contenue dans le second membre s^étendant à tous les diviseurs i, r/, rf', . . ., m du nombre m.

Pour le démontrer, je vais faire voir que, si la proposition est vraie pour une valeur quelconque de Â*, elle est vraie pour toute autre valeur.

Soit Â*o la valeur de k pour laquelle la formule est supposée vérifiée; concevons, par exemple, que k^ diminue d'une façon continue, le premier membre de la relation (1) ne pourra changer que

(') V^oy. SKiinET, Algèbre supérieure, t. II, p. i,i.

SUR QUELQUES THÉORÈMES D'ARITHMÉTIQUE. 2l3

si k passe par une valeur qui donne à -r- une valeur entière; dans

ce passage, f-r-j augmentera d'une unité; le second membre ne

peut changer que si Tune ou plusieurs des quantités j acquièrent

une valeur entière, et, comme alors -r a aussi une valeur entière, puisque m est un multiple de dy on voit que la solution de la question consiste à examiner ce qui se passe quand --r est un entier.

Or, quand -j- est un entier, il peut se faire qu'un certain nombre

d'expressions de la forme j soient aussi des entiers; supposonsles rangées par ordre décroissant de grandeur, en sorte qu'elles forment la série

J désignant la plus petite de ces fractions (il est clair d'ailleurs que [JL peut être égal km).

Cela posé, ^ est nécessairement premier avec jjl ; car, si a dési-

gnait un diviseur commun, - etT seraient des nombres entiers et

^ ne serait pas le dernier terme de la série. Il n'en est pas de même relativement aux termes précédents; en effet, si l'on pose = e, [JL et pétant premiers entre eux, on en déduit (-r-dési-

1 J • » * 1 \x\ , m' m' e gnant un quelconque des termes qui précèdent ^ ) e == -, - = ?

d'où — , = - : et, comme la fraction - est irréductible, on en con-

dut que e' et m* sont respectivement des multiples de e et de m et ont par conséquent un facteur commun.