Voyons maintenant quels changements subit le second

membre quand -r prend une valeur entière.

Les différentes expressions telles que [ni\ -r ) ne changent pas de valeur^ la série des nombres non supérieurs ii -r- renferme en

plus, il est vrai, le nombre e'; mais, comme il n*est pas premier avec m\ la somme n'est pas changée; Texpression (l^i t) seule

change, el augmente précisément d'une unité, puisque }*- et j sont

premiers entre eux.

La proposition est donc vraie, si elle est vraie pour une valeur quelconque de A*; et comme elle l'est évidemment pour une valeur de k supérieure à m, puisque les deux termes de la relation (i) se réduisent à zéro, elle est démontrée.

3. Je veux maintenant tirer de la relation m = So(rf), que j'ai rappelée au commencement de cette Note, et dont je viens de donner une nouvelle démonstration indépendante de la formule qui exprime ç(/w) au moyen de ses facteurs premiers (* ), une démonstration de cette formule elle-même.

M. Dedekind (Théorie des nombres de Dirichlet, p. 894) a, il est vrai, donné un théorème remarquable qui permet de résoudre cette question.

Ce théorème s'énonce ainsi qu'il suit :

).(/î) désignant un nombre égal à o, si n est divisible par un carré, dans le cas contraire , égal à ± i suivant que le nombre des facteurs de n est pair ou impair, si deux fonctions f{m) et o(m) sont liées par la relation suivante

oii, dans le second membre, la sommation s'étend à tous les di^ viseurs du nombre entier m, on a réciproquement

la sommation s étendant également à tous les diviseurs de m.

De la formule (3), on déduit facilement l'expression connue (p(//?), mais il est à remarquer que la démonstration de celte f< mule, indiquée par M. Dedekind, s'appuie précisément sur ce

(') On connaît d'autres démonstrations indépendantes également de cette I niulc; voir notamment niiuciiLEX, Théorie des nombres^ p. 2S.