SUR QUELQUES THÉORÈMES D'ARITHMÉTIQUE. 21 J

expression; pour éviter un cercle vicieux, il faudrait donc établir directement la relation (3), ce qui serait du reste facile en développant les considérations qui suivent.

4. Pour obtenir l'expression de 'f (/w), je considérerai une série de la forme

I — X '' I JT* I — X^

Soit

son développement effectué suivant les puissances croissantes de j?; il est clair que les coefficients d'une des séries déterminent ceux de l'autre ', en particulier, on a évidemment

la sommation s'étendant à tous les diviseurs du nombre entier m. Supposons, en particulier, la fonction / tellement choisie que, m étant décomposé en facteurs premiers, en sorte que m =. a*fr^cY. . ., on ait /(m )=:=/(«*)/( 6P). . .. La fonction/ reste du reste arbitraire; ainsi /(a*) et /(«*) peuvent n'avoir aucune relation entre elles, si a et absout différents; il en est de même de /(a*) et /(6*), si les facteurs a et 6 ne sont pas les mêmes.

Cela posé, dans ces h^'pothèses, les différents diviseurs du nombre m = a^b^. . . étant les différents termes du produit

(i -^a -h. . .-+- a^-*)(i -k- h -\-. ,.-k- b^-^), . ., il est clair que Ton aura (4) 6(m) = [i-h/(a)-^...-h/(a«-i;][n-/(^»)-+-...-+-/(6P-»)]....

o. Cette formule offre un grand nombre d'applications.

Supposons, par exemple, que Ton a\l/(a) = /{b) = . . . = — i, ety(aï*)=^/(6i*) = . . .= o, pour toutes les valeurs de jx supérieures à Tunilé. On déduira évidemment de la formule (4)7 pour toute valeur de m supérieure à l'unité, 0(//?)= o; on a d'ailleurs H{i)= I, et il est facile de voir que /(m) = )^(/??), )v désignant la

2ir> ALGÈBRE.

même fonction numérique dont j'ai parlé ci-dessus (n** 3) (*); on a donc l'expression suivante, due à Mœbius {loc, cit.) :

(5) ^= \ — --- — -,-: — -5-. — Ti-»-