Supposons maintenant que Ton fasse, n désignant un entier

quelconque,

fia) =/(6) =... = — 1,

/(an) =/(bn) =...= !.

en sorte que /(al*) soit, quel que soit le facteur a, égal à -|- i si [x est divisible par /i, égal à — 1 si jjl est congru à -h 1 suivant le module /i, et dans tous les autres cas égal à zéro.

De la formule (4) il résulte que ô(m) est nul, à moins que m ne soit une puissance /i*^"*" exacte, auquel cas ô(m)= i ; d'ailleurs f{m) est toujours égal à — i ,0 ou -f- 1 ; on déduit de là que, quel que soit Tentier /?, la série

peut se mettre sous la forme

tt i-H £3 T. -h £i 7 -t-...,

les coefficients s étant toujours égaux à — i ,0 ou -f- i , et se déterminant d'ailleurs facilement d'après ce qui précède.

Pour n = 2, on a en particulier la formule suivante, donnée par M. Liouville {Journal de Math., i>/ série, t. II),

T X^ x"^ /IT^

(6) X -{- X^-ir X^ -^ X^^-^, . .= -^ . -f-

7. Pour revenir à l'objet principal de cette Note, je ferai re-

(') Celle reiiiarquai)le fonction numérique, qui se présente dans la formule de M. Dedekind, a aussi été étudiée par Mœbius [Sur un nouveau mode de réversion des séries {C relie, t. I\)], el par M. Tchebichef [IVote sur différentes séries {Liouville, 1" série, l. \V1)|.

SUR QUELQUES THEOREMES D'ARITUMETIQUE. 217

marquer que, de la propriété fondamentale de la fonction o

(7) /7i = 2cp(c?),

résulte le développement suivant :

Posons maintenant, quel que soit le nombre premier a, y(a«)=a'*"*(a — i); il est clair que, d'après la formule (4), on aura

e(m)= ««6? . . . = m et f{m)= a«-»6P-ï ... (a - \){b — i).

D'où, en se reportant à la formule (7),

<p(/n)=aa-ï6?-»...(a — i)(p — i).

Telle est l'expression que je voulais déduire de la relation (7)(*).

(* ) Depais que cette Note a été écrite, j'ai reconnu que la proposition attribuée à M. Dedekind appartenait en réalité à M. Liouville (voir Journal de Math., a* série, t. II, p. no).

SUR LA

PARTITION DES NOMRRES

Bulletin de la Société mathématique de France^ t. V; 1877.