Je m^appuierai sur le Icmme suivant

Lemme. — Soit -fTTx "'^^ fraction rationnelle telle, que les

racines de l'équation /(z)= o soient toutes inégales et aient toutes pour module l'unité; si l'on développe cette fraction en série en suivant les puissances croissantes de z^ tous les coefficients du développement demeurent, en valeur absolue, inférieurs à une limite déterminée.

(*) Les résultats contenus dans cette Note ne sont peut-être pas nouveaux; mais ils me paraissent peu connus, et, en raison de leur simplicité, j*ai pense qu'ils pourraient intéresser quelques lecteurs.

SUR LA PARTITION DES NOMBRES. aiQ

Démonstration, — Soit

^{z) désignant la partie entière de la fraction et a, p, . . . , y les

racines de Téquation /(s) =05 le coefficient d'une puissance

quelconque de z dans le développement de la fraction sera de la

forme

/> -h Aa'ï-h Bp«-+-.. .H- LX",

p désignant, s'il y a lieu, le terme provenant de <ï>.

Le terme complémentaire Aa"H- Bp"-h. . .-f- LX" est, en vertu d'un théorème bien connu, inférieur à la somme des modules de ses différents termes et par conséquent inférieur à A -h B -f- . . . -H L.

Le lemme est donc démontré.