Considérons maintenant l'expression
(1 — Z«)(l — zA)(| — z')'
décomposons cette expression en fractions simples et réunissons en un même groupe ^{z) toutes les fractions dont le dénominateur est une puissance supérieure à la première d'un des facteurs du dénominateur F(>5); réunissons de même dans un groupe ^{z) toutes les fractions qui ont l'un de ces facteurs pour dénominateur.
On aura évidemment
et, en désignant respectivement par ©(N) et 6(N) les coefficients de x^ dans les développements de ^{z) et de ^{z),
T(N)= e(N)-HO(N).
Le dénominateur de ^{z) n'ayant que des racines simples dont le module est égal à l'unité, il suit du lemme énoncé plus haut que 0(N) reste en valeur absolue inférieure une quantité donnée; on aura donc approximativement
220 ALGEBRE.
l'erreur commise étant inférieure à une limite fixe indépendante du nombre N.
4. Applications. — Soit à résoudre, en nombres entiers et positifs, l'équation ax -f- by = N, a et 6 étant deux nombres entiers premiers entre eux; on aura dans ce cas
(I — ;5«)(i — ^'î') et
ab (i — -5)*' d'où
et par suite, en négligeant la quantité constante — r > ce qui est permis eu égard à l'approximation que l'on veut obtenir,
ab
C'est la formule donnée par Paoli, et l'on sait, dans ce cas, que l'erreur est moindre que l'unité.
Soit encore à résoudre l'équation
ax H- by-\- c« = N,
rt, 6 et c étant trois nombres premiers entre eux. On aura dans ce cas
abc ( I — z)^ 7. abc ( i — ^ >' '
d'où, en négligeant une quantité constante, ce qui est permis vu l'approximation que l'on veut obtenir,
N T( N } .-= - -—- ( \ j- a -h /» -f- c ). labc
SUR
