AX = B

en posant

on ne saurait si, dans le second membre, la division doit 6lre efTeclucc à droite ou à gauche. Cette ambiguïté ne disparaîtra

que dans le cas où les deux sj^stèmes A et B seront permutables; et, dans ce cas seul, j^emploierai le signe de la division. 11 résulte de ce qui précède que l'on peut appliquer aux systèmes linéaires les règles de calcul ordinaires de Taddition, de la soustraction, de la multiplication et de Télévation aux puissances, sauf un seul point, à savoir que Tordre des facteurs dans un produit ne peut être en général interverti.

Systèmes simples. — Une sorte de systèmes doit être particulièrement remarquée; ce sont ceux où tous les éléments, contenus dans la diagonale décrite de gauche à droite en descendant, sont égaux, tous les autres éléments étant nuls. Tel serait le système

du deuxième ordre

Par exception au principe posé précédemment, je le représenterai

simplement par la lettre minuscule désignant la valeur commune

des éléments de la diagonale. Les raisons de cette exception sont :

I ** qu'un tel système

o o o ni

peut toujours se permuter dans la multiplication avec un autre système quelconque, en sorte que l'on a toujours mA = A/w, ce qui permet de placer les systèmes simples multiplicateurs en tète d'un produit comme de véritables coefficients; 2® que multiplier un système A par un système simple m revient à multiplier tous les éléments de A par le nombre m.

Systèmes inverses, — Étant donné un système

abc A = a' b' c\ a'

j'appellerai inverse du premier le système

et je le désignerai par la notation Â|. Un système et son inverse sont symétriques par rapport à la diagonale. L^inverse d'une somme, d^un produit s^obtiendra en appliquant les deux règles exprimées par les équations suivantes

(A-hB-hC-+-...-HL)i= (Al -h Bi-h...-h Li), ( ABC . . . KL)i = L} K| ... Cl Bi Al .

J'appellerai symétrique tout système égal à son inverse, en sorte qu'un système symétrique quelconque A satisfera à l'équation

A = Al .

J'appellerai système gauche tout système égal et de signe contraire à son inverse, en sorte qu'un système gauche quelconque B satisfera à l'équation

B-hB, = o.

Systèmes réciproques, — Étant donné un système quelconque A, le système de même ordre formé avec les déterminants mineurs de première espèce sera dit système réciproque de A, et je le désignerai parla notation A». Par exemple, si

on aura

Le réciproque d'un produit s'obtiendra en appliquant la règle contenue dans la formule suivante

( Ai>Li . . . KL« )o = LiQ Kq • • . Cq Bq Ao .

Une remarque presque évidente, c'est que les opérations indiquées par les indices i et o peuvent s'inverser sans que le résultat en soit changé, en sorte que l'on a

Aïo = Aoi , cl, |)ar con.sé(|uenl,

A 101 = A on = Ao;

SUR LK CALCl.'L DES SYSTKMKS LINEAIRES. aao

A élant un système quelconque, A© son réciproque, et a son déterminant, on aura toujours la relation

AAo = a;

dans celte relation, il est clair que a ne désigne pas le déterminant de A, mais bien le système simple

Je noterai ici les formules suivantes, qui sont d\in usage continuel dans le calcul des systèmes linéaires. A désignant un système d'ordre n ei a son déterminant, on aura

el le déterminant de Aq sera a""*. En outre, /;/ étant un système simple, son déterminant sera m" et Ton aura

Équations linéaires. — J'appelle équation linéaire toute relation entre des systèmes linéaires, ces systèmes pouvant d'ailleurs V entrer par eux-mêmes ou par leurs inverses ou par leurs réciproques. Soit une équation linéaire

il est clair qu'où pourra ajouter aux deux membres de l'équation un même système linéaire, les élèvera une même puissance entière, les multiplier à droite ou à gauche par un même système linéaire, sans que Pégalité des deux membres soit troublée. De Inéquation A= B, on déduira aussi

A| = Bi , Ao = Bq.

On peut même diviser à droite ou à gauche les deux membres d^une équation par un même facteur, si le déterminant de ce facteur n'est pas nul. En effet, soient

AH=:BH et HHo = /^

h étant par h^polliî'sc différent de zéro; de la relation primitive on déduit

.\E1H. ^BHHo, ou bien

AA = BA et, par conséquent,

Résoudre une équation linéaire ou un système d'éqnaiioas linéaires, c'est trouver l'eipression du système inconnu en fonction des systèmes connus. Quand on pourra le faire, l'inconnue X sera donnée par une relation de la forme