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— , --, —,■■•, dont la dernière sera nécessairement la même (jue la A| Di Lii
fraction proposée, parce (jue dans ce cas la fraction continue est terminée. Ces fraclions seront alternativement plus petites et plus grandes que la fraction donnée, et seront successivement conçues en termes plus grands; et de plus elles seront telles, que chacune de ces fractions approchera plus de la fraction donnée que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque qui serait conçue en termes moins simples. Ainsi
ANALYSE INDETERMINEE. 35
l'on aura par ce moyen toutes les fractions conçues en moindres termes que la proposée, qui pourront satisfaire au Problème.
Que si l'on veut considérer en particulier les fractions plus petites et les fractions plus grandes que la proposée, on insérera entre les fractions précédentes autant de fractions intermédiaires que l'on pourra, et l'on en formera deux suites de fractions convergentes, les unes toutes plus petites et les autres toutes plus grandes que la fraction donnée ( n"^ 16, 17 et 18 : chacune de ces suites aura en particulier les mêmes
propriétés que la suite des fractions principales "*-' n"' r"' " ■■ ''■^'" '*^*
fractions, dans chaque suite, seront successivement conçues en plus grands termes, et chacune d'elles approchera plus de la fraction proposée que ne pourrait faire aucune autre fraction qui serait pareillement plus petite ou plus grande que la proposée, mais (|ui serait conçue en termes plus simples.
Au reste, il peut arriver qu'une des fractions intermédiaires d'une série n'approche pas si près de la fraction donnée qu'une des fractions de l'autre série, quoique conçue en termes moins simples que celle-ci; c'est pourquoi il ne convient d'employer les fractions intermédiaires que lorsqu'on veut que les fractions cherchées soient toutes plus petites ou toutes plus grandes que la fraction donnée.
Exemple I.
20. Suivant La Caille, l'année solaire est de 365^5'' 48" 49% et par conséquent plus longue de 5''48'°49* que l'année commune de 365J; si cette différence était exactement de 6 heures, elle donnerait un jour au bout de quatre années communes; mais, si l'on veut savoir au juste au bout de combien d'années communes cette différence peut produire un certain nombre de jours, il faut chercher le rapport qu'il y a entre
a4'' et 5''48'"49% et l'on trouve que ce rapport est ~- — -, de sorte qu'on
peut dire qu'au bout de 86400 années communes il faudrait intercaler 20929 jours pour les réduire à des années tropiques.
3G ADDITIONS AUX ELEMENTS DALdEBRE O'RUI.EU.
(".ornme le rapport île HG'ioo à 20029 est exprimé en termes fort grands, on propose de trouver en des teimes plus petits des rapports aussi approchés de eelui-ci qu'il est possible.
On réduira done la fraction — i^ en fraction continue par la règle
20tJ2«)
donnée dans le n° 4, qui est la même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres donnés : on aura
"sT
(Connaissant ainsi tous les quotients «, fi, /, . . ., on en formera aisé-
ment la série -r-» tt'---» de la manière suivante
.'1 29 33 128 i()i 270') 2865 5569 86^00 1 7 8 ' 3i ' Mj ' <)j.) ' (ii/i ' i.i'|.)' ■lot)!,/
)ii l'on voit (jue la dernière fraction est la même que la proposée. Pour faciliter la formation de ces fractions, on écrira d'abord, comme
ANALYSE INDETERMINEE. 37
jo viens de lo fairo, la suile des quotients 4, 7. 1 et l'on placera audessous de ces coellicients les fraction,s {. ^, -it'---' 'l'^i *'" résultcnl.
La première fraction aura toujours pour numérateur le nombre qui est au-dessus, et pour dénominateur l'unité.
La seconde aura pour numérateur le produit du nombre qui est audessus par le numérateur de la première, plus l'unité, et pour dénominateur le nombre même qui est au-dessus.
La troisième aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la seconde, plus celui de la première; et de même pour dénominateur le produit du nombre (|ui est au-dessus par le dénominateur de la seconde, plus celui de la première.
Et, en général, chaque fraction aura pour numérateur le pioduit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la fraction précédente, plus celui de l'avant-précédente, et pour dénominateur le produit du même nombre par le dénominateur de la fraction précédente, plus celui de l'avant-précédente.
Ainsi
et ainsi de suite; ce qui s'accorde avec les formules du n" 10.
Maintenant on voit, par les fractions {, ^, —,..., (|ue l'intercalation la plus simple est celle d'un jour dans quatre années communes, ce qui est le fondement du Calendrier Julien ; mais qu'on ap|)roclierait plus de l'exactitude en n'intercalant ([ue sept jours dans l'espace de vingt-neuf années communes, ou huit dans l'espace de trente-trois ans, (it ainsi de suite.
On voit de plus que, comme les fractions {, ^, ^ sont alternativement plus petites et plus grandes que la fraction ~~ ou ^, ,^,^ . ,
11 icj 1 .ua.j 5" 40'" 49*
l'intercalation d'un jour sur quatre ans sera liop forte, celle de sept jours sur vingt-neuf ans trop faible, celle <lç huit jours sur Irenle-lroi^ ans trop forte, et ainsi de suite; mais chacune de ces intercalalions sera toujours la plus exacte qu'il est possible dans le même espace de temps.
Or, si l'on range dans deux séries particulières les fractions plus petites et les fractions plus i^randes que la fraction donnée, on y pourra encore insérer ditféreutcs fractions secondaires pour compléter les séries; et pour cela on suivra le même procédé que ci-dessus, mais en prenant successivement à la place de chaque nombre de la série supérieure tous les nombres entiers moindres (|ue ce nombre (lorsqu'il y en a).
Ainsi, considérant d'abord les fractions croissantes
I 8 Sg Gp.'i aorjjg
on voit ([u'ii cause que l'unité est au-dessus de la seconde, de la troisième et de la quatrième, on ne pourra placer aucune fraction intermédiaire, ni entre la première et la seconde, ni (intrc la seconde et la troisième, ni entre la troisième et la quatrième; mais, comme la dernière fraction a au-dessus d'elle le nombre i5, on pourra, entre cette IVaclioM cl la précédente, placer quatorze fractions intermédiaires, dont les numérateurs formeront la progression aritliméti(|ue
et dont les dénominateurs formeront aussi la progression arithmétique
Par ce moyen, la suite complète des fractions croissantes sera
', 33 ifii sHB.") 8'|3'| i/|Oo3 i()572 liiffi 30710 36t»7o /|iK/|H fpl,^^ 7' ¥' I9' 694 ' 20/13 ' 3392 ' /(7/|i ' 6090 ' 7439' 8788' 10137' ll/|H(i'
55986 58055 6^1124 69693 75262 8oR3i 86/|00 72835' T/iîWi' 15533' 16882' i823i' 19580' 20929'
Et, comme la dernière fraction est la même que la fraction donnée, il est clair que cette série ne peut pas être poussée plus loin.
De la on voit que, si l'on ne veut admettre que des intercalations qui pèchent par excès, les plus simples et les plus exactes seront celles d'un
jour sur quatre années, ou de huit jours sur trente-trois ans, ou de trente-neuf jours sur cent soixante et un ans, et ainsi de suite. Considérons maintenant les fractions décroissantes
ib,
et d'abord , à cause du nombre 7 qui est au-dessus de la première fraction, on pourra en placer six autres avant celle-ci, dont les numérateurs formeront la progression arithmétique 4 + i. 2 . 4 1- i . 3.4 -)- I, ..., et dont les dénominateurs formeront la progression i, 2, 3,...; de même, à cause du nombre 3, on pourra placer entre la première et la seconde fraction deux fractions intermédiaires, et entre la seconde et la troisième on en pourra placer quinze, à cause du nombre 16 qui est au-dessus de la troisième; mais entre celle-ci et la dernière on n'en pourra insérer aucune, à cause que le nombre qui est au-dessus est l'unité.
De plus il faut remarquer que, comme la série précédente n'est pas terminée par la fraction donnée, on peut encore la continuer aussi loin que l'on veut, comme nous l'avons fait voir dans le n° 18. Ainsi l'on aura cette série de fractions décroissantes
,i g i3 17 21 25 29 62 Ç)J 128 289 fiM ^11 221 Ol^ '09J 7' 2' 3 ' 4 ' j ' 6 ' 7 ' lô 2J 3i 70 109 i'|S 187 T2li 265
1255 i4i6 IJ77 173s rSi)9 2060 2221 2882 2Jj3 3o4 ' "3p"' IsT' "42?' "4HÔ"' "499"' "538"' "577"' (3i(i '
2704 5569 gigfip 178369 2G'|769 351169 437569
655 ' i34g' 22278' 43207 ' ti4i36 85o65 loâgg'i
lesquelles sont toutes plus petites que la fraction proposée, et en a|)prochent plus que toutes autres fractions (|ui seraient con(,'ues en ternies moins simples.
On peut conclure de lii (pie, si l'on ne voulait avoir égard (|u'au\ intercalations qui pécheraient par dél'aut, les plus simples et les plus exactes seraient celles d'un jour sur cinq ans, ou de denx jours sur neuf ans, ou de trois jours sur treize ans, etc.
VO vniMTIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER.
Dans le Calendrier grégorien, on intercale seulement quatie-vingl-tlixsepl jours dans quatre cents années; on voit par la Table précédente (|u'on approcherait beaucoup plus de l'exactitude en intercalant cent neuf jours en quatre cent cinquante années.
Mais il faut remarquer que dans la réformation grégorienne on s'est servi de la détermination de l'année donnée par Copernic, laquelle est de 365^5*" 49™ 20^ En employant cet élément, on aurait, au lieu de la fraction f^Jj-^, celle-ci f^|^, ou bien f^; d'où l'on trouverait, par la méthode précédente, les quotients 4. 8, T), 3, et de là ces fractions principales
([ui sont, il l'exception des deux [)remières, assez diderentcs de celles que nous avons trouvées ci-dessus. Cependant on ne trouve pas parmi ces fractions la fraction ~- adoptée dans le Calendrier grégorien; et cette fraction ne peut pas même se trouver parmi les fractions intermédiaires (ju'on pourrait insérer dans les deux séries \, ^-^ et ■^, j^; car il est clair qu'elle ne pourrait tomber qu'entre ces deux dernières fractions, entre lesquelles, à cause du nombre 3 qui est au-dessus de la fraction \~\, il pcuit tomber deux fractions intermédiaires, qui seront ■^^^et ^; d'où l'on voit qu'on aurait approché plus de l'exactitude si dans la réformation grégorienne on avait prescrit de n'intercaler que (|ualre-ving(-(lix jdurs dans l'espace de trois cent soixante et onze ans. Si l'on réduit la fraction ^~ à. avoir pour numérateur le nombre 86400, elle deviendra "0952' '^^ l^i supposerait l'année tropique de
•«Dans ce cas l'interpolation grégorienne serait tout à fait exacte; mais, comme les observations donnent l'année plus courte de plus de ao secondes, il est clair qu'il fiuidra nécessairement, au bout d'un certain espace de tem|)s, introduire une nouvelle intercalalion.
Si l'on voulait s'en tenir à la déicrminalion de La Caille, comme le (lénoniiiialcur 9- de la fraction ^jp/^ se trouve entre les di-nominateiirs
ANALYSE INDETERMINEE. 41
(le la cinquième et de la sixième des fraetions principales trouvées ci-devant, il s'ensuit de ce que nous avons démontré (n° 14) que la fraction ■^~- approcherait plus de la vérité que la fraction ^; au reste, comme les Astronomes sont encore partagés sur la véritable longueur de l'année, nous nous abstiendrons de prononcer sur ce sujet; aussi n'avons-nous eu d'autre objet, dans les détails que nous venons de donner, que de faciliter les moyens de se mettre au fait des fractions continues et de leurs usaces; dans cette vue nous ajouterons encore l'Exemple suivant.
Exemple II.
21. Nous avons déjà donné (n° 8) la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence du cercle au diamètre, en tant qu'elle résulte de la fraction de Ludolph; ainsi il n'y aura qu'à calculer, de la manière enseignée dans l'Exemple précédent, la série des fractions convergentes vers ce même rapport, laquelle sera
3 22 333 355 103993 roi3'|8 2o83'| i 312689 833; 19 ii'jfiViS .''12729.'; 3 I 7 iu6 ii3 3oio2 332IÔ 66317 99532 26J38i 3649i3 i36oi20
5^19351 8oi'|3857 165707065 •V|5S5n922 .^111.557987 1068966896 172Ô033 25010082 52746197 78256779 131002976 3.'|o26273i
''l9'l9i779 6167950454 1^885392687 2io.533'|3i4i i7S33662i653i 3587785776203
8u528438 1963319607 4738167652 6701487209 567663097408 II '12027682075
43ooi09'|659io69243 2646693125139304345 307670407 1730373588 136876735467187340' 8'(24685874265 13207 ' 979345322893700547 '
