VII
(les tVact'iDns seront donc alternativenienl plus petites el plus grandes que la vraie raison de la oireonférence au diamètre, e'est-à-dire (|ue la première } sera plus petite, la deuxième -^ plus grande, et ainsi de suite, et chacune d'elles approchera plus de la vérité (|ue ne pourrait taire toute autre fraction qui serait exprimée en termes plus sini|)les, ou, en général, qui aurait un dénominateur moindre (|ue le dénoniinaleur de la fraction suivante: de sorte que l'on peut assurer (|ue la fraction Y approche plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que 7; de même la fraction ^ approchera plus de la vérité que toute autre fraction dont le dénominateur serait moindre que lod, et ainsi des autres.
Quant à l'erreur de chaque fraction, elle sera toujours moindre (|ue l'unité divisée par le produit du dénominateur de cette fraction \y,\v celui de la fraction suivante. Ainsi l'erreur de la fraction j sera moindre t|ue i-, celle de la fraction ^ sera moindre que ^77^7. et ainsi de suite. .Mais en même temps l'erreur de chaque fraction sera plus grande que l'unité divisée jiar le produit du dénominateur de cette fraction par la somme de ce dénominateur et du dénominateur de la fraction suivante; de sorte que l'erreur de la fraction f sera plus grande que ~, celle de la fraction ^ plus grande que ^-^7^, et ainsi de suite (n" li).
Si l'on voulait maintenant séparer les fractions plus petites que le rapport de la circonférence au diamètre d'avec les |ihis grandes, on pourrait, en insérant les fractions intermédiaires convenahles, former deux suites de fractions, les unes croissantes et les autres décroissantes vers le vrai rapport dont il s'agit; on aurait de cette manière
,, . , pi'riph. tractions plus petites que —7-^
3 ?î ^(7 69 91 ii3 j35 \3-} 179 201 3-^3 3'|5 2G7 289 3ii
333 688 io'i3 1398 17.53 2in8 l'fii
lOb' 219' 332 ' 4/(5 ' 558 671 78.')
ANALYSE INDETERMINEE. 43
Fractions plus "ranties nue -,.^£— -• f^ ^ ^ cliam.
355 104348 312689 1146408 5519351 855632o8 iiJ 332IJ 9953-2 J04913 1720033 ■2-'i35()i5
Chaque fraction de la première série approche plus de hi vérité que ne peut faire aucune autre fraction exprimée en termes plus simples, et qui pécherait aussi par défaut; et chaque fraction de la seconde série approche aussi plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction exprimée en termes plus simples, et péchant par excès.
Au reste, ces séries deviendraient fort prolixes si l'on voulait les pousser aussi loin que nous avons fait celle des fractions principales donnée ci-dessus. Les bornes de cet Ouvrage ne nous permettent pas de les insérer ici dans toute leur étendue; mais on peut les trouver au besoin dans le Chapitre XI de V Algèbre de Wallis [Operum mathemat. vol. II).
Reîuarqle.
22. La première solution de ce Problème a été donnée par Wallis dans un petit Traité qu'il a joint aux Œuvres posthumes d'Horrocius, et on la retrouve dans l'endroit cité de son Algèbre; mais la méthode de cet Auteur est indirecte et fort laborieuse. Celle que nous venons de donner est due à Huyghens, et l'on doit la regarder comme une des principales découvertes de ce grand Géomètre. La construction de son automate planétaire parait en avoir été l'occasion. En effet, il est clair que, pour pouvoir représenter exactement les mouvements et les périodes des planètes, il faudrait employer des roues où les nombres des dents fussent précisément dans les mêmes rapports que les périodes dont il s'agit; mais, comme on ne peut pas multiplier les dents au delà d'une certaine limite dépendante de la grandeur de la roue, et que
iV ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE DEULER. (l'ailk'iirs les périodes des planètes sont incommeiisurahlcs ou du moins ne peuvent être représentées avec une certaine exactitude que par de très-grands nombres, on est obligé de se contenter d'un à peu près, et la difficulté se réduit à trouver des rapports exprimés en plus petits nombres, qui a|)procbent autant qu'il est possible de la vérité, et plus qui! ne pourraient faire d'autres rapports (juelconques qui ne seraient pas conçus en ternies plus grands.
Huygliens résout cette question par le moyen des fractions continues, comnie nous l'avons fait ci-dessus; il donne la manière de former ces fractions par des divisions continuelles, et il démontre ensuite les principales propriétés des fractions convergentes qui en résultent, sans oublier même les fractions intermédiaires. (^Voyez, dans ses Opéra posthuma, le Traité intitulé Descriptio automati plane larii.)
D'autres grands Géomètres ont ensuite considéré les fractions continues d'une manière plus générale. On trouve surtout dans les Commentaires de Pétersbourg (tomes IX et XI des anciens et tomes IX et XI des nouveaux) des Mémoires d'Euler remplis des recherches les plus savantes et les plus ingénieuses sur ce sujet; mais la Théorie de ces fractions, envisagée du côté arithmétique, qui en est le plus intéressant, n'avait pas encore été, ce me semble, autant cultivée qu'elle le méritait : c'est ce qui m'a engagé à en composer ce petit Traité pour la rendre plus familière aux Géomètres. [Voyez aussi les Mémoires de Berlin pour les années 1767 et 1768 (*).]
Au reste, cette Théorie est d'un usage très-étendu dans toute l'Arithmétique, et il y a peu de problèmes de cette science, au moins parmi ceux pour lesquels les règles ordinaires ne suffisent pas, qui n'en dépendent directement ou indirectement. Jean Bernoulli vient d'en faire une application heureuse et utile dans une nouvelle espèce de calcul, (ju'il a imaginé pour faciliter la construction des Tables de parties proportionnelles. {Voyez le tome I de son Recueil pour les Astronomes.)
(*| OEuvrcs lie Ltigrange, t. Il, p. 538 et 58i.
§ 11. — Méthodes pour détennincr les nombres entiers qui donnent les minima des formules indéterminées à deux inconnues .
Les questions dont nous allons nous occuper, et pour lesquelles nous allons donner des méthodes directes et générales, sont d'un genre entièrement nouveau dans l'Analyse indéterminée. On n'avait point encore appliqué cette Analyse aux Problèmes de maxiniis et minimis; nous nous proposons ici de déterminer les minima des fractions rationnelles, entières et homogènes à deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent être des nombres entiers. Cette recherche nous conduira encore à la Théorie des fractions continues, et servira à donner à cette Théorie de nouveaux degrés de perfection.
Problè:\ie I.
2.3. Etant donnée une quantité pusiti^^e a, et supposant que y et z ne puissent être que des nombres entiers positifs et premiers entre eux, on demande de trouver les valeurs de ces nombres qui rendront la formule Y — az un minimum 'abstraction faite du signe) relativement à tous les nombres plus petits qu'on pourrait substituer pour y et z.
Soient/» et q des nombres entiers et premiers entre eux, qui, étant substitués pour j et z dans la formule v— az, la rendent plus petite que si l'on y substituait d'autres nombres moindres que p et q. Donc prenant pour r et 5 des nombres quelconques entiers positifs et premiers entre eux, mais moindres quep et q, il faudra que la valeur de p — aq soit moindre que celle de r—as, abstraction faite dos signes de ces quantités, c'est-à-dire en les prenant l'une et l'autre positivement. Prenons r eis tels que l'on ^\i ps — qr= —i, le signe supérieur ayant lien lorsque p — aq sera positif, et l'inférieur lorsque p — aq sera négatif. (Nous verrons dans un moment qu'il est toujours possible de trouver des nombres qui satisfassent à cette condition.) Je vais prouver que tous
46 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE DEULEH.
It's autres nomln'es moindres que p et y, qu'on substituerait pourj et z, lendiaionl la f'orniulc y — az (abstraction laite du signe) plus grande (|ue /j — eu/ et que r — as.
Va\ cd'i'l, il est elair ([u'on peut sup|)oser, en général,
y =^ pi -h ru, 2 =z qt -^ su,
I cl it étant deux inconnues; or, par la résolution de ces éijuations, on a
sy — l'z __ g,y ~ pz .
f>s — (]r qr — ps
donc, à cause de ps — qr = ± i,
l = ±(sx- rz), u = ±{qy- pz);
d'oii l'on voit que t eiu seront toujours des nombres entiers, puisque />. </, r, s et y, z sont supposés entiers.
Donc, /et /u'iaiit des nombres entiers, et/v, y, /•, s des nombres entiers positifs, il est clair que, pour que les valeurs de j et ^ soient moindres <{ue celles de p et q, il faudra nécessairement que les nombres t et // soient de signes différents.
Maintenant je remarque que la valeur de r — as sera aussi de dillérenl signe que celle de /) — aq; car, faisant p — aq = P ei r— as — R,
on aura
■^ = rt H — 1 - = rt -! ;
mais l'équation ps — qr = ± i donne = di — : donc
^ ' ' q s qs
q s qs
donc, puisqu'on suppose que le signe ambigu soit pris conformément à
celui de la quantité p — aq ou P, il faudra (jue la (|uanlilé soit
positive si I' est positif, et négative si P est négatif; or, con)me s est
ANALYSE INDETEHMINEE. 4.7
< (] cl que R est > P (hy|>oUièst' j, il csl clair que sera à plus forte
