DE L'OBLIQUITÉ DE L'ÉCLIPTIQUE
citée, la valeur qui répond ;i l'argument 200 est de 3", 9; on aura donc
l'équation
d'où l'on tire
fx = 0,000001718.
Celle valeur de [j. est presque la moitié moindre que celle que nous avons trouvée plus haut d'après le mouvement de l'apogée du Soleil; il y a donc lieu de croire qu'elle est beaucoup trop petite et que, par conséquent, l'équalion de Vénus. dans les Tables de Maver l'est aussi. Si, au contraire, on s'en tient aux Tables de l'abbé de la Caille, lesquelles donnent 9", 4 pour la valeur de cette équation lorsque l'argument est de 90°, on trouve
valeur d'un tiers plus grande que celle que donne le mouvement de l'apogée du Soleil, et qui doit, par conséquent, être regardée comme trop forte.
Si maintenant on prend le milieu entre les deux Tables de la Caille et de Mayer, il en résultera pour fj. une valeur qui sera moyenne arithmétique entre les deux précédentes, et qui sera par conséquent =^ 0,0000029290; cette dernière valeur de ij- est, comme l'on voit, un peu plus petite que celle qui résulte du mouvement de l'apogée du Soleil; mais la différence est moindre qu'un dixième, en sorte qu'on peut la négliger et regarder ces deux valeurs comme à peu près égales.
Je crois donc pouvoir conclure de tout ce que je viens de dire que la détermination de la masse de Vénus, qui a servi de base à ma Théorie de la diminution de l'obliquité de l'écliptique, et qui a donné cette diminution de 5G" pour le siècle courant, est aussi plausible qu'on peut le désirer : 1° parce que cette détermination est fondée sur l'hypothèse
;l.^2 SI II I, \ niMiM iKiN ni. i.oiii.ioi iik dk i.kci.ii'i ku k.
lii'S-iuilurclli' (|Ui' lu (li'iisili- de N'émis soit tanl soit peu plus L;iaii(li' ([uc «■(•llf lie l;i TiMif; ■>" |)ai'C(' (|ii'flli' s'accorde tri'S-liicii avec crilc (|iii icsiillc ilti moiivciiUMil trcs-comiu de ra|i(ii;ée du Soleil; 3" parce (ivi'elle s'accorde aussi à Irès-peu près avec le niiliiii pris eiitic les deux ei|iialioiis de Vénus dans les Tables du Soleil île l'aldte de la Caille el do Maver.
SUR
SUR
Jstronomisches Jahrhuch oder Epheineriden fur </as Jahr 1783. Unler Aufsiclit und rail Genehmhaltung der Konigl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin verfertigt und zum Drucii'e befôrdert. — Berlin, 1780.)
1. La méthode des interpolations est une des plus ingénieuses et des plus utiles que l'Astronomie possède. Elle sert non-seulement pour remplir dans les Tables les lieux moyens entre ceux qu'on a calculés immédiatement, mais encore pour suppléer dans une suite d'observations à celles qui manquent. Lorsque les nombres donnés entre lesquels il s'agit d'insérer des nombres intermédiaires sont en progression arithmétique, il est naturel d'imaginer que les nombres intermédiaires cherchés doivent former aussi une même progression arithmétique avec les nombres donnés; il n'y a donc alors qu'à insérer des moyens arithmétiques entre les nombres donnés; c'est en quoi consiste la méthode des parties proportionnelles, dont l'usage parait avoir été connu de tout temps. Mais cette méthode si simple ne peut avoir lieu que lorsque les nombres donnés croissent ou décroissent également, c'est-a-dirc par des différences constantes. Si ces différences -ne sont pas constantes, alors on ne peut pas supposer non plus que celles des nombres intermédiaires le soient, et la question se réduit à trouver la loi de l'augmentation ou de la diminulion des nombres donnés pour pouvoir y
(') Ce Mémoire a été lu par l'Auteur à l'Académie des Sciences de Berlin, le 3 seplombre 1778. Il a été traduit en allemand par Schuize et inséré dans les Éphéinéridcs de Berlin pour l'année 1783. Nous reproduisons le Mémoire original en français, retrouvé dans les papiers de Lagrange qui sont déposés à la Bibliothèque de l'Institut de France.
{y Ole de r Éditeur.)
•i3(i >l II I.KS IN I Klil'ol. \ Il ON S.
assiijfUii' aussi les iioiiiliics iiileiiiirdiaiics. C'csl rdlijcl de la niélliodc (It'S inli'i'iiolalions. (".c (lui se présonlc de plus uaturcl daus celte rceheielie, e'esi d'exauiiuer si les dill'éreuees des nouiLi'es donnés lonuenl elles-mèiiies uiio progression arilliniéli(|ue; dans ee cas il esl visible tjue l'un peut appliquer la mélliode des parties propoilionnelles ii la .suile des dillérenees; ensuile on pourra remonler de celle suite îi celle des nombres cherchés. De même, si les dillérenees des iiomhies donnés ne i'ormeni pas une progiession aritlimélique, mais que les dillérenees de ces ditréreuces, (ju'oii appidle dillérenees secondes de la série donnée, en l'ormeiit elles-mêmes une, on pourra trouver les termes inlermédiaiies de cette dernière suite, et remonler de là successivement à celle des difrérenecs premières, et enfin ii celle des nombres ii interpoler.
C'est sur ce principe (|u'est fondée la théorie ordinaire de l'interpolation, la(|uelle se réduit par conséquent à la solnlion de ce Problème :
l'Aanl (loiiiK'C une suite de noruhrcs dont les diflcrcnccs d itn ordre ijudeonque soient constantes . trouver un nombre (lueleonqiw de termes interiiudiaircs qui suUent la même loi.
Les Français l'out honneur de cette découverte à M. Mouton, chanoine de Lyon, (|ui en parle dans un Ouvrage sur les diamètres ap|)arenls du Soleil el de la Lune, in)primé en lOyO, ii l'occasion d'mie Table des déclinaisons du Soleil insérée dans cet Ouvrage. C'est le méuu' (jui a calculé les logarithmes des sinus et des tangentes pour toutes les secondes des quatre premiers degrés et des (]uatre derniers, jnsr|u':i dix décimales, dont l'Académie des Sciences de Paris possède le manuscrit, et (|u'on a publié depuis peu, mais seulement jusqu'à sept décimales dans la nouv(dle édition i\va Tables de (jardiner, (aile a Avignon.
Il parait néanmoins (|ue la déconveile dont il s'agit doit être beaiiluup plus ancienne, el il esl bien naliirel de penser (|u'elle n'a pu é(liap|ier aux premiers calculateurs des Tables liigonométii(|ues et logarithmiques, à cause des secours immenses (|u'elle ollre dans ces sortes lie calculs. Aussi je tiouvc (]ue llciiii IJriggs, ([ui a calculé le premier
SUR LES INTEllPOLATIONS. 5:]7
les logaritlinies tics nombres naturels depuis i jusqu'à 20000 et depuis 90 jusqu'à 100 mille, propose, pour remplir cette lacune, une méthode d'interpolation fondée sur la considération des diiïérences successives, (|u'il dit avoir déjà employée avec succès dans la construction du canon Irigonométriquc pour les sinus et tangentes des degrés et des centièmes (le degré, (/'o/rson Arithnietica hgaritlimica, Chap. XIII, et sa Trip^onometria Britannica, Chap. XII.)
Cette méthode, dont Briggs ne donne point la démonstration, et dont aucun- des auteurs qui sont venus après lui n'a fait mention que je sache, me parait très-directe et très-ingénieuse; elle a été généralisée depuis par Cotes dans sa Canoniteclmia, sive construclio Tabularum per differentias ; mais cet auteur a également supprimé la démonstration de ses formules, et je ne sache pas que personne jusqu'ici ait entrepris d'v suppléer, ce qui vient vraisemblablement de ce que l'usage de cette méthode a été entièrement abandonné depuis que Newton en a proposé une autre plus simple, fondée uniquement sur la considération des courbes.
Newton regarde les termes donnés comme autant d'ordonnées d'une courbe de genre parabolique, et il cherche l'équation d'une courbe de cette espèce qui passerait par tous les points donnés. Ayant cette équation, on a évidemment la loi de toute la courbe, et par conséquent la valeur de toutes les ordonnées intermédiaires, qui sont les termes à interpoler.
2. Comme l'analyse de Newton est très-connue, je ne la rappellerai point ici. Elle conduit, comme l'on sait, à cette formule très-simph- el très-générale
dans laquelle B, C, D, . . . sont les diU'ércnces premières, secondes, troisièmes, etc. de la suite donnée A, A,, Ao, A,, . .., qu'il s'agit d'interpoler; cil sorte que
Cette formule sert donc, comme on voit, à trouver la valeur d'un VII. ii«
:i:JS SI K I.KS INTKIUMtl.M IONS.
leiinc (|iii'li'Oiiqiie A., iiilcriiicdialrc entre deux tcnuts (|iiolc()ii(|uos de la série ilounée, et poui' eel:i il n'y ;i (lu'ii l'aire x éjj;al ii la fraclion (|ni exprime la distance du terme elierelié au premier terme A. .Mais, pour en l'acililer l'usage dans l'interpolation des lieux de la Lune et des planètes, on a donné jus(]u'ici, dans nos Kphcnicrides, une Table (jui donne
les valeurs des coeilicients x, -^—^^ — » •••( en supposant .v exprime en parties de 2 /j heures, et cette Table est calculée de 10 en 10 minutes. On trtiuve de plus, dans le volume îles Ephcmcridcs poui' >77'^. une autre Table (jui donne les valeurs des mêmes coeiruients en parties d'une heure ou de Go minutes, et (|ui est calculée de 10 eu 10 secondes. La première de ces Tables sert pour interpole)' les lieux calculés de jour en jour, comme on les trouve dans les Kiilicincridcs. La seconde pourrait servir pour interpoler des lieux calculés d'heure en heure; mais son principal usage consiste à iuterpcder des quantités (|ui ne .seraient données que de degré en degré. Kiifin, il y a dans le Rcxueil (les Titilles loi^iiri/Zimù/itcs et Iri^o/iome/nf/ues de !\L Schulze une nouvelle Table (jiii donne les valeurs des coeilicients dont il s'agit, pour chaque cenlième partie de l'unité, c'esl-à-dire en faisant successivement .r = 0,01, = o,(>:> :-r; de sorte qiu' par le moyen de cette
Table on pourra aisément iiitei'poler entre les premiers teinies A et A, d'une suite donnée quatre-vingt-dix-iicul' termes intermédiaires placés à distances égales.
."{. La formule précédente est la plus usitée, et c'est d'ailleurs presque la seule (|ui' les Astronomes connai.sscnt. Il y en a cependant une autre non moins simple, el (jui est même préférable à quebjues égards : c'est celle (]ui résulte de la troisième Proposition de la méthode diflérenlielle de Newton, et (|ui a l'ourni les Tables placées a la fin du Traité de Cotes : f)r eonsiriiclio/ie rdhiilarurn. La voici :
\. Soii la suite des termes éi]nidi>lanls ii interpoler continuée de part el d'autre ainsi
«lu'on en prenne successivement les différences premières, secondes, troisièmes, ..., en les écrivant, pour plus de commodité, comme on le voit ici,
jU, ,1), D„ n„
en sorte que la seconde ligne horizontale soit celle des différences premières des termes de la première ligne; que la troisième contienne les différences premières des termes de la seconde, et par conséquent les différences secondes de ceux de la première, et ainsi de suite, et qu'en général chaque terme d'une ligne quelconque horizontale soit la différence des deux termes de la ligne supérieure entre lesquels il est placé; par exemple,
Qu'on suppose maintenant, pour plus de simplicité et d'uniformité,
on aura en ijénéral
• ^ a:'(A-' — i)(j:' — 4) ^ ^ 4x(j7'— i)(jr'— 4)(x' — 9I ^^
lin faisant x négatif on aura la valeur de ^A. [Foyez les Mémoires de l'Académie de Berlin pour i7")8, où celte formule est démontrée et appliquée à quelques exemples).
:iU) SI K LES IM F.Urm.ATlONS.
