D UNE PLANÈTE OU DUNE COMÈTE

AT MOYEN DE TROIS OBSERVATIONS PEU ÉLOICiNÉES (*).

[Astroiioniisclies Jahrhuch oder Eplwmerulcn , fiir das Jahr 1789. Mit Genehml)allung der Konigl. Akademie der Wissenschaften berechnet und lierausgegeben von J.-E. Bode, Astronom der Akademie. — Berlin. 1786.)

Soient C, D, E les positions apparentes, sur une splière de rayon égal à l'unité, d'une comète observée à trois époques peu éloignées. Supposons, en outre, qu'au moment de la première observation, la eomèle soit au point C et le Soleil au point S; qu'au moment de la deuxième, la comète soit en D et le Soleil en T; au moment de la troisième, la comète en E et le Soleil en V. Si l'on joint ces six points par des arcs de grand cercle, on obtient des triangles spliéri(|ues CDS, CDT, dont les côtés et les angles peuvent être calculés ou mesurés sur un globe céleste suffisamment précis.

Soit 0 le temps écoulé entre la première et la troisième observation, et représentons ce temps par le moyen mouvement du Soleil, c'est-à-dire

C) Ce Mt^moire a élé traduit en allemand par Scliiilze, el inséré dans les Kphénwrides <le Berlin pour l'année 1789. Ne possédant pas le Mémoire original en français, nous donnons la traduction du texte allemand. (■^''"" '>'' l'Kditeiir.)

..G'i DKir.lîMINMlON DKS l.l.KMKMS DK l.OlUUTi:

|t;ir \.[ tlillcrcnre de lnnyllmlf nioycmic du Sulril en ^ l'I en S rcduih'

l'ii [iiirtios ihi rayon, f'osi-ii-dirc divisci' par l'aie di' J7"i7'4.)". Dans

ces i-oiulilions, si l'inti'ivalli' di' temps est de ( imirs, j = ^, — ^— ?•

Supposons, en outre, que rinlervalle écoulé entre les deux premières observations soit à l'intervalle de temps écoulé entre les deux dernières

I iimmc I est a ri, de telle façon tine rcnrésentc le i)remiei', et

le dei'nier de ces intervalles.

Knfin, prenitns comme unité la niovenne dislance de la Terre au Soleil, et désignons par ^', <>, À les vraies distances du Soleil aux épo(|ues des trois observations, c'esl-ii-dire quand le Soleil occupe les positions S, T, A'. Ces distances sont données dans les /•:/>/ir/ncn</es, et, i» cause delà faible excentricité de l'orbite solaire, on pourra souvent supposer

T' = '^ = > = ' • Ce\à posé, soient

■ig

- Sj,'

D'UNE PLANETE OU DUNE COMETE, ETC. o(Jo

Soient, en outre,

. sinCS sinECS . . sinCT sinECT ^ sinCV sin EC\

■^"■"^^ih^CD^iTiTECI) ~ "'^' °'sïnCD^ sinECD "^ "sinDC sinECD'

sinDS sinEDS , . sinDT sinEDT . sinDV sin ¥A)\

•*'~'*^*sînDC sïnEDC ^ ""^' °'sïnDC sinEDC "^'"sinDC sinEDC '

sin PS sinCDS , . sinDT sinCDT . sinDV sinCD\

^""'^^sîÏÏDl sinCDE" ""^' '''iûTÛË sinCDE "^ '" sinDE sinCDÉ"

Soient enfin

On a alors les trois équations

^pi t 2 n -1- 1 o/.r cosDT + n+i ' 0-— /= ^' = 0,

>■=— 2/i3sjcosCS + rt' 3-— 3-'\s'=: O,

3' — lluZ COSEV4- ,/.'— •J') U-—0,

au moyen desquelles les trois quantités inconnues /•, />, 7 pourront ètn' déterminées; r représente le rayon vecteur de la comète, ou sa distance au Soleil au moment de la seconde observation: p cl q servent à déterminer le grand axe de l'orbite de la comète et le paramètre d. cette orbite au moyen des formules

.•>()•> I)|.l KKMIN \l liiN DES KLKMKNTS DK I.OKllITi:

('.rs (|ii;iiilili's iiiu' lois l'uiimics. (Ui nliticiil 1;» piisilioii diilis rorliilc ilii

|u'iiliflif an moyen (1(! rnnialioii

coao -r — -f ' -

oii '. dt'si|j;iu' l'angle (|iie lo ravon veotoiir /• (ait avee la diceetion ilu liénliélie.

I.es (|iianlités .V. /, II, X, y, z, •7, v scrvcnl aussi ii (léleriniiier les dislaiiees de la coiiii'te à la Terre et au Soleil: on a, ahslractioii faite des

>i''nes, -' pour la distance de la eoniéte ii la Terre dans la

deuxième observation, -- dans la première, el - dans la troisième.

lis ' Il

lùiliii 7 est la distance de la conii'te au Sideil dans la |M'einii'io oljservalion, et V la niùme distance dans la troisièuK! observation. Au moyen de ces dislances, il est aisé de trouver les autres éléments de l'orbite.

I.a résolution des trois é(jualions données plus liant ni; présente aucune dilliculté (piand 0 est moindi'e (|ue i (Ui peu sujiérienr à 1, ce (|ui suppose (|ue l'intervalle entre les observations extrêmes ne dépasse pas deux mois. Dans ce cas, les séries (|ui représentent les quantités s, u, ':'■, -y- sont convergentes, et le sont d'aulanl |ilus (|ue 0 est plus petit. Si l'on néglige les termes en 5' el ceux (|ui reni'crment de plus hautes |»uissances de 0, les trois écpialions dont nous nous occupons contiennent les inconnues/) et c/ sous l'orme linéaire, ce (|ni jieruKl <le les éliminer Irés-I'acileinenl et d'obtenir une équation en /• (\u\, en réalité, i>i d'un degré assez élevé, mais (jui, dans une |)remii're approximation, |>eul être abaissé*' au liiiitii'ine, en sup[irimant di's le début les termes

linlin je irmai'ijue, sur les expressions des quantités .r,y, z. (|ue les rapports îles sinus des angles lildS, l'^f^T, E(]\ ;i c(dui de l'angle VA'.l) on! le signe —, puis(|ue, dans la ligure, les trois premiers angles sont d'un côté, el b; qiiatiii'me de l'autre coté de l'arc commun Œ; au contraire, les rap|)orls di's sinus des angles KDS, HOT, VA}\ au sinus de KDC, el

D'UNE PLANÈTK Ol 1)1 NE COMÈTE, ETC. 5G7

cfux des sinus de CDS, CDT, (iDV au sir.us de CDE sont positifs, |)uis(|uc les quatre premiers angles sont d'un même colé de l'arc ED, et les quatre derniers d'un même côté de CD. La cause de cela est que ces rapports doivent tendre vers l'unité quand les points D, C, E tendent vers S, T, V. En tenant compte de ces remarques, on n'aura pas ii craindre de se tromper au sujet des signes.

KSSAI

D'AKITIIMrrKHE PO LIT! (HE

sir, LUS l'IŒAlILllS lii:S()l.\S DE LliMÉKlKlK DE LA HKPUBLlyUli.

Ml.

KSSAI

D'ARITHMÉÏIUIE POLITIOLE

Sin LES

PREMIERS BESOINS DE L'I.MÉRIEIR DE LA RÉPUBUQl E (*;.

{Collection de divers ouvrages d'Arithmétique /jrjlitigiie, par Lavnisier, de Lagrari^e et autres publiée par Roederer. A Paris, C.-C. Corancez et Rœderer, an IV; i vol. in-8.)

Je suppose, d'après les calculs les plus exacts, que la France contient aôoooooo (l'inilividus, répandus sur une surface de io5ooo()oo d'arpents de loo perches carrées; la perche a 22 pieds ou 3| toises.

Cet arpent, qu'on appelle le grand arpent, est un carré dont le côté est de 36,666 toises, et son contenu en toises carrées est de 1 343,1)5 (*').

La lieue de aS au degré est de 2281,08 toises, en prenant 57,027 toises pour la longueur du degré moyen. Ainsi la lieue contient 62,222 t'ois le côté de l'arpent, et la lieue carrée contient 3871,65 arpents.

Par conséquent l'étendue île la France en lieues carrées est de 27126,47 : divisant ce nomhre par celui des habitants, on a 921,60 pour le nombre moyen des habitants d'une lieue carrée.

.le r.ipporte ce résultai, parce (|u'il peut servir à faciliter la comparaison de la population de la France avec celle des autres pays. (|ui est

(') Cet Essai est du crlèbre do Lagrange; sa modestie voulait en cacher l'Auteur. Je n'ai obtenu la permission de le nommer qu'en lui montrant la profonde conviction que j'ai de l'utilité de son nom pour le succès de l'Ouvrage et de l'utilité de l'Ouvrage pour la clios»» l)ublique.

(**) La virgule sépare les parties décimales des entiers, suivant l'usage revu.

ûT2 l-SSAl

(Hilinaircint'iil iap|ioi'ti''t' on (m'i |)i'iil se rapportor aisémiMit à des lieues lanres, la liciu' étant une partie donnée du (l<';;ré, (|ni est la même poui- tonte la terre, alistraelion laite de la petite iné^;alile pi-ovenanl de la non-splierieilé.

On suppose ordinairen)eul le nonilne des t'ennm's ej;al ;i celui des Imnimes; mais le talileau de la |)opnlation donné pai' Lavoisier donne i>i7 7'|(> lioinnies de plus (|ue de femmes sui' les 25o()()()oo d'Iialiilants de la France.

(]e taldeau me fait voir de plus ipie '. i\t'>. Iialiilants est au-dessous de i5 ans, et tjue le second liei's est au-dessous de Ifi ans. Suivant des Tables de mortalité dressées en Allemagne, le premier tiers va jus(|u'à I y ans, et le secoml iusipTii ')- .

Considérons mainlenant les besoins de cette société do sSoooooo do citoyens, et arrctons-nons d'abord h ceux de promièie nécessité.

(]es besoins sont : i" la nourrilnre; :>." le vêtenn'ut; '>" rabritement, ce (|ni comprend aussi le clianMage et la Inmii're.

.Nous allons commencer |)ar la nourriture, l'allé est de deux s(ules, végétale el animale.

(!omme notre dessein n'est (|ue de donner un aperçu el dos valeurs moyeniies, nous ne l'erons pas reiiininTalion des dillcrenls objets (|ui sei'vcMl il la nourriture des liomnies; mais nous réduirons d'abord tonte la nourriture végétale aux grains (|ni se cultivent en grand, et UMune à une seule espèce moyenne quf nous nommerons sim|)lement /'le. et (|ui compicndra le ble-l'ronn'ut, le seigle et l'orge, (|u'on mange en pain.

l'ar la même laison, nous ri'duirons louti' la nouri'itnre animale ii la vianile i\r liiiiicliciir. (|ni coiiiprend celle de bo^ul', de vacdu', de V(!au, de niiMiloii et de pnir, (jiii luinie uiie partie considi'i'ablo de cette nour- I ilure.

Nous ri-diiiron-~ ib' même toute la boisson au seul vin, dont la consommation siirpasx' iiilinimeiil ccdle des auti'es boissons, l(dlos (|U0 la bière, b; cidre, etc. (,etle l'educlion est l'ondée sur la nature de la cho.S(!; lar on peut regarder les autres objets de nourrilnre, soil végétale, soil animale, comme tenant lieu d'une (|uanlile de ble ou de viande (|ui con-

DAKITIIMÉTIOIK POLITIQUE. 573

tiendrait à peu près autant de matière 'nutritive. II est clair ([n'ils ne doivent entrer dans le calcul de la nourriture (ju'à raison do leur valeur nutritive; et, si l'on connaissait celte valeur pour cliaqueo])jct, on pourrait le convertir tout de suite en blé ou en viande. Relativement aux objets de nourriture générale et ordinaire, je crois qu'on ne se trompera pas beaucoup en supposant leur valeur nutritive proportionnelle à leur prix. Ainsi l'on pourra prendre à peu près une demi-livre de fromage sec comme l'équivalent d'une livre de viande. Nous ferons surtout usagode ce principe dans l'évaluation de la consommation de Paris (').

Cela posé, la question est réduite à déterminer à peu près la quantité moyenne de blé et de viande nécessaire pour la subsistance de la République.

Je ne vois que trois manières de parvenir à cette détermination :

1° Par la ration qu'on distribue aux troupes;

2° Par la consommation des villes fermées où il y avait des registres d'entrée;

3° Par l'évaluation des produits annuels de toutes les terres cultivées en grains ou en pâturages; la somme de ces produits étant supposée égale à la consommation annuelle, c'est-à-dire, en faisant abstracllon de toute importation ou expoi-tation.

Voici les résultats que ces trois moyens peuvent fournir :

La ration est, pour chaque combattant, de 28 onces de pain ol d'uiic demi-livre de viande. Je ferai ici abstraction de l'eau-de-vie et du vinaigre, qui font aussi partie de la ration, parce que ces deux objets ne sont absolument nécessaires qu'aux troupes qui sont en campagne; on |imiiraii d'ailleurs les comprendre dans la boisson.

On estime qu'une livre de pain répond à une livre de blé, poids pour poids. Le blé perd, par la mouture et par le son qu'on en tire, le (|Marl de son poids; mais la farine regagne par l'eau qu'on y ajoute pour la réduire en pâte, et dont une partie reste dans le pain, le tiers de son

(*) L'Auteur de ce Mémoire m'a dit, en preuve de celle proposilion, qu'il ;ivait vérifié ipie le poids do douze œufs est égal au poids d'une livre de viande, et se vend généralement au même prix.

.,7i ESSAI

|M)iil>. ic (lui roliliic oxacloniiMit lo poids primilirdii bit'. 11 pourrait y avoir (iiulinies variations à cet ('j^anl; mais, coniiiic elles ne peuvent être i|iiel'iirt petites, nous nous tiendrons à celle donnée en nombres ronds.

Ain>i il l'aiit une livri' trois cpiarts de Ide pai' jour ;i eliaciue eoni- JMttant.

Mais i'idw( ive (|ue les eoniliattaiits sont des hommes d'élite, tous dans la i'oree de l'ài^e et des passions, el dont la consommation peut être ret^ardee comme le maximum de consommation de tons les individus.

Or je vois, |iar le même tableau de population donl j'ai pailé ci-dessu>. ijn'il V a au moins un cin(inième au-dessous de dix ans. Ainsi l'on |Mnt supposer (|ue ce cincpiit'mc compense par sa consommation ce t|ue les lemuu's c(Uisommenl de nmins (|ne les honnnes; de sorte cpi'en avant encore éi^ard ii la umindre consommation des vieillards, on en peut coin dure, sans craindre de se tromper beaucoup, (|ue la consommation totale de tous les habitants de la France, pour élic de |)aii' avec cidb des troupes, lie dnil être (pie les ipiatre cim|ui('ines de la consoinmatiou d'un éi,'al nombre de combatlaiils, c'est-à-dire, de aooooooo.

.\insi la consommation totale en bb' sera, il raison de i '^ livre, de ■)5o<)<)()(i<) de livres, cl celle de la viande, ;i raison d'une d<'ini-li\re, de loodDooo de livres |)ar jour.

lioiic, uiiillipliant par '>>>>[, on aura, pour la eonsommalion totale annuelle en ble, i ;> -H '| oixxioo de livres, el en viande 3 (ifia Sooooo livres.

I, a consommation moyenne de (haipie individu sérail par jour d'une livre el deux ciii(|niéines de bb';, el de deux ciiKpiil'ino de livre de \ laiiib-; et par au, de ") i i , '>('> livies de blé, et de i ](> liv res de viande.

I.a >cci.nde manii're de déterminer la consommation moyenne du blé "■I (b- la \ianile i:^\ (oiidée sur les ref,Mslres d'entrée des villes qui étaient Mijettes il des droits. Je me contenterai dans ce niomeiil de ((uisidérer

D'ARITHMKTIOUE POLITIQUE. 575

la consommation de Paris avant la Révolution, d'après les résultats de Lavoisier :

La consommalion annuelle en pain y est estimée de 206000000 de livres

pesant, co qui fail autant en blé 2()6oooooo'''r"-

J'ajoute la consommalion du riz, qui est de 3 5ooooo

aorjSooooo

A l'égard des légumes et fruits, le tableau n'en donne pas la quantité, mais seulement le prix, qui monte à laSooooo livres, tandis que le prix total du pain est de 20600000 livres, n'étant estimé qu'à 2 sous la livre.

Si l'on pouvait supposer la valeur nutritive des légumes, relativement à celle du blé, proportionnelle à leurs prix respectifs, la quantité totale de légumes consommée à Paris pourrait équivaloir à -{^^ de tout le pain, ce qui en fait plus de la moitié; mais, comme il s'y consomme beaucoup de légumes et de fruits de luxe, et qu'en général je crois la valeur nutritive des légumes et fruits moindre que celle du pain, à prix égal, je ne prendrai, pour leur valeur représentative, que le quart du pain, c'est-à-dire 5i Sooooo livres.

Ajoutons donc ce nombre à celui que nous avons trouvé : on aura 2G1000000 de livres en blé pour la consommation annuelle de Paris.

La population de Paris était estimée alors à Gooooo liabitanis. Divisant donc le nombre précédent par celui-ci, on trouve 435 livres pour la consommation annuelle en blé de cbaque babitani de Paris.

Les mêmes résultats donnent 90000000 de livres de viande de boucherie et 10 000 000 de livres de poisson. Comnn' le poisson est à peu près aussi nourrissant que la viande, nous ajouterons ces deux articles ensemble : 100 000 000 de livres.

J'y trouve ensuite 78000000 d'œufs. Comme, à prix égal et à nourriture égale, je crois qu'on préférerait la viande aux œufs, on ne risquerait pas d'estimer trop baut le rapport des œufs à la viande relativement à la nourriture en le supposant égal à celui des prix de ces deux objets. Or je vois, par le tableau des prix, que la valeur des œufs consommés dans Paris était de 35ooooo livres, tandis que celui de la viande était

o"(i i:ss.vi

lie .'|oj(»)ooo livi'fs. Li' r;iji|)oi't de ces dnix noiiilji'cs l'iani dr i ;» 1 i,">- ..., nous supposerons, on iionilircs ronds, que les œufs lienneMl lieu de y'.t de (oute la viande, c'est-à-dire, de -Sooooo livres.

Il reste eiieore :i estimer le iailage. Les résultais (jui me servent de i,'uide ne donnent (jue la eonsonunation du beurre el du l'r()majj,(', qui est de j85ooo() livres de beurre, el de adooooo livres de fromages secs, outre /|2.'| 5o- livi'es de fromages mous. Le tableau des prix donne, pour ces deux articles réunis, y^/oooo» livres; ce nombre est à celui

du prix de toute la viande comme i à 5,2() En supposant les valeurs

nulrilives pi oporlionnfdles aux prix, le beuric et lo fromage consommés il Paris é(]uivaudraient à 17 i i i ooo livres de viande. J'observe (|ue ce poids est un |)eu moindre (|ue le double du poids réuni du beurre et du fromage, knjmd est de 'S 87/1 507 livres, lui le supposant égal, on aurait, en nombres ronds, une demi-livre de beurre ou de fromage pour réijuivalenl d'une livre de viande, ce (jue je crois à peu près juste, d'après diil'crents renseignements que j'ai pris lii-dessus.

Ajoutant donc ensemble ces trois sommes, nous avons 124G11000 livres de viande pour Gooooo individus, ce (|ui donne 207,68 livres par léle.

J<.' viens maintenant i\ la troisième manière de déterminer la consommation movenne. Kllc consiste à estimer la consommation de toute la l'iance par sa production anumlle. et ;i la diviser par lo nombre lolal des habitants.

Les résultats ci-dessus douueni pour le total, en livres |»esanl de blé, seigle, orge, qui se lécoltent et se consomment, non eompiis l'orge eonsomméo pai' les animaux, i/j 000 000 ono; d'ofi , relraiicbant lo dixième pour les scmi'iices, reste pour la coiisoniiiiarKin (itinucllc do loute la Kranee, i i (i()7 000000 d(; livres; ce (jui, elanl divisé par .;>.') oooocjo, donne par tête /iGG,()8 livres.

(lommo celle consommation ne ((Jiupn nd (|ue les grains qui se nian- ;:enl en pain, il faudrait piuivoir v ajouter cidie des Iruils et légumes, qui e>l tri'S-eonsidérabIc dans les caiiq)agnes, surtout dans les parties méridionales de la France. .Nous l'avons estimée pour Paris à un (|uart

DAHITHMÉTIQUE POLITIQUE. 577

(le celle du pain : on peut présumer que |)Our la France entière elle doit être plutôt dans une plus grande proportion (jue dans une moindre. En la supposant d'un (juart, il faudrait ajouter iiG.G^ livres à la consommation individuelle trouvée ci-dessus, ce qui la [)orterait à 583,35 livres.

Suivant les mêmes résultats, la consommation totale de bœufs, vaches, veaux, moutons, porcs, est, en livres de viande, de i2ii/|OOooo; ce (|ui ne donne que 4845G livres par tête.

Cette évaluation est peut-être trop faible; car, dans le nombre des bestiaux consommés, il n'y a que 897000 bœufs et 460000 vaches; or je trouve, dans un Mémoire sur le commerce de la France, imprimé en 1789, qu'il se marque annuellement 1280000 cuirs de bœuf ou de vache, sans compter ceux qu'on ne fait pas martjuer pour en frauder le droit, et qu'on estime pouvoir être évalués au (juart au moins. De celle manière, la consommation des bœufs et vaches, qui, dans l'évaluation ci-dessus, entre pour 392600000 livres, devrait être presque doublée; mais, ne sachant pas quelle confiance peut mériter l'Auteur de ce Mémoire, je n'ose faire une telle correction aux résultats de Lavoisier.

Il faut ajouter à la consommation de la viande celle du fromage : or je trouve, dans ces résultats, que le nombre total des vaches est de 4000000.

D'un autre coté, je trouve, dans VArl de la Fromagerie, que le produit moyen est d'un quintal et demi de fromage par vache : en ne le supposant que d'un quintal, on aurait, en fromage, 400000000 de livres; ce qui donnerait par tête iG livres, qu'on peut regarder comme é([uivalentes à peu près à 32 livres de viande.

On aurait donc, en nombres ronds, 80 livres de viande pour la consommation annuelle de chaque individu en France, sans compter les œufs, les poissons, la volaille, etc., sur les(iuels je n'ai trouvé aucun renseignement.

Voici le tableau des résultats qu'on vient de trouver :