On peut aussi démontrer cet autre Tliéorème

Si l'équation p- — Kq" = ±Yl est résoluble en nombres entiers, en supposant K un nombre positif non carré, et H un nombre positif et moindre

que \ K , les nombres p et q doivent être tels que - soit une des fractions principales convergentes vers la valeur de \)\ .

Supposons que le signe supérieur doive avoir lieu, en sorte que //- — Y>.q- = H; donc on aura

lf->^)

(|u'on cherche deux nombres entiers positifs r et >■ moindres (jueyj el q. et tels que/« — qr= i, ce qui est toujours possible, comme on l'a démontré dans le n" 23, et l'on aura

q s qs '

donc, retranchant cette équation de la précédente, il viendra

de sorte qu'on aura

Or, comme i~ > yK et H < vK. il esl cluir que - sera <^:

iloiic i) — (i\K sera < — -, donc —, sera a plus lorle raison

< ^, i)iiis(|ue s •< y; (le sorte que / — 5 yK sera nue quanlilé iiégalive,