I «II
iaciuelle, piise posilivemeut, sera >■ — ^ à cause de i — > ^.
Ainsi, en faisant \/K = a, on aura les deux (|uantitésy> — (((j el / — as assujetties aux mêmes conditions que celles du n" 23; ou y pourra par (■onsé(iueiit appliiiuer la uuMue analyse du \V 24, et l'on en tirera dos conclusicuis semblables; donc, etc. (n" 26 j. Si l'on avait//- — K 17'- = — H, alors il faudrait chercher les nombres r et s, tels que ps — qr — — \ , et l'iiM aurait ces deux équations
s VK-
'^"UvK*;;) 1
il est clair (lue
sera <i ; de sorte
que la (|iiantit('' .<\ K — r sera n('!i;ative; or je dis (|ue cette (|uaulit(';, prise positivement, sera > y v'K — /''t puur cela il faut di'nioutrer ciiie
ou bien (|ue
"(■ + -) Il i> — i-^) savoir vk"+ '^''^ '1
niais II < ylv (liypothôsc^j ; doue il sullit de pioiivei- ijue
— >■ — ' — ) ou bien que p^s\.K:
c'est ee qui est évident, à cause que, la quantité ^yK ~'' étant négative, il (autijue r^s\fK, et à plus forte raison /^ > 5\/K, puisque /j > /•.
Ainsi les deux quantités /j — y yK eir — 's\JK seront de dilFérents signes, et la seconde sera plus grande (jue la première, abstraction i'aile des signes, comme dans le cas précédent; donc, etc.
Donc, lorsqu'on aura à résoudre en nombres entiers une écjuation de la forme
où H<vK. il n'y aura qu'à suivre les mêmes procédés du n" 33, en
faisant A = i , B = o etC = — K; et, si dans la série P„, P,, P., P
Pct+2p Oïl l'eneontre un terme = ± H, on aura la résolution cliercliéc; sinon on sera assuré que l'équation proposée n'adnu't absolument aucune solution en nombres entiers.
Rkmarque.
39. Nous n'avons considéré dans le n° 33 ([u'une des racines de
l'équation
([ue nous avons supposée positive; si cette équation a ses deux racines positives, il faudra les prendre successivement pour «, et faire la même opération sur l'une (pie sur l'autre; mais, si l'une des deux racines (Ui toutes deux étaient négatives, alors on les cbangerail d'abord en positives, en cliangeant seulement le signe de B. et l'on opérerait comme ci-dessus; mais ensuite; il faudrait pi'endre les valeurs de/) el de </ avec des signes diirérenls, c'est-à-dire l'une [xisitivemcnl el l'aulie negativenn-nt fn°29).
Donc, en ijénéral, ou donnera ii la valeur (\r, H le si'itie ambiiiu :ir , de
iiH'iiR- qu'à ^ E, c'est-à-dire qu'on fera Q„ = qr ^B, et qu'on mettra ± il la place de y E, et il faudra prendre ces siennes en sorte ([ue la racine
suit positive, ce (jui pourra toujours se faire de deux manières dilférenles; le signe supérieur de 13 indiquera une racine positive, auquel cas il faudra prendre /^ et q tous deux de mêmes signes; au contraire, le signe inférieur de B indicjuera une racine négative, aucjuel cas les valeurs de/; cl (j devront être prises de signes dillerenls.
ExF.:\ri»Li:. .
\0. 0/1 demande (jucls nombres entiers il faudrait prendre pour p et q,
afin que la quantité
devint le plus petite qu' il est possible.
Comparant cette (|uantité avec la formule générale du Problème III, on aura A = f), B = — i i 8, C — ^78, donc B" — 4 AC = 3j6: d'où l'on voit que ce cas se rapporte à celui du n° 33. On fera donc E = '^iG
et |vE= \^79' où l'on remarquera d'abord que v'79> ^ <^' < 9; ^'c sorte que, dans les formules dont il ne s'agira que d'avoir la valeur entière approchée, on pourra prendre sur-le-champ, ii la place du radical V79, le nombre 8 ou 9, suivant que ce radical se trouvera ajouté ou retranché des autres nombres de la même formule.
Maintenant on donnera tant à B qu'à sjïi le signe ambigu ± 1 , et l'on prendra ensuite ces signes tels que
soit une (juanlilé positive fn" 39 j; d'où l'on voit (pi'il faut toujours prendre le signe supérieur pour le nombre Sy, et (|ue pour le radical
v/79 on peut prendre éi^alenienl le signe supérieiir el l'inférieur. Ainsi l'on fera toujours Qo = — |B, et y'E pourra être pris sueeessivenient en plus et en moins.
Soit done :
1" I vE = v/79 avee U' signe positif; on fera (n" 3.3; le ealeul suivant:
Qo = - 59,
„. < ^Jï±^J9
,..+4 = 3, P,=. 5LZL25 =,0, ,a..<îl!ll79 ,
3, iJ-3<^-
7 — il9
Qs.= 5.3 — 8=7,
Je m'arrête iei, parce que je vois que Qj = Q, et P^ -- P,, et (|ue la dillerenee entre les deux numéros i et 7 est paire; d'oii il s'ensuit (|ne tous les termes suivants seront aussi les mêmes <|ne les préeédenis; ainsi l'on aura
Q, = 4, Q, = 3, Q,= 7, ..., P, =:-7. P. =rIO, ....
de sorte qu'on pourra, si l'on veut, continuel' les séries ci-dessus ii l'infini, en ne faisant ([ue répéter les mêmes ternies.
2° Prenons njuinlcnanl le lailical y 79 avec un signe négalil', el le ealeiil sera eonime il suit :
' — 3 ' lo
Q.= .o..-7 = 3, p„=: iiZl^ =;. p,<ZL^W7^=.,,
' lO — 7
On peiil s'anélor iei, puisque l'on a trouvé Q„ = Qj et P» = F\, el ([ue la diUércnee des numéros 9 et 3 est paire; car, en eontinuant les séries, on ne retrouverait [dus que les mêmes termes qu'on a déjà trouvés.
Si l'on eonsidère les valeurs des termes P,,, P,, P., P^,... trouvées dans les deux eas, on verra que le plus petit de ees termes est égal à — .i; dans le premier cas, c'est le terme Vj auquel répondent les valeurs p.
ANALYSE INDÉTEUMINÉE. 81
et (/j, et dans le second cas, c'est le terme P^ auquel répondent les valeurs p^ et q,,.
D'où il s'ensuit que la plus petite valeur que puisse recevoir la quantité proposée est — 3; et, pour avoir les valeurs de p et q qui y répondent, on prendra dans le premier cas les nombres u., y.,, 17.2, savoir 7, I et I, et l'on en formera les fractions principales convergentes y, f, Af;
la troisième fraction sera donc — % en sorte que l'on aura/93= i5ety3 = 2;
c'est-a-dire que les valeurs cherchées seront /> = i5 et y = 2. Dans le second cas, on prendra les nombres a, ^u,,, p-o, ^.3,, savoir 5, i, i, 3, lesquels donneront ces fractions f, f, -V-. ^; de sorte qu'on aura />< = 39 et y^ ^ 7 ; donc p := [jij et </ = 7 .
Les valeurs qu'on vient de trouver pour jd et q dans le cas du minimum sont aussi les plus petites qu'il est possible; mais on pourra, si l'on veut, en trouver successivement d'autres plus grandes; car il est clair que le même terme — 3 reviendra toujours au bout de chaque intervalle de six termes; de sorte que, dans le premier cas, on aura
p, = 3, p^ = 3, p,. = 3 et dans le second , P, = - 3,
P,(, = — 3, P|c = — 3, Donc dans le premier cas on aura, pour les
valeurs satisfaisantes de p et q, celles-ci p^, q^, p^, q^, p^„, y, 5 cl
dans le second cas celles-ci />5, q.,, /;,„. «/lo. /^ic> «/ig Or les valeurs
de fz, (j.,, (7.2 , . . . sont, dans le premier cas,
à l'infini, parce que /Jt7 = /x, et /Ji8=: a^,...; ainsi il n'y aura (ju'à former par la méthode du n" 20 les fractions
7 8 ô 83 afij (ùi 875 ^186 aSGi \'i'>x^\ 1 I '2 II 3j 81 lit» 197 3i3 1702
et l'on pourra prendre pour p les numérateurs de la troisième, de la neuvième, etc., et pour q les dénominateurs correspondants; on aura donc p = i5, q — 2, ou p =^ 236i, y = 3i3, ou etc.
