i4 1 59 26535 89793 •23846 26433 83279 SoaSS

et qu'on opère en même temps sur cette fraction et sur la même, en y augmentant le dernier caractère 8 d'une unité, on trouvera cette suite de quotients

de sorte que l'on aura

périphérie , , '

diamètre ^

Comme il y a ici des dénominateurs égaux à l'unité, on pourra sim- Vll. 3

is vnnmoNs vix éléments DM.r.ÊBRK iveui.f.u.

|ilitifr la iVactiou, vu y iiilroihiisaiu des liTiiirs iiéi^atirs, par k's tormules (lu 11" 7, ti l'iui Inuivi'ra

penpherio , i

dianielre

MU hicn

poriphério diamètre

i). Nous avons montre ailleurs (•(iininciit on peut appinpier la Théorie (les fraelions eonlinues a la résolution numéii<|ue des é(]Uations, pour laquelle on n'avait encore ijue des méthodes imparfaites et insuftisanles. Voyez les Mcntnircs de. l' Acadcnne de lieiiin poui' les années 17^7 et. 17G8 ',' . Toute la dillieulté consiste ii pouvoir trouver dans mw é(|ualion (pudeoncpie la valeur entière la plus approcdu'e. soit eu exci's ou eu défaut, de la laeiue ( herchée, et c'est sur (juoi nous avons donné les premiers des règles sures et générales, par les(|uidles on peut non-seulement reconnaître comliii-n de racines réelles positives ou négatives, égales ou inégales, contient la projiosée, nuiis encore lionvei' faciieuH'Ul les limites de (;hacune de ces racines, et ménn; les limites des (juantilés réelles (|ui composent les raciiu's imaginaires. Supposant donc (|uc x soi! rinconnue de re(|uatioii |)roposée, on chercdiera d'ahord h iionihre entier (|ui apjin» liera le plus de la racine cherchée, et, uoniniant ce

Cl OEuvrcs tic iM^iin'^v, t. H. p. 5ÎS cl .jSl.

nom

bre «, il n'y aiin, qu'à faire, comme on l'a vu dans le n" 3, ^^ry.^l (je nomme ici x,y,z,... ce que j'ai dénoté dans l'Article cité par L b,c,...);ei, substituant cette valeur à la place de x, on aura, après avoir fait évanouir les fractions, une équation du même degré en y, qui devra avoir au moins une racine positive ou négative plus grande que l'unité. On cherchera donc de nouveau la valeur entière approchée de cette racine, et, nommant celte valeur p, on fera ensuite y = |3 4- ' , ce qui donnera de même une équation en z, qui aura aussi nécessairement une racine plus grande que l'unité, et dont on cherchera pareillement la valeur entière approchée 7, et ainsi de suite. De cette anière la racine cherchée se trouvera exprimée par la fraction con-

m linue

qui sera terminée si la racine est commensurable, mais qui ira nécessairement à l'infini si elle est incommensurable.

On trouvera dans les Mémoires cités tous les principes et les détails nécessaires pour se mettre au fait de cette méthode et de ses usages, et même différents movens pour abréger souvent les opérations qu'elle demande ; nous croyons n'y avoir presque rien laissé à désirer sur ce sujet

si important.

Au reste, pour ce qui regarde les racines des équations du second degré, nous donnerons plus bas (n- 33 et suivants) une méthode particulière et très-simple pour les convertir en fractions continues.

10. Après avoir expliqué la génération des fractions continues, nous allons en montrer les usages et les principales propriétés.

Il est d'abord évident que, plus on prend de termes dans une fraction continue, plus on doit approcher de la vraie valeur de la quantité qu on

20 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÉBKE DEULEH.

a exprimée par cette fraction; de sorte que, si l'on s'arrête successivement à chaque terme de la fraction, on aura une suite de quantités qui seront nécessairement convergentes vers la quantité proposée. Ainsi, avant réduit la valeur de a h la fraction continue

on aura les quantités

OU bien, en réduisant,

qui approcheront de plus en plus de la valeur de a.

Pour pouvoir mieux juger de la loi et de la convergence de ces quantités, nous remarquerons que, par les formules du n" 3, on a

d'où l'on voit d'abord que a est la première valeur approchée de a; (|u't'nsuite, si l'on prend la valeur exacte de a, qui est- y--' et([n'on v substitue pour b sa valeur approchée [j, on aura cette valeur plus approchée -^-^ — -, qu'où aura de n)éme une troisième valeur plus approchée

de a, en mettant d'abord pour b sa valeur exacte > ce qui donne

a— — î-jâ — ■) et prenant ensuite pour c la valeur approchée y;

par ce moven la nouvelle valeur approchée de a sera

(oc[3-h i)y-H3e.

continuant le même raisonnement, on pourra approcher tlavantage, en mettant, dans l'expression de a trouvée ci-dessus, a la place de c sa valeur exacte ^ . '^ ce qui donnera

[(«[3-f-i)y-t-a]rf-;-g(3 + i • "^ {(3y + i)rf+[3

et prenant ensuite pour cl sa valeur approchée o, de sorte qu'on aura pour la quatrième approximation la quantité

((3y + i)â+P et ainsi de suite.

De là il est facile de voir que, si par le moyen des nombres a, /5, 7. 5,... on forme les expressions suivantes

C=--yB- A, c, = yB, ~A„

D- ôC-T B, D.^ÔC, -rB,,

E=£D-;-C, E.r^sD, H-C,

on aura cette suite de fractions convergentes vers la quantité a