ML II

82 AOniTlONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈRHE D'EULKU.

Dans le socond cas, les valeurs de a,, ij..,, IJ.3,... seront

jiiir.c (jiie fz-g = 1J.3, iJ.,n = u.; On tbnnera done ccis fraclions-ci

i' 1' 2 ' 7 ' .iy ' 'l'i ' tii ' liJ 3.ii iiiM 't[yii

it les fractions quatrième, dixième, etc., donneront les valeurs de/) et y, lesquelles seront donc/) = 89, q = "], ou/) = 6225, y = 1 1 18, etc.

De cette manière on pourra donc trouver par ordre toutes les valeurs de p et q qui rendront la formule proposée — — 3, valeur qui est la plus petite qu'elle puisse recevoir. On pourrait même avoir une formule içénérale qui renfermât toutes ces valeurs de/) et de </; on la trouvera, si l'on en est curieux, par la méthode qu(( nous avons exposée ailleurs et dont nous avons parlé plus haut (n" 35).

Nous venons de trouver que le minimum d(( la (juaulité proposée est — î, et par conséquent négatif; or on pourrait proposer de trouver la |)lus petite valeur positive que la même quantité puisse recevoir; alors

il n'y aurait qu'à examiner les séries P„, P,, P,, P: dans les deux

cas, et l'on verrait que le plus petit terme positif est 5 dans les deux cas; et, comme dans le premier cas c'est P^, et dans le second P;, (|ui est égal à 5, les valeurs de /) et de q, qui donneront la plus petite valeur positive de la quantité proposée, seront /)i, y,, ou p,o, «/lo. <>u etc. dans le premier cas, et/)3, y.,, ou p^, q^, ou etc. dans le second; de sorte (| ne l'on aura, par les fractions ci-dessus, /; = 83, q = \\, ou p= i32c)i, y = I ~jùi, .... ou p =^ \ i , q = 2, ou p = 1 843, (/ = 33i , ou etc.

.\u reste, on ne doit pas ouhlier de remarquer que les nomhres [x, p.,. rj.j,..., trouvés dans les deux cas ci-dessus, ne sont autre chose (jue les lermcis des fractions continues qui représentent les deux racines de ré(juation

9^= — I rSjT ■+■ 378 := O.

ANALYSE INDÉTEHMlMiE. 83

De sorte que ces racines seront

expressions qu'on pourra continuer à l'intini par la simple répcliiinii (les mêmes nombres.

Ainsi l'on voit par la comment on doit s'y prentlre pour réduire en tractions continues les racines de toute équation du second degré.