X - 7*; pc, -4- mil,, )■:- :h ifc, ■■. nid

expressions (|ui renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles en nomltrcs etilieis de l'eiiualiou proposée.

Au i-este, pour ne laisser aucun embarras dans la pratiipu' de celle inclliode, nous remar(|Ucrons qm , (|niii(jue les noudircs r/ cl /> puissent elfe |io>itifs OU ui'galifs, on peut ueaiiuioins les prendre hMijour's posi- Mveuicnl. pourvu (]u'on donne des si^nies contraires ii .i- si «esl néii,alil, el il V si /> (.'Si négatif.

I^XIMIT.i;.

VI. l'iiur duniici- un exemple de la nniliode prccedeiile, nous prendrons celui du n' I i du Cliapili-e I" du Tiaile préi-eilcnt, oii il s'agil de

résoudre l'équiilion

39/j ^ 56(j -h II ;

changeant /> en ar et «7 en v, on aura donc

Ainsi on tera a — 39, i — 56 et c = 1 1 ; et, comme 50 et 3g sont déjà premiers entre eux, on aura a, = 39, b, = 56, c, = 1 1 . On réduira donc

en fraction continue la fraction — = t;-> et pour cela on fera f comme

on l'a déjà pratiqué dans le n" 20) le calcul suivant

Ensuite, à l'aide des quotients i, 2, 3,..., on formera les fractions I, 2, 3, 2, 2,

^ 3 10 33 i6 1 J 7 it) .'ig

et la pénultième fraction — -. sera celle que nous avons désii(née, en général, par-: de sorte qu'on aura /; = 23, 7 = 16; et, comme cotte

fraction est la quatrième et par conséquent d'un quantième pair, il f;iiidra prendre le signe supérieur; ainsi l'on aura, en général,

.r = 23. I î -(- 5h ni, y = 16. m -t- 3() ni,

m pouvant être un nombre quelcon(]nc entier, positif ou né^iaiif.

;f. \ltl)ill(•.^^ MX liLKMENIS H' M.C KItll K I) Kl l.Kli.

Wv.M.KWQVl .

ir>. On (luil la prcmuTC snliilioii de ce Picihlt'iiic ;i 15;U'liel du Ui/ÀriiM . (|iii l'a (Idiuii'o dans la seconilc cdil'niii de ses Récréations nialliénialii|iics, iiitiliilées J'/oh/c/zics /i/aisa/is cl drlcrldlilcs. etc. I,a |)reniit'r(' fdiliiin de cet Ouvrage a paiii en i(')i:>; mais la solnlion dont il s'ai;il n'\ i>l (|n'ann(»neée, el ce n'e>t (jne dans l'édition de \('):>.\ i\n\)n la trouve eonipléle. La niéiliodc de Ikuliel est lics-direcle el liès-ingéniense, el ne lai>sc rien ii désirer du c('i|('' de l'élégance el de la généralité.

Nims saisissons :[\rv ]ilai>ii- celte occasion de rendic ii ce savant Anlenr la justice i|ni lui est due sur l'c sujet, parce (|ue nous avons reuiar- (|Uc (|ne les gconicires «jui ont traité le inéuie Prohlènic après lui n'ont jamais l'ait aucune mention de son travail.

N'oici m peu de mots ;i (|iioi se réduit la méthode de IJacliet. Après a\i.ir lait voii' comment la solution des éijuations de la forme

(IX — />)• = f,

Il i-\ h claiiL premiers entre eux, se réduit ii celle de

(IX — ^)i— ± I,

• il s'attache à résouilre celte dernii're é{iuation, et pour cela il prescrit de fiiire entre les nomhres d l'I // la même opération (|ue si l'on voulait cheicher leur plus giand commun diviseur ^''esl aussi la même (|ne rion> avons prati([uée ci-devant;; ensuile, nummanl c </. c, /',... les restes |)rovenanl des dillercnles divisions, cl supposant, j)ar exemple, i]ne Asoil le dernier reste, (|ui sera néeessairemenl égal à l'unité (à eaiiM,- i|U(; (I et /> sont premiers entie eux, h\'(i. . il l'ail, lors<|ue le nnnihre i|e> nsles est pair, l'ouime dans ce cas.

il " '' 'c ~ '•"' b

les deiiéuM^ nombres ,'î et 7. seront les plus petites valeurs de .r el j.

ANALYSE INDETERMINEE. 93

Si lo nombre dos rcslos ét:iit impair, comme si g élail le cii'riiier reste = r, alors il l'aiulrait faire

Il est facile de voir (]uo cette méthode revient an même dans le tond (|iie celle du Chapitre P'; mais elle est moins commode, parce (in'illc demande des divisions; au reste, les géomètres qui sont curieux de ces matières verront avec plaisir dans l'Ouvrage de Bachet les artifices qu'il a employés pour parvenir à la règle précédente, et pour en déduire la solution complète des équations de la forme

(tJ: — /'^)'= c.

g IV. — Méthodes pour résoudre en nondjres entiers les é<iii<itio/is indéterminées à deux inconiuies, lorsque l'une des i/ico/inues ne passe pas par le premier degré, et lorsque les deux i/nonnnes ne forment que des produits d'une même dimension.

■ Addition pour le Chapitre III.) 46. Soit proposée l'équation générale

a -^ hx ^ (:)■ ■+■ dx' -V- exy + fx^ + o •^''.)' + l>x^-\- /, x^r -+■... ^^ o.

dans laquelle les coelficientsrt, h, c,... soient des nombres entiers donnés, et où X et y soient deux nombres indéterminés, i\[\\ doivent aussi être entiers.

Tirant la valeur de >- de celle é(|ualion, ou aura

ItX -+■ (Ix- -i- fx' -+- /iX' -H . . .

c -hex -h gx^ + hx^ -+■ .

ainsi la (jueslion sera réduite à trouver un iioiubre entier (|ui, étant pris pour .r, rende le numérateur de cette Iradiou divisible par son dénominateur.

(II. MiUUlHNS Al \ l.l.KMKNTS 1) Al.C.lilîUI-: D'ia'LLU.

Suit su|>|MiSL'

j) -— <t -^ /' .r -H tl.i '■ ■+- f.v' 4- /( X' -t- . . . , <] ^= c -h ex -^- g.v'-' + A .r' + . . . ,

l'I (|ir<iii flimiiu' X de ces doux t'(]ualions par les règles oniinaires de rAli,'t'lire; on aura une éciualion finale de cette l'orme

A ■+- B/-» -f- C(] +- D/J' -+- V.pij -+- V if + Ci/j' + . . . — o,

ciii les loillicicnts A, 15. C... seionl des l'oiietioiis rationnelles et l'U-

titTes des nonilufs a, l>, r

.Maiiitcnant , puisque i — ' ^ on aura aussi p — — qy; de sorte (|u'en substituant eetle valeur (ie/^ il viendra

nii Ton voit (lue tous les Icrnics sonl niiillipliés par y, ii l'exct plioii du |ireniier Uinic A; donc il faudra que le nombre A soit divisible par le nonibri' </ ; autrement il serait impossible que les nombres q et j pussent ('•trf entiers ii la l'ois.

(In cliereliera donc tous les diviseurs du nombre entier connu A. el l'un [)rendra successivement cliacun de ces diviseurs pour</; on aura pal- (bacune de ces sup|)Ositions une é(|uation déterminée en r, dont un chercbera par les mctbodes connues les racines rationnelles et enlii'res, s'il y en a; on substituera ensuite ces racines à la j)lace de x, et l'on verra si les valeurs résultantes de/; et de q seront telles (|ue - soil un nombre entier. On sera sni' de trouver par ce moyen toutes les valeur> entières de .r, qui peuvent donner aussi des valeurs entii'i'cs pli 11 IV dans ré(|uation proposée.

De là un voit que le noiiibie des solutions en entiers de ces sortes d'équations est toujours nécessairemeiil limité; mais il y a un cas (|ui duit être excepté, et (|ui écba|)pc à la métbode précédente.

•i". (le cas est celui on les coellicients e, g, k, . . . sont nuls, en sorte qui- l'on ait siinplenient

(( -+- Ux -+- dx'' -4-/x' -1- hx* -\- . . .

voici l'omment il fautlra s'y prendre pour trouver loules les valeurs «le X qui pourront rendre la ([uanlité

a -\- b X -k- d x"- -¥- fj' -h /i X' -h . .

divisible par le nombre donné c : je suppose d'abord qu'on ait trouvé un nombre entier n qui satisfasse à cette condition; il est facile de voir «|ue tout nombre de la forme n -^^ic y satisfera aussi, a étant un nombre

(]uelconque entier; de plus, si n es't >- (abstraction faite des signes

de n et de Cj, on pourra toujours déterminer le nombre /j. et le signe qui

le précède, en sorte que le nombre n ± ^c devienne < --, et il est aisé

de voir que cela ne saurait se faire que d'une seule manière, les valeurs de n et de c étant données; donc, si l'on désigne par n, cette valeur de

n rn 'j.c, laquelle est < -> et qui satisfait à la condition dont il s'agit,

on aura, en général,

n = n, zjT U.C,

ij. étant un nombre quelconque.

D'où je conclus (jue, si l'on substitue successivement, dans la formule

a -i- bx + clx- -\- fx^ + . . ,

à la place de œ tous les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne

passent pas -^ et qu'on dénote par n,, n.^, n.^,. . . ceux de ces nombres

(jui rendront la quantité a -h bx -h dx- -\- . . . divisible par c, tous les autres nombres (jui pourront faire le même effet seront nécessairement renfermés dans ces formules

«1 — a, c. H, dr p.; c, «1 dz u, f, ...,

u,, p.,, ,a3, . . . étant des nombres quelcon(|ues entiers.

On pourrait faire ici dilférentes remarques pour faciliter la recberchc

des nombres n,, n.,, n^,.:.; mais nous ne croyons pas devoir nous arrêter

davantage sur ce sujet, d'autant que nous avons déjà eu occasion de le

traiter dans un Mémoire imprime parmi ceux de l'Académie de Herlin

Ml, i".

>.tS AlUtlIliiNS M \ i:i.i:MI.NrS l> UJ.KIîUK DKUI.KI!.

|i(Mir r;iiiin't' lyikS, cl (|iii a pmir lilri' : Xoinr/lc Mct/ux/r /lotir nsomlrc 1rs l'rohlvnns iiulctcnnincs ' . / '(mc; aussi un Mémoire de Legciulrc .w^ /' l/////v\< indéU'rinincc. diiiis le liccueil de l'Académie des Sciem^es de /'(iris jiiMir Idniiée i yS").

tS. (liiiisidt'idiis uiiiiutciiaiil les c'(|ii;Uioiis de la toiuif

Il y" -+- by'"- x -f- r )-"-'.r' -H ily'" 'x' -(-...— /),

dans lcs(|ucll('s a, h, c /; sont des noniljrcs cnlirrs ddiuics. cl oi'i les

di'ux indiiciininccs a\ v, (|ui fiuinciil |iailonl dans le |ucmirr nirnihic II' MiiMiir iKHidin' m di' diniciisioiis , dnivfnl (Mii' aussi des iKiiulircs l'iilicr.s.

// l'I z claiil des nouil)res cnlii'is indclcruiiui's; car, en regarda iil .i\ y et /( loiiiinc des nombres donnes, on aura une é(|nalion résoluMe en nouil)res eiilier^ par la mélhode du v; III, pni^(|nr y cl /; n'ont, ])ar l'Iiypollii.'se, d'anlic coiuinutie mesure (pu; l'iinili'. Ou'on sul)slilnc celte expi'ession de .r dans l'e(|uatioii proposée, elle (ie\iendra

a -i- lin -+- vit- 4- dit' -h . . . ) j" — 1 /> -t- 7. en -+- idn'' -f- . . . i In'" ' z

-(- (c -t- Wm + . . .)li^y"-^z'— ...=/(,

où l'on voit que tous les lernu's sont divisililes d'eux-uiènn's par //, e\-

re|i|e le premier

I rt -¥- hn -+- en- -H dn^ -t- . . . j y"'.

Il faudra donc, pour que l'équation puisse subsister en nombres entiers, ipn- i-ette (juantilé soil aussi divisible par //. Mais nous supposons iiue // '•l;>-sont premiei's entre eux; donc il l'audia (jue la ipianlili'

a -4- lin -\- cil' -t- du' 4- . . .

(*j i)liiuTC\ ilr ly/inraif^r, t. 11. p. (15 1.

ANALYSE INDKTEUMINÉE. 99

soit elle-niême divisible par h. Ainsi il n'y aura (jn'à cliert-lifr, par la méthode du numéro précédent, toutes les valeurs de n qui pourront satisfaire à cette condition; faisant ensuite, pour chacune de ces valeurs,

a -^ bn -+- cti^ -i- (In^ -h . . .:=z h \, h -i- 9. en -^ 3 (/n- -!-...= B, f -h 3r/n -)- . . ^ C,

l'équation précédente deviendra, après ces substitutions cl la division de tous les termes par h,

cette équation, étant ainsi reduile a la forme de celle du n" 30, est susceptible des méthodes que nous avons données dans le § II, et par lesquelles on pourra trouver toutes les valeurs satisfaisantes de y et :;. Ces valeurs, ainsi que celles de n, étant connues, on aura, en général,

X = nr — /i z.

Nous avons supposé, dans la solution précédente, que j: et y doivent être premiers entre eux, ainsi que y et h entre eux; ces suppositions sont permises, puisque les nombres x et y sont indéterminés; mais, comme elles ne paraissent point absolument nécessaires, il faut encore examiner dans quels cas elles peuvent cesser d'avoir lieu.

Supposons donc : i° que x et y puissent avoir une commune mesure Cf.; il n'y aura qu'a nieltic partout, dans l'équation proposée, (/.a:,, y, à la place de x el y, et regarder ensuite x, et y, comme [)remiers entre eux. Or, par cette substitution, il est clair que tous les termes du premier membre de l'équation se trouveront multipliés par a'"; par conséquent, il faudra que le second membre h soit divisible par «'" : d'où il suit qu'on ne peut prendre pour a que les diviseurs du nombre /> ([ui s'y trouveront élevés à la puissance m. Ainsi, si le nombre /* ne contient aucun facteur élevé à la puissance m, on sera assuré que les nombres X cl y devront nécessairement être premiers entre eux.

lUO ADDITIONS AUX KLKMENTS DAIJ.EHUE D'EULKK.

Si le nomltir li oontii'iil un ou plusieurs facteurs élevés à la |(uissance m, alors il faudra prendre successivement pour a eluxiue l'acteur ou couihinaison de facteurs, dont la puissances divisera le nombre h, et \'in\ aura autant de solutions diUërentes en regardant dans chacune a-, et V, comme premiers entre eux.

Supposons : 2° que y et A aient une commune mesure /i; on niettra jîj, et [•jh^ à la place de y et h, et l'on legardera ensuite j', et /;, comme premiers entre eux. Par ces substitutions, tous les termes du premier membre qui contiennent j se trouveront multipliés par une puissance de ,'5; il n'y aura ([ue le dernier terme, (jue je représenterai par ^a'", qui, ne contenant pointj', ne se trouvera point multiplié par /3. .^fais, puisque le second membre h devient |3/«,, il s'ensuit que le terme gx'" devra aussi être divisible par p\ or, x et j étant déjà supposés premiers entre eux, X ne saurait être divisible par p; donc il faudra que le coefficient g le soit. D'où je conclus qu'on pourra prendre pour |5 successivement tous les diviseurs de g-, et, apri-s la substitution de pv, et ph, an lieu Ae y et de h et la division de toute l'équation par fj, on aura de nouveau le cas où l'indéterminée j, sera nécessairement première au nombre //,, (|ui formera le second membre.

*^ \ . — Méthode directe et générale pour trouver les valeurs de X qui peuvent rendre rationnelles les quantités de la forniv y a -\- bx -\- ex-, et pour résoudre en nombres rationnels les équations indéterminées du seeond degré à deux inconnues, lorsqu elles admettent des solutions de cette espèce.

(A(l(]ition pour le Cliiipilrc IV.)

V^. .le suppose (raboi<l (|ue les nombres connus a, h, c soient eutiers; s'ils étaient fractionnaires, il n'y aurait qu'à les réduire à un même ilénominateur carré, et alors il est clair qu'on pourrait toujours Hùrcabstrailion de leur dénominateur; quant au nombre x, on supposera ici

\N\LVSE INDETERMINEE. 101

(|iril puisse être enlier ou IVaclioniinirc, et l'on verra par la suite eoiiinient il faudra résoudre la question, lorsqu'on rn'. veut aduiellre que des nombres entiers.

Soit donc

\/a-{- bx + ex' ^y,

et l'on aura

2.CX -i- b=^ \/^c}' -{- b- — 4*"^; de sorte que la diirieulté sera réduite à rendre rationnelle la quantité

^4 '■'X' "*" ^' — 4 ac.

50. Supposons donc, en général, qu'on ait à rendre rationnelle la quantité \ Ay- -+- B, c'est-à-dire à rendre

égal à un carré, A et B étant des nombres entiers donnés, positifs ou négatifs, et/ un nombre indéterminé, qui doit être rationnel.

Il est d'abord clair que, si l'un des nombres A ou B était = r, ou égal à un carré quelconque, le Problème serait résoluble par les métbodes connues de Diopbante, qui sont détaillées dans le Cbapiire IV; ainsi nous ferons ici abstraction de ces cas, ou plutôt nous tâcherons d'y ramener tous les autres.

De plus, si les nombres A et B étaient divisibles par des nombres carrés quelconques, on pourrait aussi faire abstraction de ces diviseurs, c'est-à-dire les supprimer, en ne prenant pour A et B que les quotients qu'on aurait après avoir divisé les valeurs données par les plus grands carrés possibles; en effet, supposant A = a" A,, et B = p-B,, on aura à rendre carré le nombre A,a-y- ^ B,]S-; donc, divisant par p-, et faisant

fy. =y,, il s'agira de déterminer l'inconnue j,, en sorte que

A..)-; -■- B, soit un carré.

D'où il s'ensuit que, dès (|u'on aura trouvé une valeur de y propre ii rendre A v" -t- B égal à un carré, en rejetant dans les valeurs données

102 ADDITIONS AUX ÉLÉMIiNTS DALGÈHllE DliULEU.

lie A et (le B K-s nu'tours (larrés a- et ,j'- ([u'cIIos pourraient reiil'eiiiiei'. il u'\ auia (iii'à imiltiplier la valeiif trouvée de y par -> pour avoir celle (|ui coiivienl ;i la (juautité proposée.

51 . Considérons donc la l'orniule Av' -+- B, dans laquelle A et H soient des nomlires entiers donnés qui ne soient divisibles par aueun carré; et,

coniuic on suppose que j puisse être une fraction, faisons y = ~i [>q\ q

étant des nombres entiers et premiers entre eux, pour (jue la fraction soit réduite à ses moindres termes; on aura donc la (juantité

qui devia être un carré; donc A/j" -+- By- devra en être un aussi; de soite (|u'on aura à résoudre l'équation

A^= + Bç'= z\

en supposant/*, q et z des nombres entiers.

Je vais prouver d'abord (|ue (j doit être premier à y\, et (|ue j) doit l'être il B; car, si y et A avaient un commun diviseur, il est clair (|ue le terme By- serait divisible par le carré de ce diviseur, et que le terme A/»'ne serait ilivisible que par la pi'emière puissance du même diviseur, à cause que q vl p sont premiers entre eux, et que A est supposé ne contenir aucun fadeur carré; donc le nombre A/r + Bq- ne serait divisible ((u'une seule fois par le diviseur commun de q et de A; par conséquent il serait impossible que ce nombre^Cùt un carré. On prouvera de même (|ue/) et B ne sauraient avoir aucun diviseur commun.

lU'solulion (le l'cquation \p^+ ]iq^ = z'^ en nombres entiers. 52 Supposons A > B; on écrira cette é(|ualion ainsi

ANALYSE INDÉTEHMINÉE. 103

ot l'on remarquera que, comme les nombres /j, q el z doivent èlre entiers, il faudra que z- — By- soit divisible par A.

Donc, puisque A et y sont premiers entre eux (numéro précédent), on l'era, suivant la méthode du § IV, n** 48 ci-dessus,

Z = nq — \q„

n et y, étant deux nombres entiers indéterminés; ce qui cban^era la formule z- — ^q- en celle-ci

{n- — B)9'— an A77, 4- A^(7;,

dans la(juelle il faudra que /i" — B soit divisible par A, en prenant pour»

un nombre entier non > - •

On essayera donc pour n tous les nombres entiers qui ne surpassent

pas -5 et, si l'on n'en trouve aucun qui rende n- — B divisible par A, on

en conclura sur-le-cbamp que l'équation

kp^ — z--— ^(f

n'est pas résoluble en nombres entiers, et qu'ainsi la quantité A y- -4- B ne saurait jamais devenir un carré.

Mais, si l'on trouve une ou plusieurs valeurs satisfaisantes de //, on les mettra l'une après l'autre à la place de n, et l'on poursuivra le calcul comme on va le voir.

Je remarquerai seulement encore qu'il serait inutile de donnei' aussi

à n des valeurs plus grandes que - ; car, nommant «,, n„, n.,... les valeurs de n moindres que - ■> (|ui rendront rr — B divisible |)ar A. toutes

les autres valeurs de n qui pourront faire le même elVet seront lenferniées dans ces formules (n" 47 du § IV)

w I ± tX| A , «, rb f^.j A , «j ± u., A , ... ;

or, substituant ces valeurs à la place de n dans la formule

:«•— B)(/'— 3. /(A77,-+- A'(/;', cVsl-à-dire [ntj — Aq,)- — \hj'.

|(»V ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'A I.(; ÈBK K l)' KLl LK!!.

il (Si clair qu'on ;uii':i los mêmes résiillats que si l'on mettait seulement . n,, n.,. rij,... à la place de n, et qu'on ajoutât à q, les quantités rp a,*/,

qr luq, qr 0.3(7 ''^ ^O""*^' ^"*^' f»'"""' ^1 ^^^t un nombre indéterminé,

ces substitutions ne donneraient pas des formules différentes de celles (|u'on aura par la simple subslilulion des valeurs n,, n.^, //.,

53. Puis donc que /r — B doit être divisible par A, soit A, le quotient de cette division, en sorte que AA, =- li^ — B; et l'équation

étant divisée par A, deviendra celle-ci

p'' = A , (y- — inqcji 4- A </ J , ou A, sera nécessairement moindre que A, a cause que A, = j^ — et que B •< A, et n non >■ - •

Or, 1" si A, est un nombre carré, il est clair (|ue cette équation sera résoluble par les méthodes connues, et l'on en aura la solution la plus simple qu'il est possible, en faisant ^, = o, y = i etp = y'-'^i-

2" Si A, n'est pas égal à un carré, on verra si ce nombre est moindre (|ue B, ou au moins s'il est divisible par un nombre quelconque carré, en sorte que le quotient soit moindre que B, abstraction faite des signes; alors on multipliera toute l'équation [)ar A,, et l'on aura, à cause de AA,-n= = -B,

A,/^'= ( A,ç — nq,)'— hq] ;

(if sorte qu'il l'audra que

soit un carré; donc, divisant par/^'-, et faisant '- --/i ot A, - - C, on aura

il rendre carrée la formule

la(|uelle est, comme l'on voit, analogue ;i celle du n" 50. Ainsi, si C contient un facteur carré 7", on pourra le supprimer, en ayant allciition de

ANALYSE INDETERMINEE. 105

multiplier onsuilc par 7 la valeur (ju'on trouvera pour y,, pour avoir sa véritable valeur; et l'on aura une formule qui sera dans le cas de celle du n° 51, mais avec cette diiîérence que les eoelticients B et C de celle-ci seront moindres ([ue les coefficients A et B de celle-là.

54. Mais, si A, n'est pas moindre que B, ni ne peut le devenir en le divisant parle plus grand carré qui le mesure, alors on fera </ = vr/, -+- q.,, et substituant cette valeur dans l'équation, elle deviendra

où

n, = n — vAi, el A2= A,v — 2/0 -?- A = - —

On déterminera, ce qui est toujours possible, le nonibic entier v, en sorte que n, ne soit pas > —■, abstraction faite des signes, el alors il est

clair que A. deviendra < A,, à cause de Ao = — r — > et de B = ou < A,,

et «I = ou <, --•

On fera donc ici le même raisonnement que nous avons fait dans le numéro précédent, et, si Ao est carré, on aura la résolution de l'équation; si A^ n'est pas carré, mais qu'il soit < B, ou (ju'il le devienne étant divisé par un carré, on multipliera l'équation par A., el

l'on aura, en faisant ^ = y, et A. = C, la formule

qui devra être un carré, el dans laquelle les coefficients B cl l^ (après avoir supprimé dans C les diviseurs carrés, s'il y en a) seront moindres que ceux de la formule Ay- + B du n" 51.

Mais, si ces cas n'ont pas lieu, on fera comme ei-dessus q, — v, q<-^qj. et l'équation se changera en celle-ci

p^=:z \,q\— 2na(/,(/3-+- A.(/',,

oii

/;,= n, — i/,Aj, cl Aj— Ajv' — 2H1V1-I- Ai=; ---— • ' Au