VII

un; \iihiiio\s \i \ i;i,i:mi:n rs h \L(ii;i!Kr. h'i.i i r.ii.

On [iri'iuliM iliMic |>inii' V| iiii iioiiilirc cuHit, loi (iiii' n, ne soil |»i>s

'' ali^tiactioii l'ailo des sii^iics; cl, i(iiiiinc H n'csl pas > Aj (li\p.;,

il >'i'iisint lit' ri'(|iiiili(iii

(|ii(' A, sera 'A,,; ainsi l'on punira l'ain- (Icicclicf les mornes laisoniii'nn'nls (|nt' ci-dcssns, et i'cni v\\ liicra des concliisioiis scnihlahlos, cl ainsi de snilc.

.Mainlciianl, ci muni' les ncmbrcs A, A, . A j, Aj lorincnl n ne suite

décroissante de npiiihres ciiliers, il est visilile cju'en cdnlinnanl celte suite DM parviendra ui'cessaiicnn'nt ;i un leinic nioiiidi'e (|ue le iionilu'e donne 15; et alors, iioinnianl ce tei'inc C, on aura, coninie nous j'avons vu ci-dessus, la formule

il rendre éija le it un caii'é: de sorItMjue, par les opérations (|ue nous venons d'i'xijoser. on sera toujours assuré de pouvoir ramener la i'ormnio A V- -^ Bit une autre plus simple, telle que B)'[ + C, au moins si le Prolili-nie est rés(dul)le.

5ô. De même (]u'on a icduit la lormule A ) - ; B à celle-ci Bj'j -+- (^ on pourra leduiie cette derniéie à celle aulre-ci

Cr; -^ I),

oii I) sera nioindic ijue i'., ainsi de suite; et, comme les nomlircs A, B,

C, I) lorment nm' séiie <lécroissantc de nomlii'cs entiers, il est (dair

<)ne cette série ne pourra pas aller ii l'inlini, et (]u';iinsi ro|)éralioii sera toujours in'cessairement lerininée. Si la (|ui'stioii n'admet |)oiiil d(; solution en nomlircs rationmds, on p;irviendia ;i une condition impossible ; mais, si la i)ueslion esl résoluble, on arrivera loujouis ii une é(niatioii semlilalile il celle du n" 03, i-l où l'un des co(d'ficienls, comme A,, sera cai're, en sorte (|u'cllc sera susceplilile des melliodcs connues; celle

ANALYSE INDÉTEUMINliE. 107

équalion étiint irsoliio, on pourra, en rélroi^radanl, rc-soiulrc successivement toutes les équations précédentes, jiis(|ir;i la [)r(Mni('re

Eclaircissons cette métliode par (juelques Exemples.

Exemple 1.

56. Soit propose de trouver une valeur rationnelle de .v, telle que la formule

devienne un carré . {Voyez Chapitre IV, n" 57 du Traité précédent.) On aura donc ici « = n, è = i5, c = i3; donc

4c = 4- '3, et A'— 4rtc=: — i3c),

de sorte que, en nommant j la racine du carré dont il s'agit, on aura la

formule

qui devra être un carré; ainsi l'on aura A = 4-'3 et B = — iSq. où l'on remarquera d'abord que A est divisible par le carré 4' 'le sorte qu'il faudra rejeter ce diviseur carré et supposer simplement A = i3; mais on se souviendra ensuite de diviser par 2 la valeur (lu'on trouvera pour y (n° 50).

On aura donc, en faisant y = '-, l'équation

i3^- — iSijq^ = z-,

ou bien, à cause que \'Mj est > i3, on fera v — -» pour avoir

— l'igp' -+- 13(/'= z\ é(|uation (ju'on écrira ainsi

lOS \lil>iri(»NS U\ Kl.KMKNTS l)M.(i Kl! 15 K D'Kl'l.KU.

On l'cia 11" r)-2 r = /.(/ rî()c/,, cl il rmulia infiidrc pour// un

mmiliif cnruT non > '''\ (•'(■st-li-ilirc 70, Ici (luf //- - \"> soil divi-

.«ililf |);ir rît)-, \r tnuuc // — '1 1 . co (jni (loiiiii' //- — i 3 -- i()G8 = 1 j<). 1 'p. ; (If sorte (iiic, en i'aisanl la sulislitution et divisanl cnsiiilc par - 1^9, on ania rc(|iialioii

Or, coiiimc — \> n'est pas nn carré, eette é(|iiation n'a pas encore les condilions re(|uiscs; ainsi, |)nis(nie 12 est déjii moindre (juc i.\, on iiinlliplici;! tonte rc(ination par — 12, cl (die devieiidia

de sorte ([u'il laiidra (jne i^ryj— \j./r soit un carré, on bien, en I'aisanl ''- = V,. (lue

en soit nn aussi.

On voit ici ijii'll n'y anrait (in'ii faire v, = 1; mais, (•0111111e ce n'est ipie le li;isard (|ni lions donne celle valeur, nous allons ponrsnivre le ciilciil xdon noli'c niétliode. ins(|n';i ce ([uc l'on arrive ;i une l'orniulc ipii soit siisceptil)le des iiiélliodes ordinaires. Comnie \ ■?. est di\isil)le par |, je rejellc ce diviseur carré, en me sonveiiant (jne je dois ensuite multiplier la valeur de v, pai' :>. ; j'aurai donc ii rendre ( ai léc l:i rormule

l'iv';' - 3, on liien, en i'aisanl v, - (ou suppose (pie r et .v sont des

iiiiinlirc^ entiers piciuicrs eiilre eu\, en sorte (|iie la fractioii soil déjà

lednile il ses moindres termes, coiuiiie la Iraction ], c(dle-ci

oit l;i racine r,, j aniai

iS ,

et je rei;ii r , — w.v — i3.v,,//( élaiil iiii nom hi'e eiil 1er non ■, e, esl-

a-ijiic ~, et l'd i|nc //(" h i soil (livisil)le par 1 >; or je trouve //i —■ (>,

ce (jui doniu' m" -f- 3 = ^9 = i3 . 3; donc, substituant la valeur de ;;, el divisant toute l'équation par i3, on aura

("omnie le coefficient 3 de s'- n'est ni carré, ni moindre que celui de s\ dans l'équation précédente, on fera (n" 54)^ = y.*, + ^2, et, substituant, on aura la transformée

r'= 'is] — 2(6 — Sfi) i..«, + ( SjU.' — 2.6a + i3 ,$; ;

on déterminera p. en sorte que 6 — 3p. ne soit pas > -■> et il est clair

(|u'il faudra faire p. = 2, ce qui donne G — 3fj.= o; et l'équation deviendra

laquelle est, comme l'on voit, réduite à l'état demandé, puisque le coefficient du carré de l'une des deux indéterminées du second membre est aussi carré.

On fera donc, pour avoir la solution la plus simple qu'il est possible,

i'., = o, .ç, = I et /• = I ; donc i- = m. = i, et de là y, = - = -; mais nous

avons vu (ju'll faut multiplier la valeur de j, par 2 ; ainsi l'on aura j', = i;

donc, en rétrogradant toujours, ou aura i^^ = 1; donc q,^p: donc

l'équation

donnera

i-i-îq+^ipY^p-;

donc

— is (/ -1- 41 /) = />, c'esi-à-dire iiq^^^op;

donc

mais, comme il faut diviser la valeur de j par 2, on aura y = ^; ce sera

le côté de la racine de la formule proposée 7 + i5ir -f i'6x- ; ainsi, l'ai-

iiii \hiMiioNs \i'\ i:i.kmi:nts i>\L(.i:huk i»'i:i;Li:ii.

s;ml ri'llr (iiKiMlile ; ■'• on Inuivcia, piii' la irsoliiruiii de rt'(|narKiii ,

,l'.>ii

•(ix H- i5=±^,

.r=-- rr- ou — - :t-

On auiail pu [iienilrc aussi

CI l'on aniail on v — '' = -,. i t't divisanl par :i, v = - ; l'aisaiit donc

on Irouvera

'.>.(3.r-t-i5^di=i;

Si l'on vi>nhiil avoir- d'anircs valcui's de a-, il n'y aniail ipi'ii clici'clier d'antifs soinliuns do rf(|ualion

1U:maiu>i I.

ïû . Sn|)posons, en général, (|iie la (|uanlit(w/ . //.r : f.r' dcvicMinc ■(;ale il un carré ^'-, lorsque J' —y, en .soi'te (|ue l'on ail

iloiic

a =z ^- — bf — cf';

(lo soi'lo que, en substituant cette valeur dans la formule proposi-c, elle deviendra

Qu'on prenne^ -H m[x— f) pour la racine de cette quantité, «? étant un nombre indéterminé, et l'on aura récjuation

g-' +h[x —f) + c {x^ -f') = g'-h inigix —f] + /«-• I .r -/)=.

c'est-a-dire, en eiraçant g- de part et d'autre, et divisant ensuite par

b -h cix + f) ^:^ img -+■ ni' (x — f\.

d'où l'on tire

^ //»- — 2 gm + /> -h (/ m' — c

Et il est clair qu'à cause du nombre indéterminé m cette expression de œ doit renfermer toutes les valeurs qu'on peut donner à x pour que la formule proposée devienne un carré; car, quel que soit le nomi)rc carré auquel cette formule peut être égale, il est visible que la racine de ce nombre pourra toujours être représentée par g + m{x ~f) , en donnant à m une valeur convenable. Ainsi, quand ou aura trouvé par la méthode expliquée ci-dessus une seule valeur satisfaisante de x, il n'y aura qu'à la prendre pour/, et la racine du carré qui en résultera pour §■; on aura parla formule précédente toutes les autres valeurs possibles dtî X.

Dans l'Exemple précédent on a trouvé y t= -etx — — -^; ainsi l'on

fera g — ^ et /— — ^i et l'on aura

ig — 10 m — lin- 3 ( m' — 1 3 j

c'est l'expression générale des valeurs rationnelles de ,r, (|ui peuvent rendre carrée la quantité 7 -(- i5,r -i- iàx".

112 Ainu i itt.Ns \r\ i;lkmi:nts dalcliuh; I)i:ili:ii.

1]\i;mim.k 11.

7)8. Soil iricorc jiro/iosr tic Iroincr iiiiv nilviir nilKiuncllc ilc ) . Icllc que •i ■i V" "> sotl un currc.

t'.oiiinic 2'3 cl ") ne soiil divisibles pnr ;nicuini()iiil)rc carre, il n'y ania aïKiinc rctliictidii à v faire. Ainsi, en faisant v-- ' • il fandra (lue la forinnic 2'3//-' ')'/" «Icvicniie un cairé z'- , de sorle (in'on auia rc(iuarK)ii

l'ij)-^^ z'' -\- 5(/\

On i'cia donc r = nq 2'i//,, el il faudra prendre piiiir // nii nombre

ciilicr mm > -' ^ Ici (|ue rr -r- :'j soil divisilile pai' y3. Je liimve // = 8,

ce (|ui donne rr - "i = 23.'^, el celle valeur de n esl la seule qui ait les conditions re(|uises. Subsliluaut donc Hy — 23</, à la place de :;, cl di- \i>ant loiilc rc(|ualinM par :i3, j'aurai c(dle-ci

dans laijucdli' on Noil (|ue le ctieflicieni 3 est dejii moindi'c (|ue la valeur de 11. i|iii e.^t "), alistraclion l'aile du siiiiU'.

.\i?i>i l'on mulliplieia toute re(|uatioti pai'3, el l'on aiii'a

rie soilc (ju'cn lai^ant '' v, il faudia (im' la formule

>oil 1111 cari-c, où les coeflicienls "» et 3 n'adnn'lleiit aucune reiluelion.

Soit donc 1', ~ - ' rv\ s sonl sii|)poscs premiers entre eux, au lieu (|Uf y, cl f, |icu\cnl ne pa>> l'clre , et l'on aura à rendre carrée la (juaiÉtile

— 5r-h 3s-; de sorto qu'en nommant !a raeine z, on aura

el (le là

On prendra donc 2, = /tm 4- 5*,, et il faudra que m soit un nombre

entier non > -•, et tel que mr — 3 soit divisible par 5; or c'est ce qui

est impossible, car on ne pourrait prendre que m = 1 ou = 2, ce qui

donne m- — 3 = — 2 ou =1. Ainsi Ton en doit conclure que le Problème n'est pas résoluble, c'est-à-dire qu'il est impossible que la formule 23^- — 5 puisse jamais devenir égale à un nombre carré, quelque nombre que l'on substitue à la place de r.

Corollaire.

59. Si l'on avait une équation quelconque du second degré à deux inconnues, telle que

a-\- bx ->r- cy -^ dx"^ + exy +fy'' = o,

et que l'on proposât de trouver des valeurs rationnelles de x et v qui satisfissent à cette équation, on y pourrait parvenir, lorsque cela est possible, par la méthode que nous venons d'exposer. En effet, si l'on tire la valeur de y en œ, on aura

zfy-i- ex + c=: \J{c -h exy— !\f{a -+■ l>x-\- dx-^, ou bien, en faisant iz = c'- — 4«/^. P = 2ce — !\hf, y — é- — \dj\

■y. fy -h ex -i- c = \/x-i- ^x-i-yx';

de sorte que la question sera réduite à trouver des valeurs de x qui rendent rationnel le radical y a -t- ^^ -+- 7^^-

VIL i5

Ml ADDITIONS AL\ ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER.

Remarqui;.

GO. Nous avons déjà Innlé ce même sujet, mais d'une manière un peu dilTérente, dans les Mémoires de l' Académie des Sciences de Berlin pour l'année 17C7 (*),etnous croyons être les premiers qui nient donné une mélliode directe et exempte de tâtonnements pour la solution des Problèmes indéterminés du second degré, l.e lecteur qui sera curieux il'apiJi-ofondir celte matière pourra consulter les Mémoires cités, où il tiouvera surtout des remarques nouvelles et importantes sur la recherche des nombres entiers qui, étant pris pour n, peuvent rendre rr — B divisible par A, A et B étant des nombres donnés.

On trouvera aussi, dans les Mémoires pour les années 1770 et suivantes, des recherches sur la forme des diviseurs des nombres représentés par 2- — By'-; de sorte que, par la forme même du nombre A, on pourra juger souvent de l'impossibilité de l'équation

kp^=z^—làq-, ou A )-^ + B = à un carré (**) (n° 321.

Legendre s'est occupé depuis, dans le Jlémoire cité plus haut (n" 47), h chercher les conditions générales de la possibilité ou de l'impossibilité des équations indéterminées du second degré, et il est parvenu à ce Théorème remarquable, que

iJécjttation ax'- ~{- by- =: cz'-, dans lafjiiclle a, h, r sont positifs, premiers entre eux et dégagés de tout facteur carré, est résoluble, si l'on peut tramer trois entiers )., [j., v, tels que les trois quantités --^^, "' ~ , — T — soient des entiers.

§ \ I. — Sur les doubles et trij)les cgolités.

61. Nous traiterons ici en peu de mots des doubles et triples égalités, qui sont d'un usage très-fréquent dans l'Analyse de Diopluinle, et pour

(*) OEiivrcs (le Ijigrangc, t. II, p. 377. (**) OEiivics lie Lfigra/igr, t. Il, p. 58i.

ANALYSE INDETERMINEE. ll.ï

l;i sokilioii (k'S(]iieIles ce grand géomètre et ses commentateurs ont cru devoir donner des règles particulières.

Lorsqu'on a une formule contenant une ou plusieurs inconnues à égaler à une puissance parfaite, comme à un carré ou à un cube, etc., cela s'appelle, dans l'Analyse de Diophante, une égalité simple; et lorsqu'on a deux formules contenant la même ou les mêmes inconnues à égaler chacune à des puissances parfaites, cela s'appelle une égalité double, et ainsi de suite.

Jusqu'ici on a vu comment il faut résoudre les égalités siinples où l'inconnue ne passe pas le second degré, et où la puissance proposer est la seconde, c'est-à-dire le carré.

Voyons donc comment on doit traiter les égalités doubles et tripler de la même espèce.