Soit d'abord proposée cette égalité doublée

rt -f 6x= à un carré, c -h dx= a un carré,

où l'inconnue x ne se trouve qu'au premier degré. Faisant

(l -+- bx =: l-, c -+- dx r= u',

et chassant x de ces deux équations, on aura

ad — bc = (//■ — bu- ;

donc

dt^=^ bu- + ad — bc, cl {dl^= dbu- -h ad — bc)d;

de sorte que la dilficulté sera réduite à trouver une valeur rationnelle

<le «, telle que dhu- + ad" — ècr/ devienne un carré. On résoudra cette

égalité simple par la méthode exposée ci-dessus, et, connaissant ainsi u,

on aura

Si l'égalité doublée était

ax -r bx ^=:à un carré, cx'-i- dx^:^ à un carre.

HG ADDITIONS AU\ ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULEH.

il n'y aiirailqu'à faire x — — et multiplier ensuite l'une et l'autre l'oriiiule par le carré x-^•, on aurait ces deux autres égalités

a -+- bx, = à un carré, c-\- dx,=: à un carré,

qui sont semblables aux précédentes.

Ainsi l'on peut résoudre, en général, toutes les éi^alités (It)ubles oii l'inconnue ne passe pas le premier degré, et celles où l'inconnue se trouve dans tous les termes, pourvu qu'elle ne passe pas le second degré; mais il n'en est pas de même lorsque l'on a des égalités de cette forme

a -t- bx + ex" = à un carré, a + (3x -+- yx'' = à un cairé.

Si l'on résout la première de ces égalités [lar notre méthode, et (|u'on

nomme/la valeur de x (\u\ rend a -\- bx -^- ex- = au carré g'^, on aura

en général (n° 57)

fm' — ?. gm -h b -h cf

donc, substituant celte expression dea- dans l'autre formule a ^-pa; + 7a;^ et la multipliant ensuite par [m} — c)-, on aura à résoudre l'égalité

a(/n'— c)' -+- P ( w — cj [fni'—igm -+- 6 -f- cf)

H- y If m''— igni -\- b-h cfy ;= à un carré,

dans laquelle l'inconnue m monte au quatrième degré.

Or on n'a jus(|u'à présent aucune règle générale pour résoudre ces sortes d'égalités, et tout ce qu'on peut faire, c'est de trouver successivement différentes solutions, lorsqu'on en connaît une seule {l'oyez le Cil a pi Ire IX).

G3. Si l'un avait la triple égalité

ax->r by ^:= à un carré, ex -+- Jj = à un carré , hx -f- ky = à un carré,

on l'i r;iil

ax -+- by = l-, ex ■+■ dy = «•, hx h- Uy =: s-.

cl, chassant x et y de ces trois équations, on aurait colle-ci ( ak — bh) II' — ( ck — d/i)t-=: i ad — cb) s^;

de sorte qu'en faisant 7 = =. la difficulté se réduirait à résoudre l'égalité simple

ak — bh ck — dli

r z^ — — -, r =: a un carre,

aa — CD ad — cb

laquelle est, comme l'on voit, dans le cas de notre méthode générale.

Ayant trouvé la valeur de z, on aura u = tz, et les deux premières équations donneront

d — bz^, az'—c,

ad — cb •' ad — cb

Mais, si la Iriple égalité proposée ne contenait qu'une seule variable, on retomberait alors dans une égalité où l'inconnue monterait au ({uatrième degré.

En effet, il est clair que ce cas peut se déduire du précédent, en faisant y = I , de sorte qu'il faudra que l'on ait

az' — c ,

aa — cb '

et par conséquent

Or, nommant /'une des valeurs de :; qui peuvent satisfaire à l'égalité

ak - h/i ad — cb

ci-dcssus, et taisant, pour abrearor, — ; r = e, on aura en arenerii

fn° 571

Donc, substituant cette valeur de :; dans la dernière égalité et la multi|)liant toute par le carré de m" — e, on aura celle-ci

a{ fm^ — "igm-hef)' — c{m'—eV

— ■ : = a un carre,

ad — cO

où l'inconnue m monte, comme l'on voit, au quatrième degré.

ILS ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DALGKBRE DELLER.

v^ \l]. — Méthode directe et gcncridc pnur tro/n'cr toutes les l'aUii/s de j' exjfr/mées en /lornbrcs entiers, par /esq/zel/es on peut rendre rationnelles les quantités de la forme y'A)" ^- B, \.et \S étant des nombres entiers donnés ; et pour troui'er aussi toutes les solutions possibles en nombres entiers des é(ju(ilions indéterminées du second désiré à deux inconnues.

(Addition |Hiur lo Chapitre VI.)

<ii. QiloicjUL' par la méthode du § V on puisse trouver des foiinules générales qui renferment toutes les valeurs rationnelles de j, propres à rendre Aj- -l- B égal à un carré, cependant ces formules ne sont d'aucun usage lorsqu'on demande poury des valeurs exprimées en nombres entiers; c'est pourquoi nous sommes obligé de donner ici une nouvelle méthode pour résoudre la question dans le cas des nombres entiers.

Soit donc

Ajj' + B = Z-' ;

et. comme A et \i sont supposes des nombres entiers, et que j doit être aussi un nombre entier, il est clair que a: devra être pareillement entier; de sorte (ju'on aura à résoudre en entiers ré(|uation

Je commence par remarquer ici que, si IJ n'est divisible par aucun nombre carré, il faudra nécessairement (|uev soit premier à B; car supposons, s'il est possible, que j et B aient une commune mesure a, en sorte que j = «r, , et B = aB, ; donc on aura

x'= Aa'rJ -(- aB,,

d'dti il s'ensuil(|u'il faudra que x- soit divisible par a; et, connue et n'est ni carré, ni divisible par aucun carré (hyp. i, à cause que a est facteur

ANALYSE INDÉTERMINÉE. I l'J

(le B, il t'atidi'ii que x soit divisible par ce. faisant donc .x^c/.x,, on

aura

x-x] = ac'Aj' -f- xB,,

ou bien, en divisant par c/.,

xx] zzz xXy] -i- 15, ;

d'où l'on voit que B, devrait encore être divisible par a, ee qui est contre l'hypothèse.

Ce n'est donc que lorsque B contient des facteurs carrés que v peut avoir une commune mesure avec B; et il est facile de voir par la démonstration précédente que cette commune mesure de y et de B ne peut être que la racine d'un des facteurs carrés de B, et que le nomhi'ea devra avoir la même commune mesure; en sorte que toute l'équation sera divisible par le carré de ce commun diviseur de a:, v et B.

De là je conclus :

1° Que, si B n'est divisible par aucun carré, y et B seront premiers entre eux;

2° Que, si B est divisible par un seul carré a', r pourra être premier à B ou divisible par k, ce qui fait deux cas qu'il faudra examiner séparément : dans le premier cas, on résoudra l'équation

en supposant y et B premiers entre eux; dans le second, on aura à résoudre l'équation

jc'— A)'=B,,

B, étant = — : en supposant aussi v et B, premiers entre eux; mais il

faudra ensuite inulli[tlier par a les valeurs ([u'on aura trouvées pour iet X pour avoir les valeurs convenables à l'équation proposée;

i" Que, si B est divisible par deux différents carrés, a- et p-, on aura trois cas à considérer : dans le premier, on résoudra l'équation

l-iO AlilMllONS MX. Kl.KMKMS D'A L G Kl! Il K D'KlLi:!;.

eu regardant V cl I! loiniuf |iiiiuicis ciilir eux: dans lo second , (in lésondia de niênie riMiuation

15, etani r^ — ! dans riivhotlièse île y et I5, |)reiniers entre en\. cl l'on

ninlli|diei'a ensuite les valeurs de .rel vpai'fz; dans le troisième, ou ré-

sondia {'('(inalion

H. étant -- — ) dans l'Iivpotlii'se de y el B.j premiers entre eux, ci l'on nniilipiiera ensuite les valeurs do a- el dv, Y par [j ;

.'r Kir.

Ainsi ou aura aulaiil (ré(|iialions dillerentes ii l'éstuidie (|u'i! v aiii'a de dilVérenls diviscuis i aires de 15; mais ces é(|nalions seront tontes de la même l'orme

el V sera aussi toujours premier à R.