Considérons donc, en général, rc(|ualion 07= — A)'=B

où r est premier ;i H; cl, comme .r et v doivent être des nomliics entiers, il faudra (|iie .r* — \y- soit divisible par i}.

On fera donc, suivant la méthode du § IV ( n" 48 j, x = ny — Bz, et l'on aura ré(|uation

«= — A)^'— ■?.n Wyz -t- B';': = B,

par laquelle on voit que le lermo (//'- Aj y- doit cire divisible par B, puis(|uc Ions les antres le sont d'eux-mêun.'s; donc, comme j est [)r(!mier a B Iiyp.), il faudra que n^ - A soit divisible par B; de sorte qu'en

laisanl = C on aura, apri'S avoir divisé |)ai' B,

Cj>-'— "i.nyz -H Bs'~ I ;

ANALYSE INDETERMINEE. 121

Or cette équation est plus simple que la proposée, en ce que le second nu'mljre est égal à l'unité.

Oa cherchera donc les valeurs de n qui peuvent rendre n- — A divisihlepar B ; pour cela il sulfira (n° 47) d'essayer pour n tous les nombres entiers positifs ou négatifs non > -■, et, si parmi ceux-ci on n'en trouve aucun qui satisfasse, on en conclura d'abord qu'il est impossible que n- —A puisse être divisible par B, el qu'ainsi l'équation proposée n'est pas résoluble en nombres entiers.

Mais, si l'on trouve de cette manière un ou plusieurs nombres satisfaisants, on les prendra l'un après l'autre pour n, ce qui donnera autant de différentes équations, qu'il faudra traiter séparément, et dont chacune pourra fournir une ou plusieurs solutions de la question proposée.

Quant aux valeurs de n qui surpasseraient celle de -? on en pourra faire abstraction, parce qu'elles ne donneraient point d'équations différentes de celles qui résulteront des valeurs de n qui ne sont pas > -■, comme nous l'avons déjà montré dans le n° 52.

Au reste, comme la condition par laquelle on doit déterminer n est que rr— A soit divisible par B, il est clair que chaque valeur de /( pourra être également positive ou négative; de sorte qu'il suffira d'essayer successivement pour n tous les nombres naturels qui ne sont pas plus grands que -> et de prendre ensuite les valeurs satisfaisantes de n,

tant en plus qu'en moins.

Nous avons donné ailleurs des règles pour faciliter la recherche des valeurs de n qui peuvent avoir la propriété recjuise, et même pour trouver ces valeurs a priori dans un grand nombre de cas. [Voir les Mémoires de Berlin pour l'année 1767, pages i()4 et 274 (*)•]

liésolutioii de l'équation C j" — vtnyz -i- B;' = 1 en nondires entiers.

On peut résoudre cette équation par deux méthodes dillerenles, que nous allons expliquer.

(*) OEiwrcs de Lagrange, t. II, p. i;" et G55.