VII
122 MMtUUtNS .VL;\ ELKMEMS D'.VLGLBnE DEULKK.
l'itr.Miîni: .miiiiiode.
(»(). (lomiiic les i]UiuUiU's ('., Il, 15 sont supposées des nombres on-
lit'r>, lie même ipie les iiulelermiuées )- el :;, il est visible que la (luaii-
lile
Cy-o.nyz +Bs'
seiM toujours uéeessairemeut é:;ale it des nombres entiers; par eonsc- (|ueiil l'utiilé sera la plus petite valeur ([u'elle puisse recevoir, à moins qu'elle ne |)uisse devenir nulle, ce i|ui ne peut arriver (|ue lorsque eettc <|Uanlilé peut se déi i)m|)oser en deux facteurs rationnels. Comme c(! cas n'a aucune dillieulté, nous en ferons d'abord abstraction, et la (inoslion se réduira à trouver les valeurs de y et z ([ui rendront la (|uantité dont il s'ai,'il le jdus [lelite qu'il e^l possible; si le minimum est égal a l'unité, ou aura la lésolulion de réipialion ])roposée ; sinon, on sera assuré (]u'elle n'admet aucune solulion eu nombres entiers. Ainsi le Problème présent rentre dans le Pr(d)l('me III du § II, et est susceptible d'une soliilinu semblable. Or. comme l'on a ici (n" (55j
il faudra dislinguci' deux cas, suivant (|ue A sera positif ou négatif.
l'rrinicr ras, lorsr/iii' ir — ItC := A < o.
()~. Sui\anl la mellnidc du ii" '.VI, il faudra réduire en fraclion conliiinc la ii'aclKui -i prise positivement : ces! c(!(iu on exécutera par la ri'gle du n" \ ; eii>uiti' (jii lormera par les formules du n" 10 la série des fractions convergentes vers -, et il n'y aura plus (ju'à essayer successivement les numérateurs de ces fractions pour le nombre j-, et les dénominaleuis correspondants pour le nombre z. Si la proposée est résoluble eu iKjiiibrcs entiers, on trouvera de cette manière les valeurs
satisfaisantes de 7 et s; et réciproquement, on sera assuré que la proposée n'admet aucune solution en nombres entiers, si, parmi les nombres qu'on aura essayés, il ne s'en trouve point de satisfaisants.
Second cas, lorsque «■— BC = A]>>o.
68. On fera usage ici de la méthode des n°* 33 et suivants; ainsi, à cause de E — 4 A, on considérera d'abord la quantité (n" 39)
dans laquelle il faudra déterminer les signes tant de la valeur de n, que nous avons vue pouvoir être également positive et négative, que de V^A, en sorte qu'elle devienne positive; ensuite on fera le calcul suivant :
Pu
et l'on continuera seulement ces séries jusqu'à oc que deux termes correspondants de la première et de la seconde série reparaissent ensemble. Alors, si, parmi les termes de la seconde série Pq, Pi, P;,..., il s'en trouve un égal à l'unité positive, ce ternie donnera une solution de l'équation proposée, et les valeurs de r et :; seront les ternies correspondants des deux séries p„, pi, p.,,... et (/o, (1\< <7;.---. calculées par les formules du n" 25; sinon, on en conclura sur-le-champ (|ue la proposée n'est pas résoluble en nombres entiers. (/'oiV l'Exemple du n" 40.)
ll\ Al'Dl IIO.NS Al\ El.KMEMS J( AlJ.LHHK 1)' 1:L L LU.
/ roiuciiw cas, lor.i.jiti' \ à nu cdiit'.
G'.*. Diiiisco cas le noiiiliro \ A dcviciidra ralioiiiicl, cl la (iiiaiililù
Cv — 2 /()■; -t- H -'
poiiira se (Iccomposor en deux facteurs ralioiinels. Kn ellcl, C(>lle (iiiaiilili' ii'csl autre chose que celle-ci
(C7--«2i'-Ar'
la(|Uclic, (Il sU|i|Misant A -~ cr . peut se mellre sous celte I'oiiik [C.r —(«-)-«) z ] [{C^- —in — a) z\
Or, coiiiiiie
//■ — «' -- ne = ( H -i- rt 1 ; « — a ),
il laiidra (|Ui' If liriniuM de // t- d par /( - a soil divisilde par C, cl par consc(]iiciil ijiii' l'un de lis deux iioiuhi'cs // -ta vin a soil divisible par un des facteurs de ('., cl l'autre par le facteur récipro(|ue.. Supposons donc (] rz: \)c, et (|ue // -f- (i =JI> et /i — a ~ gc,/c{ ^^ étant des nonilires l'iilicrs, et la quaMiité prcccdciilc di'\iriiilia le piodiiil de ces deux facteurs linéaires cy — fz cl hy — gz; donc, puisipie ces deux fadeurs sont égaux à des nombres entiers, il est clair que leur produit ne saurait être — I, idiiinie rc(jnalioii pin|)osi''e le dciiiaiide, ii moins (|iie iliaciiii d'riix m suit en |i;ii I h iilier ± i. On fera donc
rr-fz ±1, l,y-frz.^±,,
et l'on déliMiiiiiMia par lii les nombres 1' et r ; si ces nombres se lioiivciil rntiers, on juira la solution de l'i-qualion proposée; sinon, elle sera insoluble, au moins en nombres enliers.
ANALYSE INDETERMINEE. l-2:j
Seconde méthode.
