AT' B,' C," D,' E,' F

Si la quantité a est rationnelle, et roprésenlée par une fraction quel-

conque ^-j il est évident que cette fraction sera toujouis la dernière

22 ADDITIONS A L \ ÉLÉMKNTS DALGÈBKE D'KULER.

dans la série précédente, puisque dans ce cas la fraction continue sera tormince, et que la dernière fraction de la série ci-dessus doit toujours équivaloir à toute la fraction continue.

Mais, si la quantitéa est irrationnelle ou transcendante, alors, la fraction continue allant nécessairement à l'infini, on pourra aussi pousser à l'infini la série des fractions convergentes.

11. Examinons maintenant la nature de ces fractions; et d'abord il est visible (jue les nombres A, B, C,... doivent aller en auiïmentant, aussi bien que les nombres A|, B,, C,,.. , car :

i" Si les nombres a, |3, y,... sont tous positifs, les nombres A, B, C,... et A,, B,, C,,... seront aussi tous positifs, et l'on aura évidemment B> A, C>B, D: C etB, :r= ou ::; A,,C, >B,, D, >C,,.. .

2" Si les nombres a, fi, ■/,... sont tous ou en partie négatifs, alors, parmi les nombres A, B, C,..., et A,, B,, C,,..., il y en aura de positils et de négatifs; mais, dans ce cas, on considérera que l'on a, en général, par les formules précédentes,

d'où l'on voit d'abord que, si les nombres «, fi, y,... sont dill'érents de l'unité, (|uels(jue soient d'ailleurs leurs signes, on aura nécessairement,

en faisant abstraction des signes, - >i; donc, .j < i . par consé([uent

jT ^ • I , et ainsi de suite; donc B > A, C > B

11 n'y aura d'exception que lorsque, parmi les nombres», j5, y,..., il s'en trouvera d'égaux à l'unité; supposons, par exemple, que le nombre 7 soit le premier qui soit égal à dz i ; on aura d'abord B > A,

mais C •< B, s'il arrive que la fraction ^ soit de signe différent de y; ce

qui est clair |)ar l'équation n = V + îT' parce que dans ce cas y -+- j sera un nombre " i ; or je dis qu'alors on aura nécessairement D > B;

car, puisque 7 — ± i, on aura (11° lOj

or, comme c et d sont des quantités > f (n"3), il est clair que cette équation ne pourra subsister, à moins que c et d ne soient de même signe: donc, puisque 7 et 0 sont les valeurs entières approchées de c et d, ces nombres 7 et 0 devront être aussi de même signe; mais la fraction

^ = 7 -^ - doit être de même signe que 7, à cause que 7 est un nombre

entier, et ^ une fraction < 1 ; donc j, et rî seront des quantités de même

ôc ■ ■ ■■ r^ n . B

signe; par conséquent -jc- sera une quantité positive. Ur on a -^ --= 0 -f- p-,

donc, multipliant par ^^ on aura j-^ = c? g -+- i ; donc, -^ étant une

quantité positive, il est clair que g sera > 1 ; donc D ;■ B.

De là on voit que, s'il arrive que dans la série A, B, C,.. il se trouve un terme qui soit inoindre que le précédent, le terme suivant sera nécessairement plus grand; de sorte qu'en mettant à part ces termes plus petits la série ne laissera pasd'aller en augmentant.

Au reste on pourra toujours éviter, si l'on veut, cet inconvénient . soit en prenant les nombres a, [3, 7,... tous positifs, soit en les prenant tous différents de l'unité, ce qui est toujours possible.

On fera les mêmes raisonnements par rapport à la série A,. B,, (!,

dans laquelle on a pareillement

â;^^' b; = >'""r;' tï/^'-^z: •■•'

d'où l'on déduira des conclusions semblables aux précédentes.

12. Maintenant, si l'on multiplie en croix les termes des fractions

voisines dans la série T"' if' 7^' ' " ' ' "" trouvera

BA, AB, ;^i, CB, BC, ^AB, RA,, DC, CD, BC, - CB

2i ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DAF.C.ÉBIIE D'EULER.

d'où je coiu'his (ju'oii aura, en i^énéral,