M=— LN = «'-CB=A
et que, de plus, 2M ne soit pas plus grand (abstractioa faite des signes) que le nombre L ni que le nombre N; les nombres = et t} seront aussi des nombres entiers, mais dépendants des nombres indéterminés v et ;. lin etïet, soit, par exemple, C moindre que B, et qu'on mette la formule dont il s'agit sous cette forme
en faisant C = B| et; =j'i; si 2/1 n'est pas plus grand (|ue B,, il est clair que cette formule aura déjà d'elle-même les conditions requises; mais, si an est plus grand que B,, alors on supposera v = my, + Vo, et, substituant, on aura la transformée
(lii
n,^n — »iB,,
B, = mni, - 2 mn H- B = "'.7 ^ •
Or, comme le nombre m est indéterminé, on pourra, en le supposant entier, le prendre tel que le nombre n -~ /«B, ne soit pas plus grand
I2G vimmoNs \.i\ I'Li:mems i» auikiikI' i»kli.i:u.
(|iii' - K,; alors mi, ne surpassora pas 15,. Ainsi, si j.ri, nv siir[)asst!-.pas
non plus 1?^, la iransforinéc prt'ci'dfnto sera ilrjii dans le cas (|ii'on a en vue; mais, si 2/1, est plus i^rand que \)., on ciinlinucra alors à supposer y, = //i| >^ -■- Tj, ce (|ui donnera la nouvelle translorniée
où
; «;= n, — ni, I?;, ■ ■
On delerniinera le nombre enlicrM,, en sorle (jue n, — /«.B^ ne soil
pas plus i;rand (juo — > moyennant (pioi v.ri, ne surpassera pas W,: de
sorte (|ne l'on aura la transformée elierehée, si 2n., ne sur|)assc pas non plus H3 ; mais, si :>.ri., .surpasse B3, on supposera de nouveau y„ = m^y^ -f-Vi. ete.
Or il est visible ([ue ces opérations ne peuvent pas aller à l'infini ; eai-, puisque y.n est plus ijrand (]ue 1?, et (jue ^.n, ne l'est pas, il est elair que /;, sera moindre que /i; de mi'me, y.n, est plus i;raiid (|ne B^, et ?.n. ne l'est pas; done/f^ sera moindre (|ue n,, et ainsi de suite, de sorte qui' les mimbres n, n,, «.,,... formeront une suite (b'eroissanle de nond)re> entiers, hupielle ne pourra par consé(|uenl pas aller;» l'inlini. On parviendra donc néeessairement à une formulé où le eoetlieient du terme moyen no sera pas plus grand que ceux des deux termes extrêmes, et (|ui aura d'ailleurs les autres propriétés (|uc nous avons énoncées ci-dessus, ce ipii est évident par la nature même des transformations pratii|uees.
Pour facillti'r la Iransfiirmaliun de la l'niuiuie
C>-'— 2nrz -h li'z' en crile-ci
je désigne pai- |J le |dus grand des deux coellicients extrêmes (j et B, el
par D, raiitrc coellicient; e{,vicei-ersa, je désigne par 0 la variaLle dont le carré se trouvera multiplié par D, et par 5, l'autre variable; en sorte que la formule proposée prenne cette forme
D,5'— 2ne5,+ D5;,
OÙ D, soit moindre que D; ensuite je n'aurai qu'à faire le calcul suivant :
"t = rr' «1 = n — ni U,, U.— — !— — , 5 = m 0, -+- 9„
w, = jT-5 n, — n, — m,D,,, D, = — =r — , 0, = m, 9, -4- 63,
'":=j7-5 n, =:«. — m,D,, D, = — ^— — , 0,^= m,Oi + S^,
OÙ il faut bien remarquer que le signe =, qui est mis après les lettres //<, m,, m,,..., n'indique pas une égalité parfaite, mais seulement une égalité aussi approchée qu'il est possible, en tant qu'on n'entend par m, m,, m,,... que des nombres entiers. Je n'ai employé ce signe = que faute d'un autre signe convenable.
Ces opérations doivent être continuées jusqu'à ce que, dans la série», «,,«2...., on trouve un terme, comme «p, qui (abstraction faite du signe) ne surpasse pas la moitié du terme correspondatil Dp de la série D,, Do, D3,..., non plus que la moitié du terme suivant Dp+,. Alors on pourra
faire
Y)=U n.= \, D,^,= M, ei 0==.!/, Vi=4'
ou bien
D.r^M, I)j^, = L, et 0,= l, 6j+,= 'l'.
Nous supposerons toujours par la suite qu'on ait pris pour .M le plus petit des deux nombres D^, Dp+,.
