L'équation

C ) = — ? nyz -(- D r= = I

sera donc réduite à celle-ci

us AUDmoNS \i'\ ki.i:mi:ni> d \i.c. i.itiir. i)i:i i.r.u.

„i, >■- I.M ^r A. l'I oïl :>N n'fsl ni ~ ■ L ni > M (:il)slr;i(tit>n laite des signes . Or, M ét;uit lo plus polit des doux coollicionls L ot M, (lu'ou niuhiplio loulo l'ôtiuation par co coollioiont INI, el faisant

il osl olair (ju'oile se rliangcra ou oollo-oi •y.- A;'^ M,

(liius huiuollo il nitidra niainloiiaul distiu^uor les doux (;as de A posilil cl il- A noi,'alit'.

Suit :

i" A no^iitif ot — (i, a ilani un muuliif [xisitil : roijualinn sera donc

Or, oonnuo N" L.M =^ A, lui aura a - l,>F — N'; d'(u"i i'dii voit d'alxird (juo les nouiliros L ol M ddivoiit olro do uiouio sii;ue; d'ailleurs :^i\ ne

doit être ni L ni M; doue .\-' no sera pas ■ ',-: donc « = on

^ ■ ', I.M; ot, puis(iuo M est supposé nioiiulro ([uo I., ou au moins j)iis pins grand ijuc L, on aura ;i pins l'orlo raison «= ou ^ yM^\ doue

.M = ou < v/^'i <l'>nc M ■< -.^^ s a. Ou voit par l;i (\ui' ro(|uation

no saurait subsister dans l'Iiypotlièso (|no •,> ot c soient dos nombres eii-

liois, il moins (pie l'on ne fasse : = o el v'^ = M, ce (jui demande (]uo.M

soi! un uomliic caiio.

Supposons donc .M = ;;.-, ot l'on aura z = n, ii = ^ a; donc, |)ar l'é-

(jualion

1/ M'>-Nï,

lj.''^=±lj., ol par rons(''(|ucnt >\i = ±

(le sorte que <|> ne saurait être un nombre entier, comme il le doit (livp.). à moins que jut, ne soit égal à l'unité, soit =±i, et par conséquent M = I.

De là je tire donc cette conséquence, que l'équation proposée ne saurait être résoluble en nombres entiers, à moins que M ne se trouve égal à l'unité positive. Si cette condition a lieu, alors on fera ï = o, di = ± i . et l'on remontera de ces valeurs h celles de y et z.

Cette méthode revient, pour le fond, au même que celle du n"67, mais elle a sur celle-là l'avantage de n'exiger aucun tâtonnement.

2° Soil maintenant A un nombre positif; on aura A = N' — LM; or, comme N' ne peut pas être plus grand que A~i il est clair que l'écjuation ne pourra subsister, à moins que — LM ne seit un nombre positif, c'est-à-dire que L et M ne soient de signes différents. Ainsi A sera nécessairement < — LM ou tout au plus = — LM, si N = o, de sorte qu'on aura — LM = ou < A, etpar conséquentM- = ou < A, ou M = ou < y A.

Le cas de M = \/A ne peut avoir lieu que lorsque A est un carré; par conséquent ce cas est très-facile à résoudre par la méthode donnée plus haut (n** 69).

Reste donc le cas où A n'est pas carré et dans lequel on aura nécessairement M < yA (abstraction faite du signe de M); alors l'équation

sera dans le cas du Théorème du n° 38, et se résoudra par conséquent par la méthode que nous y avons indiquée. Ainsi il n'y aura qu'à faire le calcul suivant :

P, =:QÎ-A,

l;l(i \ EDITIONS vr\ KLKMKMS DALCÈlilU: DKri.KU. ([iron rniitiiiin'i ;i jiiS(|ii'à ci' (\ur deux h'iincs con'i'spoiulMiils do l;i prcmiiTt' v\ ili' la si'CiiiiiK' sorie rcparaissnit ciisciuIjIc, on hioii jiis(|irà ce

i|Ui' dans la sfiie P,, F^;, Pj il se trouve un terme égal ii l'unilé posi-

livi', c'i'sl-à-dire " P,/, car alors Ions les leiines suivants reviendront dans le nièuii' ordre dans cliacnne des trois séries (n°37). Si dans la

-erie Pp. p.. 1*3 il se trouve nu terme éijal à M, on aura la résolution

de l'eipialion proposée; ear il n'v aura (ju'ii prendre pour v et ç les

termes correspondants di's séries />,, />.., /;., ; q,, q., q ^ calculées

d'après les l'ornuiles du n" 25: et même on pourra trouver une inlinité de \;ileurs satisfaisantes de -j et ç, en continuant h l'inlini les mêmes séries.

Dès (pi'on eounailra deux valeurs de u et z, on aura, par réi|nation

eelle de '^, laquelle sera aussi toujours égale à un noiuhre entier; ensuite on |)Ourra remonter de ces valeurs de £ et ij>, c'est-à-dire de {/p^, et 5,,. à celles de 0 et î,, ou bien dejel de z (n° 70).

.Mais si, dans la sei'ie P, , P., P;, , il n'v a aucun terme (|ui soit = .M,

on en conclura lianlimenl (|ue ré(|uation |uoposée n'aduiel aucune solution en nombres entiers.

Il e>l bcui d(,' reman|Uir ([ue, comme l;i série l'„, P,. 1'^ ainsi (|Ui'

les deux autres Q„, Q,, Q;.,,... et [j., ij.,, y.^ ne dé[)eiul (jue du

nombre .\, le calcul une fois fait pour une valeur donnée de A servira pour tontes les éi|uations où A, c'est-à-diic /;- - Œ, ani'a la même valeur; et c'est en quoi la inétliode précé(Ient(^ est préférable à c(dle du n" 08, (|ni exige un nouveau calcul pour clia(|ne équation.

Au reste, tant (|ue .\ ne passera pas loo, ou pouira faire usage de la Table i\\\f nous avons donm'e au n° il, laquelle contient pour (dia<|ue

radic;d \ A les valeurs des termes des deux séries P„, — P,, P,, — Pj

et y., •;., , y.j,y. , cou tin nées jus{|u'ii ce (| ne l'un des ternies P, , P^, P^,...

ilevieniie — i , après (pioi tous les termes suivants de l'une el de l'autre série reviennent dans le même ordre; de sorte (ju'on pourra juger sur-

le-cliaiiip, p;ir le moyen de cotte Ta!)Ie, de la résulubilité de l'équation

De la manière de trouver toutes les solutions possibles de l équation Cy- — 2nyz -h B:;'- ^ i, lorsqu'on n'en connaît qu'une seule.

72. Quoique, par les méthodes que nous venons de donner, on puisse trouver successivement toutes les solutions de cette équation, lorsqu'elle est résoluble en nombres entiers, cependant on peut parvenir à cet objet d'une manière encore plus simple, que voici :

Qu'on nomme/) et q les valeurs trouvées de v et z, en sorte que

l'on ait

Cp-— inpq -I- Bç-= I,

et qu'on prenne deux autres nombres entiers ret^, tels que/)5 — qr = \ (ce qui est toujours possible, à cause que/; et q sont nécessairement premiers entre eux) ; qu'on suppose ensuite

y := pi -i- ru, z = ql -i- su,

/et w étant deux nouvelles indéterminées; substituant ces expressions

dans l'équation

Cy-— iny-z -*- Bz== i ,

et taisant, pour abréger,

P ^ Cp' — inpq -f- B(y%

Q = Cpr — Il ips -4- cjr -+- Bqs, Il =1 Cf' — 2nrs -+- Bs^

on aura cette transformée

P/--H iQiu -t-R«'=i.

Or on a (liyp.) P = i; de plus, si l'on nomme p et a deux valeurs

de ret s qui satisfassent à l'équation ps ~ qr= i, on aura, en général

r = p -I- nip, i = (7 -H nuj,

\:\ù MumioNS u'\ km:mi:nts d'M.c.kiuu: d'euleh.

//M'Iaiil un iiiiiiil)ic (|iiolcon(iii(' cnlii'r; iloiic, iiifUiuil ces valmirs dans ri^\|iit'ssion (lo Q. cllo (Icv'u'ndi'a

(J =; C/)fy — /( /» 3- t- (/p -+- R (/ 7 -I- m P ;

(If sdiic (|ni'. conimc P = i , on pourra rendre Q ^ o, en prcnanl

m=:^ — Cpçj -i- Il 1)7 -^ (jp — M/J'y.

.Maintenant je remarque fine la valeur de Q- — PU se rednil i après les substitutions et les rédactions) à eelle-ei

h'— CB jis — <//••';

de sorte que, eonmie/w— qr =^ \ , on aura

cl I;ii-ant P=i et Q — ", il viendra - 1{ = A, savoir R= — A;

:iinsi l'cqualiou transfdrniée ci-dessus se changera en celle-ci

/•— Ah'=i ;

or, comme v, :,/>. y, /• et s sont, par l'iiypotlièse, des nombres entiers, il est l'acile de voir que / cl u seront aussi des nombres entiers; car, en tirant leurs valeurs des équations

y = pi -\- ru, z -- (jl -1- su.

^ sy— rz ^^ ijy — pz ^ ps — tjr qr — ps

r'est-ii-dire, ii cause de/AV — lyr = i ,

t ~ s y — rz, u= pz — qy.

Il n'y aura donc qu'à résoudre en nombres entiers l'équation

/'— Am'= I,

et ciiafine vajrnr dr / et de » dunin'ra de nouvelles valeurs An y et z.

ANALYSE INDETERMINEE. 13:5

En effet, substituant dans les valeurs générales de r et 5 la valeur du nombre m trouvée ci-dessus, on aura

;■= p II — C/>'( — Bpqv-h np (pa- ■+■ qp), 5=: o-;i — B^-) — Cpqp -i- nq[p(7 -i-qp)

ou bien, à cause de Cp- — 2 npq + B y- = i ,

/•= (Bg — np) (qp —ps] =— Bg -f- np, s=z{Cp — nq] [pa — qp)^= Cp — nq.

Donc, mettant ces valeurs de ret s dans les expressions ci-dessus de/ et::, on aura, en général,

y=^ pt — [Bq — np) u, z =^ qt -h (Cp — nq) u.