Tout se réduit donc à résoudre l'équation
Oi':
i*^ Si A est un nombre négatif, il est visible que cette équation ne saurait subsister en nombres entiers, qu'en faisant 11= o et t = i, ce qui donnerait r = /j el z = q; d'où l'on peut conclure que, dans le cas où A est un nombre négatif, l'équation proposée
Cr' — 2 nyz + B s= = i
ne peut jamais admettre qu'une seule solution en nombres entiers. Il en serait de même si A était un nombre positif carré; cai-, faisant
A = a-, on aurait
l -i-au) (t — au) = 1;
donc
l -}-au—±i, et t — au—±i;
donc 2au = o; donc a = o, et par conséquent
i;i'. MUHTIONS M\ KLKMENTS l>M,(; KIUIK D T.ri.Kl!. -!'■' .Mai>. si A f>l un nomluc |><isilil' non carit', alors l'cinialiiui
t>l luiijoiirs siisc'i'iilil)lo (l'une iuliiiité de snUitioiis en nomhios cnlici> M" 37), (|u'on |toul Inuivci- lnutes par les fcuiiinics duiuuM's cidessus n" 71, :>"j; mais il sullira de ti'unver les plus peiiles valeurs de / et II. et pour cela, dt's (|ue l'on sera parvenu, dans la série l',, Pj, !' il un teriui' é|;al à Tunilé, il n'y aura (pi'ii ealeuler, par les (bi^niules du n" 25, les leruu'S eorrespondants des deux séries/;,, p.^p^,...,
el c/,, q.. y, Ce seront les valeurs ehercliéos de /el u\ d'où l'on voit
i|Ue le niénie caleul (]u'on aura fait pour la résolution de l'éiiualion
.sel vira aus^i pour celle de ré(jualioii
Au reste, tant (jue A ne passe pas loo, on a les plus petites valeurs de /et ti toutes calculées dans la Talile {* ) qui est à la fin du Chapitre VII du Traité précédent, el dans la(|uelle les nombres a, w, /; sont les mêmes (|ue ieu\ ipie nou> appelons ici A, / el n.
~\. Ur^si^noiis par /,, //, les plus petites valeurs de /, n dans l'équation /• - A«'=:i; <•! dr luenie (|ue ces valeurs peuvent servir ;i trouver de nouvcdles va- •j Voici encore quelques excmi>lcs, lors(|iie a est plus gninii (|ue loo :
M«-: I..5. oiiiiura ^ ■ •" Si«-^ loo, onaura .„ ' ' ' ,. , '
(//(;; jc/yà-AB ; ■' I "1 158070O7198G249 ;
M '/ • Il j, onauia • ,,„ Si « = iS;, on aura ,.1 ,
( h; =- 1204353; " \m- 4GG98728731849;
«•1 SI n - 30;. il viendra
leurs de y et ;; dans l'équalioii
C)- — inyz +B:;-=:i.
de même aussi elles pourront servir à trouver de nouvelles valeurs de
/ et li dans l'équation
(|ui n'est qu'un cas particulier de celle-là. Pour c«da, il n'y aura qu'à supposer C = i et n = o, ce qui donne — B = A, et prendre ensuite /, Il à la place de j, 3, et /,, h, à la place dep, q. Faisant donc ces substitutions dans les expressions générales dey el z du n° 72, et mettant dr plus T, U à la place de t, u, on aura, en général,
et piiur la détermination de T et U l'équation
qui est semblable à la proposée.
Ainsi on pourra supposer T = /, et U = u,, ce (|ui donnera
Nommant donc t., a, les secondes valeurs de ^ et 11, on aura
.Maintenant il est clair (ju'on peut prendre ces nouvelles valeurs t,, 1/., à la place des [)remières t,, u, ; ainsi l'on aura
t =Tl, -^- AU»., u — Tii,-^ U/,,
où l'on peut supposer de nouveau T — /,, L' = «,, ce (|ui donnera / = /, /, ■+- A M, ii„ u = l, u, -t- M, /..
I3li AUDITIONS AL\ KLKMKNTS I) A L(i Llî lU' DEULKU.
Ainsi on aura de noiivt'lk's valcms de / cl //, l('s(Hic!U's seront
/j -= /, /, -h Ak,h, =; /, /; + 3 Ah; , (/ = /, H- -(- ;^, /, ~ H, (3/; -4- A m; '' ,
iT ain>i de suilr.
T."). i.a nu'lliodc iirrci'dcnlc ne l'ail Ironvcr (jUi' succcssivciiifnl les
vali'urs /;, Lj,... ; a.., ir^ Voyons niainlcnaiil conuiiciil on pcnl i;(!nt'-
ralisfi' ci'tU- rei'liL'rclic. On a d'abord
/ -^ T /, + AU «,, Il =- T «, + U /,,
d'oii ji' liit' ifUr coniliinaison
l diii ^\--z.(l,±i,, y A 1 'T±:UvÂj;
donc, >u|)|iosanl T = /, cl U = //,, on aura
Qu'on niclli' a [iréscnl ces valeurs de /;. cl u-, îi la place de celles do /, el lt^ , on aura
/±«v' .-^ (/.±«,v''à)'(t±Uv/â),
où, l'aisanl de nouveau T — /, el U — «,, el noninianl l.^. ii.^ les valeurs lésullanles de / el u, il viendra
lr—u.\jK^ {l,±.u,\j's.)\
On trouvera de même
/,db/^v'A — (/,±m,vA/, el ainsi de snile.
Donc si, [Kiiir plus de simplicilé, on nomnu' mainlenanlTet U les premières el plus petites valeurs de /, m, ([ue nous avons nommées ei-dcssus /,, //,, on aura, en j;onéral,
/±hVA = (T±UvÂ/".
ANALYSE INDETERMINEE. 137
m étant un nonil)re quelconque entier positif; d'où l'on lire, à cause de l'ambiguïté des signes,
, (T + Uv'Âr+fT-Uv'Â)'" t — — — ,
(T + UvÂ)"-(ï-uv/Âr
Quoique ces expressions paraissent sous une forme irrationnelle, cependant il est aisé de voir qu'elles deviendront rationnelles, en drveloppant les puissances de T ± UyA; car on a, comme l'on sait,
- il (':
Donc l = T- + '"""-'' AT"- U= + ,nlm-,){m-..]{m-y ^^,^,„, ^, ^
i. = mT-'U+'"^»-'^'>"-^iAT"-U3+"''>"-'^<"'-;-^/"!-^^-"^-^'A'T"--^L^^.
OÙ l'on pourra prendre pour m des nombres quelconques entiers positifs.
Il est clair ([u'en faisant successivement m= i, 2, j, 4 on aura
des valeurs de l et u qui iront en augmentant.
Or je viiis prouver que l'on aura de cette manitM'e toutes les valeurs possibles de ( et 11, pourvu (jue T et U en soient les plus petites. Pour cela il suffit de prouver qu'entre les valeurs de t et n qui répondent à un nombre quelconque m, et celles qui répondraient au nombre suivant ^ -h I, il est impossible (|u'il se trouve des valeurs intermédiaires qui puissent satisfaire à l'équation
Prenons, par exemple, les valeurs r^, u.^, i\m résultent de la supposition de m — 3, et les valeurs /,. //,, (|ui résultent de la supposition m =4. et soient, s'il est possible, d'autres valeurs intermédiaires 5 du, VIL '8
lo.s \iiiiiiioNs \r\ i:i.i:mi:nts DAi.ciKitiu-: i» ki;i.kk.
iini s;itisl':issL'iU aussi à réi|iialion
r— Am= I,
l'iiis(|Ut' l'on a
/•—A «3 = 1, /J— AhJ = i, 0— Ai;" I,
oïl ;uir:i
'r—t\~-\ y— II]', cl l]-~Or-\ //;— -j'';
iVoii l'ciii vdil (jiic. si 5 ; /j cl ;/i, on aura aussi n > //j et < «j. De plus, un aui'a aussi ces autres valeurs de t et u, savoir
/ r= 0/, — A jf/,. ti =z/jt(,— -jl,,
<jui salisleidut à la même é(iualii)ii
( ar, en los y suhslitiianl, on aurait
Ol. — \jll, '—A ul, — (/«,'■=; 6-- A;.') (/» — A MÎ 1 — I.
e(|ualion i(leuli(|ue il cause de liyp.)
()r ie> deux deruii-res é(|uatiniis donnent
/, + lu v'A
donc, mettant dans l'expression de ii=$u^ — vl;, à la place de 5,
-1 \ A -i -■, l'A à la place de /., //^ v A H => on aura
