t- Uy'A /, 4- H. V^A

de même, si l'on considère la ([uantilé /^i/^ — //, /,, elle pduira :iussi, ;i cause de l:, — \u^ = i , se mellre sous la l'ormi'

i> 4- «j Va /. + «. v'A

Or, il est facile de voir que la quantité précédente doit être plus petite que celle-ci, à cause de 5 > /, et u >■ ^^3 ; donc on aura une valeur de M, qui sera moindre que la (juantilé fsU-, — u^ i^; mais cette quantité est égale à U; car

, (T + Uv/A)V(ï-UvÂ)' '3 ?

^ ^ (T+Us/Â)'+(T-UvÂ)'^

(T-f-Ui/Â)'-(T-Uv/Âj'

(T-hUvÂj' — fT-UvÂi' «i = = »

fï — U V a/ fT -h U v'AV -fT - U V a/(T -H U v'a)'

h".— li «3 = ^^ ^ = '1

2vA

de plus,

(T — U s/Â/ (T + U v'Â / = (P - AU'?=: I,

puisque T^— AU^ = i (liyp-); donc

(T - U v'Â)' (T + U v'Â)' =ï -^ U v'Â, (T-Uv'Â)'(T-+-UvÂ/ = T-Uv/Â,

de sorte que la valeur de t^u-, — u^t., se réduira à

2UvA-

U s'ensuivrait donc de là qu'on aurait une valeur de m< U, ce ([ui est contre l'hypothèse, puisque L est supposé la plus petite valeur possible de «; donc il ne saurait y avoir des valeurs de f et u intermédiaires entre celles-ci /,, ^ et «j, ?/•,. Kt comme ce raisonnement peut s'appliquer en général à toutes valeurs de / et u qui résulteraient des formules ci-dessus, en y faisant 7?z égal à un nombre entier quclcon(|ue, on en peut conclure

no ADDITIONS AUX ELEMENTS DALGEBHK D'EULER.

que CCS formules rcnlermont effoclivcment tontes les valeurs possibles de / et //.

Au reste, il cstinulilede remarquer que les valeurs de / et de u peuvent être également positives ou négatives; ear cela est visible par l'équation même

/=— Am»=i.

De la manière de trouver toutes les solutions possibles, en nombres entiers, des équations indéterminées du second degré à deux inconnues.

76. Les méthodes que nous venons d'exposer suffisent pour la résolution complète des équations de la forme

mais il peut arriver (|u'on ait à résoudre des équations du second degré d'une forme plus composée: c'est pourquoi nous croyons devoir montrer comment il faudra s'y prendre.

Soit proposée l'équation

ar- -4- brs -t- es"- -i- dr -+- es -)-/"=: o,

oii «, b, c, d, <>, /soient des nombres entiers donnés, et où /et s soient deux inconnues qui doivent être aussi des nombres entiers. J'aurai d'iibord, pai' la résolution ordinaire,

y.fir-hl>s -+- d — y/\bs +</)' — 4a (W -i- es-hf);

d'où l'on voit que la didlculté se réduit à faire en sorte que

{bs+ df — /ia[cs'-h es +f\ soit un carré.

Supposons, pour plus de sinjplicité,

b' — ^ac = A, bd— 7.ae = g, d^ — '\af^=li,

cl il faudia que Ai" + 7.gs -f- h soit un carré; sui)posons ce carré =/%

ANALYSE INDÉTEIIMINÉE. Ul

en sorte que l'on ail réquation

As- + -2. gs -\- h =: y- ; el, tirant la valeur de s, on aura

de sorte qu'il ne s'agira plus que de rendre carrée la formule Ar-^g^--A/i.

Donc, si l'on t'ait encore

g'-Afl=:B,

on aura à rendre ralionael le radical

v/A/» + B ; c'est à quoi on parviendra par les méthodes données.

Soit \ A V' -H B = X, en sorte que l'équation à résoudre soit

Aj=-f-B = A-;

on aura donc

As -i- g = ±x;

d'ailleurs on a déjà

lar + bs -{- cl = zizf.

Ainsi, dès qu'on aura trouvé les valeurs de x et j, on aura celles de /• et s par les doux équations

Or, comme r et 5 doivent être des nombres entiers, il est visible cju'il faudra : i" que x cly soient des nombres entiers aussi; 2° que ±a — g soit divisible par A, et qu'ensuite ±J— d — bs \c soit par ua. Ainsi, après avoir trouvé toutes les valeurs possibles de x et j on nombres entiers, il restera encore à trouver parmi ces valeurs celles ipii |)ourroni rendre ret s des nombres entiers.

Il:> ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER.

Si A c^t un nombre négatif ou un nombre positif carré, nous avons vu que le nombre des solutions possibles en nombres entiers est toujours limité, de sorte que dans ces cas il n'y aura (ju'à essayer successivement poura:etj les valeurs trouvées; et, si l'on n'en rencontre aucune qui donne pour /-et * des nombres entiers, on en conclura (jue l'éciuation proposée n'admet point de solution de celte espèce.

La diiriculté ne tombe donc que sur le cas où A est un nombre positif non carré, cas dans lequel on a vu que le nombre des solutions possibles en entiers peut être infini; comme l'on aurait alors un nombre infini de valeurs à essayer, on ne pourrait jamais bien juger de la résolubilité de l'équation proposée, à moins d'avoir une rèi-le qui réduise le tâtonnement entre certaines limites : c'est ce que nous allons recberclicr.