Puisciu'on a (n

X = ny — B;:,

et (n"72)

y=:pl — ( B g — np : II,

z= qt -h{Cp — nq] u,

il est facile de voir que les expressions générales de r et s seront de

cette forme

a<-i-SM-t-y «,/-f-3iM-4-yi /•= -. -■> s= ~ '-i

0 Oi

a. l'j, y, 'j; cz,, /S,, 7,, ù^ étant des nombres entiers connus, et /, «étant donnés par les formules du n" 75, dans les(|uelles l'exposant m peut être un nombre entier positif quelconque. Ainsi la question se réduit à trouver quelle valeur on doit donner à m, pour (jue les valeurs de ret s soient des nombres entiers.

78. Je remarque d'abord qu'il est toujours possible de trouver une valeur de u qui soit divisible par un nombre (|uelconque donné A; car, supposant u = Aw, l'équation

ANALYSE INDÉTERMINÉE. Ii3

ileviendra

r-— AA'w'=i,

laquelle est toujours résoluble en nombres entiers; et l'on trouvera les plus petites valeurs de t et w en faisant le même calcul qu'auparavant, mais en prenant A A" à la place de A. Or, comme ces valeurs satisfont aussi à l'équation

elles seront nécessairement renfermées dans les formules du n" 75. Ainsi il Y aura nécessairement une valeur de m qui rendra l'expression de u divisible par A.

Qu'on dénote cette valeur de w par [jl, et je dis que si, dans les expressions générales de t et u du numéro cité, on fait m — 2 p., la valeur de u sera divisible par A, et celle de l étant divisée par A donnera 1 pour reste.

Car, si l'on désigne par T, et U, les valeurs de / et u où m = ;j., el par To et Uj celles où m = 2 a, on aura (n° 75)

T,±U, v'A = (T±Uv/Âf,

T=±:U,VÂ = (Td=Uv'Âr;

donc

(T,±:U, v'Aj' = T,±U,vÂ.

c'est-à-dire, en comparaiil la partie rationnelle du premier membre avec la rationnelle du second, et l'irrationnelle avec l'irrationnelle,

T,z=ï;-(- AU = , U: = 2T,U,;

donc, puisque U, est divisible par A, U,, lésera aussi, et To laissera le même reste que laisserait TJ; mais on a Tf — AUJ = i (bvp.) : donc T7 — [ doit être divisible par A et même par A-, puisque Uj l'est déjà; donc T j et par conséquent aussi Tj, étant divisés par A, laisseront le reste i . Maintenant je dis que les valeurs de t el m qui répondent à un exposant quelconque m, étant divisées par A, laisseront les mêmes restes

IVi ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE DEULEU.

(|ii(' les viilcurs do / et u ^\n\ répondraient à l'exposant m-{- a/x; car, désijinant ces dernières par 0 et v, on aura

/±«v/I=(TdzUs/Âj", donc

Mais MOUS venons de trouver ci-dessus

T,±:U,v''A=(T±Uv'Â)"';

donc un aura

e±:uv'Â=('±«V^Â)(T\ii:U,v'Â),

d'où l'on lire, en faisant la multiplication et comparant ensuite les parlies rationnelles ensemble et les irrationnelles ensemble,

0 = /T.-+-A«U„ u = t\],-^ul,.

Or Uj est divisible par A, et T^ laisse le reste r ; donc 0 laissera le même reste que /, et v le même reste que //.

Donc, en général, les restes des valeurs de / et u répondant aux exposants m -\- zjx, m -+- 4,y., m ■+- 6a,... seront les mêmes que ceux des valeurs qui répondent à l'exposant quelconque m.

De là on peut donc conclure que, si l'on veut avoir les restes provenant de la division des termes /,, t.,, t^,... et u,, u.,, u^,... qui répondent a m = I, 2, 3,... par le nombre A, il suflira de trouver ces restes juscju'aux termes l..^ et u^^ inclusivement; car, après ces termes, les mêmes restes reviendront dans le même ordre, et ainsi do suite à l'infini.

Quant aux termes /o^et j/j,!, auxquels on pourra s'arrêter, ce seront ceux dont l'un ii^^ sera exactement divisible par A, et dont l'autre r^^ laissera l'unité pour reste; ainsi il n'y aura qu'à pousser les divisions jusqu'il ce (|u'on parvienne aux restes i et o ; alors on sera assuré que

ANALYSE INDÉTERMINÉE. IVo

les termes suivants redonneront toujours les mêmes restes que l'on a déjà trouvés.

On pourrait aussi trouver l'exposant 2 y. a priori; car il n'y aurait (|u'ii faire le calcul indiqué dans le n°71 , 2", premièrement pour le nombre A. et ensuite pour le nombre AA^; et, si l'on nommera le numéro du terme de la série P,, P,, P^,... qui, dans le premier cas, sera = i, et & le numéro du terme qui sera = i dans le second cas, on n'aura qu'à chercher le plus petit multiple de ra et de o, lequel, étant divisé par -, donnera la valeur cherchée de y..

Ainsi, si l'on a, par exemple, A = 6et A — 3, on trouvera dans la Table do n°41, pour le radical y 6,

P„z=I, p, =5>., Pj=i;

donc ra = 2; ensuite on trouvera dans la même Table, pour le radical v'6.9 = \54,

P,= i, p, = 5. P, = 9, P3 = — 2, P. = 9, P, = — 5, Po=i;

donc j5 = 6; or le plus petit multiple de 2 et 6 est 6, qui, étant divisé par 2, donne 3 pour quotient, de sorte qu'où aura ici a = 3 et 2'ji = 6.

Donc, pour avoir dans ce cas tous les restes de la division des ternies /,, /ï, /j,... et Uf, Un, Wj,... par 3, il suffira de chercher ceux des six premiers termes de l'une et de l'autre série; car les termes suivants redonneront toujours les mêmes restes, c'est-à-dire que les septièmes termes donneront les mêmes restes que les premiers, les huitièmes les méme.s restes que les seconds, et ainsi de suite à l'infini.

Au reste, il peut arriver quelquefois que les termes t^. et «^ aient les mêmes propriétés que les termes ^2(iL'tH..pL, c'est-à-dire que u,i soit divisible par A, et que t^^ laisse l'unité pour reste. Dans ces cas on pourra s'arrêter à ces mêmes termes; car les restes des termes suivants /p,+,, z^^,

'V+i' "IJ.+2'-'- seront les mêmes que ceux des termes /,, /.,..., //,, //.,,.... et ainsi des autres.

En général, nous désignerons par M la plus petite valeur de l'exposant m, ([ui rendra / — i et u divisibles par A.

Vil. 19

Ii« APOiTIONS AUX ÉLÉMENTS D'AI.GÈBHE D'EULER

79. Supposons maintenant que l'on nii une expression quelconque coniposéo de / et it et de nombres entiers donnés, de manière qu'elle représente toujours des nombres entiers, elciu'il s'ai;isse de trouver les valeurs (ju'il i'audr;iit donner à l'exposiinl m, pour (|ue eetle expression devienne divisible par un nombre queleon(]ue donné A; il n'y aura (|u'à l'aire snecessivemcnl m = i, 2, 3,... jusqu'à M; et, si aucune de ces suppositions ne reinl l'expression proposée divisible par A, on en conclura liardiment (ju'elle ne peut jamais le devenir, quebpies valeurs (|u'on donne à m.

.Mais, si l'on trouve de cette manière une ou plusieurs valeurs de m (|ui rendent la proposée divisible par A, alors nommant N cbacune de ces valeurs, toutes les valeurs possibles de m (\m pourront faire le même

elTel seront

et, eu général,

), étant un nombre entier quelconque.

De même, si l'on avait une autre expression composée de même de t, H et de nombres entiers donnés, laquelle dut être en même temps divisible par un autre nombre quelconque donné A,, on cbercberait pareillement les valeurs convenables de M et de N, que nous désignerons ici par M, cl N,, et toutes les valeurs de l'exposant m qui pourront satisfaire à la condition proposée seront renfermées dans la formule

"/., étant un nombre quelconque entier. Ainsi il n'y aura plus qu'à cbercher les valeurs qu'on doit donner aux nombres entiers >. et ).,, pour

que Ton ait

savoir

é(|uatioii résoluble par la métbode du u" 42.

Il est maintenant aisé de faire l'application de ce tjue nous venons de

ANALYSE INDÉTEKMINÉI'. 147

ilii'c au cas du n" 77, où los expressions proposées sont de la loriiie

aZ + Sw-l-y, a,/ + ^,;< -h y,,

et les diviseurs sont n et c?,.

II faudra seulement se souvenir de prendre les nombres / et // successivement en plus et en moins, pour avoir tous les cas possibles.

Exemple I.