X - ny
et il faudra, pour que l'équation soit résoluble, (|ue l'on puisse trouver pour/i un nombre entier, [tosilif ou négatif, non ^ -. c'est-à-dire non > 58G, tel que n- — A ou «• -h 7 soit divisible par B ou par 1171.
I'i8 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGKBRE D'EIILER.
Je trouve /i = ± 32i, ce qui (loiiiie n' +7 =1171 .88; ;iinsi jo siihsiituc dans l'équalion précédcnle zt'5'j.iy — 1171s à la plaee do a-, moyennant quoi elle se trouve toute divisible par 1 171, et la division
l'aile, elle devient
88;- rp 6^7. j-z + 1 1 7 1 2' =: 1 .
Pour résoudre eette écjualion je vais faire usage de la seconde méthode exposée dans le n" 70, parce qu'elle est en efTet plus simple et plus commode que la première. Or, comme le coefficient de j' est plus petit que celui de =-, j'aurai ici D= 1 171, D, = 88 et « = rh 32i ; donc, retenant pour plus de simplicité la lettre^ à la place de d, et mettant y, à la place de :;, je ferai le calcul suivant, où je supposerai d'abord /( = 32 1 :
nï,=r • -^ — S, «,= — il+J.Il=:2,
/Hj= - = 2, «3=2 — 2.1 = 0,
Di— ' =1, j,= — 3,r, + /„
Puis(jue n.j = o et par conséquent < — et < — S on s'arrêtera ici et l'on fera
D=M = i, D,= L=r7, rt3=:o = N, cl y, = l, y\—'^,
■A cause que Dj est < D,.
Maintenant je remarque que, A étant = — 7, et par conséquent nétjalif, il faut, pour la résolubililé di; l'équation, que l'on ait M = i; c'est ce que l'on vient de trouver, de sorte qu'on en peut conclure
ANALYSE INDÉTERMINÉE. IW
d'abord que la résolution est possible. On supposera doncç = j, = (),
'i =z Vi = ± t ; et l'on aura, par li's tbmiules ci-dessus,
les signes ambigus étant à volonté. Donc
:r =: 32 ij- — I i-j I 2 =rf: 18,
et conséqueninient
-T- 3 1 31 = 18 1 3 iq =- — ^^ — = — , ou =i^'=7.
Or, comme on exige que la valeur de s soit égale a un nombre entier, on ne pourra prendre que s = ~.
Il est remarquable que l'autre valeur de s, savoir — • quoi(iue fractionnaire, donne néanmoins un nombre entier pour la valeur du ladical V^o-t- 62 s — -js'-, et le même nombre i [ que donne la valeur s — ■]: de sorte que ces deux valeurs de s seront les racines de l'équation
Nous avons supposé ci-dessus n = "iii; or on peut faire également rt = — 321 ; mais il est facile de voir d'avance que tout le cjiangemeni qui en résultera dans les formules précédentes, c'est que les valeurs de m. m,, m., et de n,, n.;, cliangeront de signe; moyennant ({uoi les valeurs de r, et de j deviendront aussi de dilVérents signes, ce (jui ne donnera aucun nouveau résultat, puisque ces valeurs ont déjà (relles-mèmes le signe ambigu ±.
Il en sera de même dans tous les autres cas, de sorte (ju'on pourra toujours se dispenser de prendre successivement la valeur de n en plus et en moins.
La valeur .s- = 7, que nous venons de trouver, résulte de la valeur de /< = ± 32 1 ; on pourrait trouver d'antres valeurs de s, si l'on trouvait d'autres valeurs de n (|ui eussent la condition recpiise; mais, comme le diviseur 3 = 1171 est un nombre premier, il ne saurait y avoir d'autres
130 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DAlAiÉBUli DEULEK. valeurs de n de la même qualité, comme nous l'avons démontré ailleurs \Mèmoires de Berlin pour l'année 17G7, page 194 (*)], d'où il fautconilure (|ue le nombre 7 est le seul (jui puisse satisfaire à la question.
J'avoue, au reste, qu'on peut résoudre le Problème précédent avec plus de facilité par le simple tâtonnement; car, dès qu'on est parvenu à l'é- (juation
ar'= I 171 — '])•'',
il n'v aura qu'à essaver poury tous les nombres entiers dont les carrés multipliés par 7 ne surpasseront pas 1 171 , c'est-à-dire tous les nombres
Il en est de même de toutes les équations où A est un nombre négatil ; car, dès qu'ouest arrivé à l'équation
ou. l'u faisant A = — a,
x' = B — ay',
il est clair (jue les valeurs satisfaisantes dey, s'il y en a, ne pourront se trouver que parmi les nombres <l/—- Aussi n'ai-je donjié des méthodes particulières, pour le cas de A négatif, que parce que ces méthodes ont une liaison intime avec celles qui concernent le cas de A positif, et que toutes ces méthodes, étant ainsi rapprochées les unes des autres, peu veii t se |»réter un jour mutuel et acquérir un plus grand degré d'évidence.
ExEMPLi: II.
81. Donnons maintenant quelques Exemples pour le cas de A positif, et soit proposé de trouver tous les nombres entiers (pt on jmitrra prendre pour Y, en sorte que la quantité radicale
v'i3y'+ 101 devienne rationnelle.
(*) OEuvrcs de Ltigrange, I. 11, p. 377.
ANALYSE INDETERMINEE. loi
On aura ici, n" 64, A = i3, B = loi , et l'équalion à résoudre eu riiliors sera
:r' — l3 )■'= lOi,
ilaiis laiiuulle, à cause que loi n'est divisible par aucun carré, j' sera nécessairement premier à lOI.
On fera donc in" 65)
X = nj- — lois,
<'t il faudra que n- — i3 soit divisible par loi, en prenant n < — •< jr . Je trouve n = 35, ce qui donne
/;'i==I-225, el II- — |3 = I2I2 =; lOI . 12;
ainsi l'on pourra prendre « = ± 35, et substituant, au lieu de ,r.
± 35v — loi :;, on aura une équation toute divisible par toi , qui, la
division faite, sera
12 ) -ni: 70 )-s + loi s-z= I.
Employons encore, pour résoudre cette équation, la métliode du n" 70; faisons D, = 12, D — loi, « = zh 35; mais, au lieu de la lettre 5. nous conserverons la lettre r, el nous changerons seulement r en v, , comme dans l'exemple précédent.
Soit : 1° « = 35; on fera le calcul suivant :
C.omnie n^= o et conséqueniment ■< — et < —S on s'arrêtera ici et l'on aura la transformée
D,j- — 2«:.r.;-3 -t- D.jl = I , ou bien
I;i(iiicllc, étant rinluitc à ci-llc forme
sera susceptible tle la iiiétliode du n" 71, 2"; ot, coiunic A— i3 est < 120, on pourra l'aire usage de la Table du n" 41.
Ainsi il n'y aura qu'à voir si, dans la série supérieure des nombres (|ui répondent à \ \ 3, il se trouve le nombre i dans une plaee paire; car il laut, pour que l'équation précédente soit résoluble, que dans la série F„, I',, I'm... il se trouve un terme =— 1 ; mais on a 1\ = i, — P, = 4. 1*2 = 3,...; donc, etc. Or, dans la série i, 4. 3, 3, 4, 1...., on trouve justement i à la sixième place, en sorte que P5 = — i ; -donc on aura une solution de l'éiiuation proposée, eli prenant j)'3 = /J5, et j? — 5^5, les nombres p., q. étant calculés d'après les formules du n° 25, en donnant à a, iJ.,, [u,... les valeurs 3, i, i, i, 1,6,... qui forment la série inférieure des nombres répondant à y i3 dans la mémo Table.
On aura donc
Pi = Ps+fh— II, q, = q3 + q, — '3,
Pi=p, +p:,= 18, Çi=Ç4 + (/3-5.
Donc >':, = iS et V; = 5; donc
Nous avons supposé ci-dessus n = 35, mais on peut aussi prendre ri — — 35.
Soit donc : 2° « = — 35; on fera
ainsi l'on aura les mêmes valeurs deD,, Dj cln., qu'auparavant, de sorte que la transformée en Vj et j, sera aussi la même. On aura donc aussi 1-3 — 18, et n = 5; donc
j-, = — 7, + j3 = i3, et j= — 3j, -I- j-,=z 34.
Nous avons donc trouvé deux valeurs dey avec les valeurs correspondantes de y, ou :;, et ces valeurs résultent de la supposition de « = ± 35; or, comme on ne peut trouver aucune autre valeur de n qui ait les conditions requises, il s'ensuit que les valeurs précédentes seront les seules valeurs primitives que l'on puisse avoir; mais on pourra ensuite en trouver une infinité de dcmées par la méthode du n° 72.
Prenant donc ces valeurs de y et :; pour/? et q, on aura, en général (numéro cité),
y = 74' — (loi .23 — 35. 74) " = 74' + 267 u, z=iiZt-i-[ 12.74 — 35.23) M = 23/ + 83«<,
ou
2 =: i3/ -H ( — 12.34 -i- 35. i3) M^ i3 / + 47 «, et il n'y aura plus (ju'à tirer les valeurs de t et u de l'équalioii
Or ces valeurs se trouvent déjà toutes calculées dans la Table qui est à la fin du Chapitre YII du Traité précédent; on aura donc sur-le-chanij) / = 649 et u = 180; de sorte que, prenant ces valeurs pour T et U dans les formules du n" 75, on aura en général
(649-Hi8ov/i3)"'— (649 — iSov'iS)'"
lai ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DALGÈBUE DEULEH.
où l'on |touna doiiiior ;i m telle valeur qu'on voudra, pourvu (lu'on ne
prenne que des nombres entiers positifs.
Or, comme les valeurs de / et u peuvent être prises tant en plus (ju'en moins, les valeurs de y (|ui peuvent satisfaire a la question seront toutes renfermé(>s dans ces deux formules
r- = db34f±:i23«,
les signes ambigus étant a volonté.
Si l'on fait m — o, on aura f = i et m = o; donc
et cette dernière valeur sera la plus petite qui puisse résoudre le Problème.
Nous avons déjà résolu ce même Problème dans les Mémoires de Berlin pour l'année 1768, page 243 (*); mais, comme nous y avons fait usage d'une métbodc un peu dillerente de la précédente, et qui revient au même pour le fond (lue la |)reniière méthode du n" 66 ci-dessus, nous avons cru devoir le redonner ici, pour que la comparaison des résultats, (|ui sont les mêmes par l'une et l'autre niélbode, puisse leur servir de confirmation, s'il en est besoin.
EXF.AIPI.E III.
82. Soit proposé encore de trouver des nombres entiers qui, étant pris pour y, rendent rationnelle la quantité
On aura donc à résoudre en entiers l'équation
ilans laquelle y sera premier à loi, puisque ce nombre ne renferme aucun facteur carré.
{*) OEuvrrs de Liij^rangc, I. II, p. 719.
Qu'on suppose donc
X =^ ny — 1 o I s ,
et il faudra que «* — 79 soit divisible par 1 01 , en prenant n < — < 5i ; on trouve n = 33, ce qui donne
H^ — 79 ^ lOIO =r lOI . 10.
Ainsi l'on pourra prendre /i = ± 33, et ces valeurs seront les seules qui aient la condition requise.
Substituant donc ±33j— 1012 à la place de x, et divisant toute l'équation par loi, on aura cette transformée
10 j^'rpGGj^ + loi z-= I.
On fera donc D, = 10, D = loi, n = ± 33, et, prenant d'abord n en plus, on opérera comme dans l'Exemple précédent; on aura ainsi
m = — =3, «, = 33-3.10=3, D.= ^~"^9=-:, v=3r,+ Vj. 10 10 ' j j ' j '
Or, comme n, = 3 est déjà << — et < — » il ne sera pas nécessaire d'aller plus loin; ainsi l'on aura la transformée
laquelle, étant multipliée par — 7, pourra se mettre sous cette forme
Puisque donc 7 est <v79> si cette équation est résoluble, il faudra que le nombre 7 se trouve parmi les termes de la série supérieui'e des nombres qui répondent à \ 79 dans la Table <lu n" il, et même (jue ce nombre 7 y occupe une place paire, [tuiscju'il a le signe — . iMais la série dont il s'agit ne renferme que les nombres 1, i5, 2, (|ui reviennent toujours; donc on doit conclure sur-le-cliamp ([ue la dernière é(|uatioii n'est pas résoluble, et qu'ainsi la proposée ne l'est pas, an moins d'après la valeur de n = 33.
loG ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER.
Il no reste dono qu'à essayer l'autre valeur n = — 33, laquelle donnera
,n — :Z^ = -3, „, — 33h 3.,o=-3, D, = ^JZI^ := n , y~-3r,-hy\,
lO lO " '
(le sorte qu'on aura cette autre transformée,
la(|iielle se réduit à la forme
qui est semblable à la précédente; d'où je conclus que l'équation proposée n'admet absolument aucune solution en nombres entiers.
Remarque.
83. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé dans le tome IX des nomeaiix Commentaires de Pe'tersbourg, trouve par induction cette règle, pour juger de la résolubilité de toute équation de la forme
lorsque B est un nombre premier; c'est que l'écination doit élre possible toutes les fois(iuc B sera de la forme /jAn + /-, ou4A« + /" — A; mais l'Exemple précédent met cette règle en défaut; car loi est un nombre premier de la forme 4 A« h- r^ — A, en faisant A = 79, n= — 4 et/=: 38; cependant l'équation
n'admet aucune solution en nombres entiers.
Si la règle précédente était vraie, il s'ensuivrait que, si l'équation
est possible lorsque B a une valeur quelconque h, elle le serait aussi en prenant B -- 4 A« 4 b, poui vu (jiic B lût un nombre premier. Ou pour-
l'ait liiniler cette dernière règle, en exigeant que h fût aussi un nombre premier; mais avec cette limitation même elle se trouverait démentie par l'Exemple précédent, car on a loi = 4 A/i + b, en prenant A = 79, n = — 1 et 6 = 733. Or 733 est un nombre premier de la forme X- — 79 j', en faisant x = 38 et 1= 3; cependant loi n'est pas de la même forme x" — 79^".
§ ^ III. — Remarques sur les équations de la forme p- ^= Aq" -\- \ , et sur la vianière ordinaire de les résoudre en nombres entiers.
84. La méthode du Chapitre VII du Traité précédent, pour résoudre les équations de cette espèce, est la même que celle que Wallis donne dans son Algèbre (Chapitre XCYIII), et qu'il attribue à niylord Brouncker; on la trouve aussi dans V Algèbre d'Ozanam, qui en fait honneur à Fermat. Quoi qu'il en soit de l'inventeur de cette méthode, il est au moins certain que Fermât est l'Auteur du Problème qui en fait l'objet: il l'avait proposé comme un défi à tous les géomètres anglais, ainsi qu'on le voit par le Commercium episîolicum de Wallis : c'est ce qui donna occasion à mylord Brouncker d'inventer la méthode dont nous parlons; mais il ne parait pas que cet Auteur ait connu toute l'importance du Problème qu'il avait résolu : on ne trouve même rien sur ce sujet dans les écrits qui nous sont restés de Fermât, ni dans aucun des Ouvrages du siècle passé où l'on traite de l'Analyse indéterminée. 11 est bien naturel de croire que Fermât, qui s'était principalement occupé de la Théorie des nombres entiers, sur lesquels il nous a d'ailleurs laissé de très-beaux théorèmes, avait été conduit au Problème dont il s'agit par les recherches qu'il avait faites sur la résolution générale des équations de la forme
auxquelles se réduisent toutes les équations du second degré à deux inconnues; cependant ce n'est (ju'à iiuler que nous devons la remarque
158 ADDITIONS AUX ELEMENTS DALGEBUE D'EULEIl.
(|ue ce Prolilèmo est nécessaire pour trouver toutes les solutioas possibles de ees sortes d'équations. ( Voirie Chapitre Ylei-dessus, le tome VI (\oii anciens Commentaires Je J'etersboiirg, et le tome IX des nomcau-x.) \a\ niélliode que nous avons suivie pour démontrer cette proposition est un peu dillérente de celle d'Euler, mais aussi est-elle, si je ne me trompe, plusdirecleet plus générale; car, d'un côté, la méthode d'Kuler ('(induit naUirellement à des expressions fractionnaires lorsqu'il s'agit de les éviter, et de l'autre on ne voit pas clairement que les suppositions qu'on y fait pour faire disparaître les fractions soient les seules qui puissent avoir lieu. En effet, nous avons fait voir ailleurs qu'il ne suffit pas toujours de trouver une seule solution de l'équation
pour pouvoir en déduire toutes les autres à l'aide de l'équation
cl qu'il peut y avoir souvent, au moins lorsque B n'est pas un nombre premier, des valeurs de x et y qui ne sauraient être renfermées dans les expressions générales d'Euler. [ Voir le n" 45 de mon Mémoire sur tes Problèmes indéterminés, dans les Mémoires de Berlin, année lyGy (*),] Quant il la méthode de résoudi'C les é(jualionsde la forme
il nous semble que celle du Chapitre VII, quelque ingénieuse qu'elle soit, est encore assez imparfaite; car : i" elle ne fait pas voir ciue toute équation de ce genre est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque a est un nombre j)ositii' non carré ; y.° il n'est pas démontré qu'elle doive faire parvenir toujours à la résolution cherchée. Wallis, il est vrai, a prétendu prouver la première de ces deux propositions; mais sa démonstration n'est, si j'ose le dire, qu'une simple pétition de principe. (Foirh Chapitre XCIX de son Algèbre.) Sa crois donc être le premier qui en ait donné une tout à fait rigoureuse; elle se trouve dans les Mé-
(') OEuvrcs lie Lagra/igc, t. II, p. .j>7.
ANALYSE INDETERMINEE. 159
langes de Turin, tome IV (*); mais clic est trcs-longuc et trcs-indirecte; celle (lu w" 37 ei-Jcssus est tirée des vrais principes de la chose, et ne laisse, ce me semble, rien a désirer. Cette méthode nous met aussi en état d'apprécier celle du Chapitre VII, et de reconnaitnt les inconvénients où l'on pourrait tomber si on la suivait sans aucune précaution; c'est ce que nous allons discuter.
85. De ce que nous avons démontré dans le § II, il s'ensuit que les valeurs de /j et </ qui satisfont à l'équation p- — \q'- = i ne peuvent être que les termes de quelqu'une des fractions princij)ales déduites de la fraction continue qui exprimerait la valeur de y/A; de sorte que, supposant cette fraction continue représentée ainsi
on aura necessairemenl
fj.p étant un terme quelconque de la série infinie ij.,,ij..,,..., dont le (|uantième p ne peut se déterminer qu'a posteriori.
Il faut remarquer que dans cette fraction continue les nombres p., u.,, a^,... doivent être tous positifs, quoique nous ayons vu dans le n" 3 (ju'on peut, en général, dans les fractions continues, rendre les dénominateurs positifs ou négatifs, suivant que l'on prend les valeurs approchées plus petites ou plus grandes (jue les véritables; mais la méthode du Problème I (n"** 23 et suivants) exige absolument (jue les valeurs appi'ochées/jr., ij.,, p.,,... soient toutes prises en défaut.
(*) UEitvirs de Liif;ra/ii;c, l. I, J). C;i.
IGO ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE D EULEH.
86. MaiiiloïKiiU. nuisqiu' la IVaclion ' est rivale à une IVaclion coii-
linue dont los termes sont /ji, /j.,, ';., p.^,, il est clair, par le n° 4, que (x
sera le quoliont de p divisé par q, que p., sera celui de q divisé par le reste, [Xi celui de ce reste divisé par le second reste, et ainsi de suite; de sorte que, nommant r, s, /,... les restes dont il s'agit, on aura, par la nature de la division,
((il le dernier reste sera nécessairement = o, et l'avant-dernier = i, à cause ([lie p et q sont des nombres premiers entre eux. Ainsi p. sera la valeur entière approchée de -> p-, celle de -■< {j-^ celle de -> etc., ces valeurs étant toutes prises moindres que les véritables, à l'exception de la dernière a^, qui sera exactement égale à la fraction correspondante, à cause que le reste suivant est supposé nul.
Or, comme les nombres p., p.,, [j..,,..., p.p sont les mêmes pour la fraction continue ([ui exprime la. valeur de -> et pour celle qui exprime la
valeur de \ A, on peut prendre, jusqu'au terme p.p, - = VA, c'esl-à-dirc //-— Aq- -- o. Ainsi on cherchera d'abord la valeur approchée en défaut de -» c'est-;i-dire de \/A, et ce sera la valeur de tj.; ensuite on suh-
stituera dans p- — Aq- = o, à la place de p, sa valeur p.y + r, ce qui donnera
et l'on cherdicra de nouveau la valeur approchée en défaut de y c'està-dire de la racine positive de l'équation
q ifj. - -f I = o ;
et l'on aura la valeur de u.,.
On c(Miliiiuera à substituer dans la transformée
(ix' — A)^'-t- 7.u.qr-\- r'= o.
ANALYSE INDÉTERMINÉE. IGl
à la pince de q, /-».,/•+ s; on aura une équation dont la racine sera-; on
prendra la valeur approchée en défaut de cette racine, et l'on aura la valeur de /7... On substituera f;..,r + 5 à la place de /•, etc.
Supposons maintenant que / soit, par exemple, le dernier reste, qui doit être nul; 5 sera l'avant-dernier, qui doit être = i; donc, si la transformée en 5 et Z de la formule/?-— Ay- est
P4'-t-Qi/4-R/-,
il faudra qu'en y faisant / = o et ^ = 1 elle devienne = i , pour que l'équation proposée/?- — kq- = i ait lieu; donc P devra être = i . Ainsi il n'y aura qu'à continuer les opérations et les transformations ci-dessus jusqu'à ce que l'on parvienne à une transformée où le coefficient du premier terme soit égal à l'unité; alors on fera dans cette formule la première des deux indéterminées, comme r, égale à i, et la seconde, comme 5, égale à zéro, et en remontant on aura les valeurs convenables de p et q.
On pourrait aussi opérer sur l'équation même/?- — A^- = i , en ayant seulement soin de faire abstraction du terme tout connu i, et par conséquent aussi des autres ternies tout connus qui peuvent résulter de celui-ci, dans la détermination des valeurs approcliées y., a,, [j......
de -» -) -5---: dans ce cas on essavera, à chaque nouvelle transformaq r s V ' 1
tion, si l'équation transformée peut subsister en y faisant l'une des deux indéterminées = i et l'autre = o; quand on sera parvenu à une pareille transformée, l'opération sera achevée, et il n'y aura plii> (|u'à revenir sur ses pas pour avoir les valeurs cherchées de/? et de q.
Nous voilà donc conduits à la méthode du Chapitre VII. A examiner cette méthode en elle-même et indépendamment des principes d'où nous venons de la déduire, il doit paraître assez indifférent de prendre les valeurs approchées de [)., [t.,, ij.^,-.. plus petites ou plus grandes que les véritables, d'autant que, de quelque manière qu'on prenne ces valeurs, celles de r, s, /,... doivent aller également en diminuant jusqu'à zéro (n" 6).
Ml. 21
162 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DALGÈBRE DEULEIl.
Aussi Wallis remarque-t-il expressément qu'on peut employer ;i volonté les limites en plus ou en moins pour les nombres p., p.,, pa.--. t't il propose même ce moyen comme propre a abréger souvent le calcul : c'est aussi ce que Euler fait observer dans le n" 102 et suivant du Chapitre cité; cependant je vais faire voir par un exemple qu'en s'y prenant de cette manière on peut risquer de ne jamais parvenir à la solution de l'équation proposée.
Prenons l'Exemple du n° 101 du même Chapitre, où il s'agit de résoudre une équation de cette forme
p^=z6q'-hi, ou bien p' — 6q'^\.
On aura donc/^ = y6y- -t- 1, et, négligeant le terme constant i ,p = (/\/(J: donc - = vS> 2 et ^'i; prenons la limite en moins, et faisons y. — 2, et ensuite/J= 2(j-hr; substituant donc cette valeur, on aura
— ?, </' 4- 4 '7''+ '■'= ' ; donc
ou bien, en rejetant le terme cunstaiU — 2,
a = > d ou i =r ï- > 2 el < 3.
Prenons de nouveau la limite en moins, et faisons q = 2r -h s; la dernière équation deviendra
/- — .\rs — 25'= I,
où l'on voit d'abord qu'on peut supposer i= o et /• = 1 ; ainsi l'on aura
Maintenant reprenons la première transformée — ■?.(/' -+- 47'" -^ r'=^ i,
où nous avons vu que ^ > 2 et <3, el, au lieu de |»rendre la limite en
moins, pronons-la en plus, c'est-à-dire, supposons c/ = 3r4- 5, ou bien, puisque s doit être alors une quantité négative, g = 3r — s; on aura la
transformée suivante
^ 5 /' -I- 8 is — 2i' = I ,
laquelle donnera
donc, négligeant le terme constant 5,
Prenons de nouveau la limite en plus, et faisons /• = 2^ — /; un aura
— 6s'+ iist — 5/'= I ; donc
donc, rejetant le terme — 6,
Qu'on continue à prendre les limites en plus, et qu'on fasse *= il— u,
il viendra
— 5 /' -)- y-xiu — 6 f<' = I ;
donc
donc
>iei<:
Faisons donc de même / = iu — jc\ on aura
— ?. j<' -t- 8 M a: — 5 jr= = I ; donc, etc.
Continuant de cette manière à prendre toujours les limites en plus.
i6i vnnrriONs aux éléments d'algèbre deuler.
un ne trouvera jamais de transformée où le coelfieient du premier terme soit éijal à l'nnilé, eomme il le l'aiil, |unir(iu'on puisse trouver une solution de la proposée.
La même chose arrivera néeessaireinent toutes les fois qu'on prendra la première limite en moins et les suivantes toutes en plus; je pourrais en donner la raison a priori; mais, eomme le Iceteur peut la trouver aisément [)ar les principes de notre Théorie, je ne m'y arrêterai pas. Quant à présent, il me suffit d'avoir montré la nécessité de traiter ces sortes de Prohlèmes d'une manière plus rigoureuse et plus profonde ([u'ou ne l'avait encore fait.
^ IX. — De la innnicrc de trouver des f oint ions ali!;ébri(jiies de tous les degrés, qui, étant multipliées ensemble, /froduise/it toujours des Jonctions semblables.
l'addition pour les Cliapiiros Xt cl XII.)
87. Je crois avoir eu, en même temps qu'Euler, l'idée de faire servir les facteurs irrationnels et même imai;inaires des formules du second degré à trouver les conditions qui rendent ces formules égales à des carrésou à des puissances quelconques; j'ai lu sur ce sujet à l'Académie, on 1768, un Mémoire qui n'a pas été imprimé, mais dont j'ai donné un précis à la fin de mes Recherches sur les Prohlénies indé/ermincs, (jui se trouvent dans le volume pour l'année 1767 (*), lequel a paru en 1769, avant même la traduction allemande de V Algèbre d'Euler.
J'ai fait voir, dans l'endroit que je viens de citer, comment on peut étendre la même méthode à des formules de degrés plus élevés que le second; et j'ai par ce moyen donné la solution de quelques équations dont il aurait peut-être été fort dillicile de venir à bout par d'autres voies. Je vais maintenant généraliser encore davantage cette méthode,
(*) OEtivrcs (le iMgrangr, t. II, p. 877 et fiW.
ANALYSE INDETERMINEE. ICI
qui ino parait mériler particulièrement l'attention des géomètres par sa nouveauté et par sa singularité.
88. Soient a et /3 les deux racines de l'équation du second degré s- — as -+- b =o, et considérons le produit de ces deux facteurs
{x -+- xf] [x -h j3j), qui sera nécessairement réel; ce produit sera
x'' -+- i' a -f- [3 ) xy -+- a|3>-' ;
or on a y. -^ ^-j z=a, et c/.^ = b, par la nature de l'équation 5- — ai- + 6 = 0; donc on aura cette formule du second degré
x'' -+- axy -h by",
laquelle est composée des deux facteurs
X + a r et X -\- [3 r.
Maintenant il est visible que, si l'on a une formule semblable
x] -h (ix,)';-\- by%
et qu'on veuille les multiplier l'une par l'autre, il sulliia de mulliplicr ensemble les deux facteurs a; -t- ay, a:,-i-c.y,, et les deux .r -h fiy, X, -+-|3V|, ensuite les deux produits l'un par l'autre. Oi' le produit de X + ay par x, -+- ocy, est
XX, -+- y. [xy, + yx, ) + o^^yy, ;
niais, puis(jue a est une des racines de l'éijuation
s'- — rti -f- 6 = o,
on aura
a} — «« + 6 = 0; donc x^^^ax—h:
IG6 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEHKE D'EULEH.
(loue, siibstiluaiU cette vnleur de a? dans la formule précédente, elle
tlcvieiidra
XX, — bry, -4- a xy; -i- yx, •+■ (tyj'i ,
de sorte qu'en faisant, pour plus de simplicité,
X ^ XX, — l>yy,,
Y =r xjf-, -t- }x, -+- fi)y\,
le pioduit des deux facteurs x -t- ay, œ, -t- ay, sera
X + aY,
et |)ar conscijuent de la n)éme forme que chacun d'eux. On trouvera de même que le produit des deux autres facteurs a- •+- |3j et x, -+- |5r,
sera
de sorte que le produit total sei'a
(X -4-aY) (X4-(5Y'i, savoir X-'+«XY + ^Y^
(Test le produit des deux formules semblables
x--(- ax f -(- by', xl-{- ax,y, -h by].
Si l'on voulait avoir le |irodiiit de ces trois formules semblables
x^ + ax y -f- bj^, x\-h ax,yi -4- by], xl + ax,yi -t- byl,
il ti'v aurait qu'à trouver celui de la iormule
X'+aXY-)-/A'=
|)ar la dernière ar^ -+- ax.,Y2 + byz, et il est visible par les formules cidessus qu'en faisant
\. = \x,- bYy„
\,=:Xy, + \x, + aYy,,
ANALYSE INDÉTERMINÉE. Ki-
lo produit (.'lierché serait
X;+aX,Y,+ 6Yî.
On pourra trouver de même le produit de quatre ou d'un plus graml nombre de formules semblaldes à celle-ci
x'^ + axy + /;)■%
et ces produits seront toujours aussi de la même forme.
