Si l'on fait x^^x et r, =j', on aura

et par conséquent

(x' + axy + /'.)•' ,' = X' + a \Y H- A Y-'.

Donc, si l'on veut trouver des valeurs rationnelles de X et Y, telles

([ue la formule

X'-t-flXY + 6Y'

devienne un carré, il n'y aura qu'à donner à X et à Y les valeurs précédentes, et l'on aura pour la racine du carré la formule

x^ + axy -t- i >%

X et y étant deux indéterminées.

Si l'on fait de plus x. — ir, = x, et j» —y, =y, on aura

X, = Xa:-6Yj, Y, = Xj-f-Yx-4-rtY;-,

c'esl-à-dii'e, en substituant les valeurs précédentes de X et Y,

X, = x' — 3bxy^ — (tby\

\',=: 3x^y ^ 3axy--h {a'—b)y';

donc

[x'-¥- axy •+- by- ,'=z \] ^ aX,Y, -i- bY].

I(i8 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER.

Ainsi, si l'on proposait do trouver des valeurs rationnelles de X, et Y,, telles que la formule

X; -!-rtX,Y,-i-AY;

devint un eube, il n'y aurait qu'à donner à X, et Y', les valeurs préeédentes, moyennant quoi on aurait un cube dont la racine sérail

x- -h axy -i- hy^,

.r et r étant deux indéterminées.

On pourrait résoudre d'une manière semblable les questions où il s'agirait de produire des puissances quatrièmes, cinquièmes,...; mais on peut aussi trouver immédiatement des formules générales pour une puissance (pielconque m, sans passer par les puissances inférieures.

Soil donc proposé de trouver des valeurs rationnelles de X et Y, telles

(|ue la formule

X=+flXY-(- b\'

devienne une puissance m, c'est-à-dire (|u'il s'agisse de résoudre l'équation

X'H-/(XY-i- iY'=Z'".

Con)me la (|uantité X--+- nXY -i- Z»Y- est formée du produit des deux facteurs X -h aY et X -f- ,3 Y', il faudra, pour que cette quantité devienne une puissance de degré m, que chacun de ses deu.\ facteurs devienne aussi une semblable puissance.

Faisons donc d'abord