ED, -DE, I
Cette propriété est liès-reniarqualile et donne lieu à plusieurs conséquences importantes.
D'ahord on voit que les fractions v-j tt- tv--- • ■ • doivent être déjà ré- ' A, B, L, ■■
duites à leurs moindres termes; car si, par exemple, C et C, avaient un commun diviseur autre que l'unité, le nombre entier CB, — BC, serait aussi divisible par ce même diviseur, ce qui ne se peut h cause de CB, -BC, == -I.
Ensuite, si l'on met les équations précédentes sous cette l'orme
"bTc;'
Cl),'
~ jj,e;'
il est aisé de voir que les diirérences entre les fractions voisines de la
série -r-' tt' rr'- vont continuellcmenl en diminuant, de sorte que
cette série est nécessairement convergente.
Or je dis que la différence entre deux fractions consécutives est aussi petite qu'il est possible; en sorte qu'entre ces mêmes fractions il ne saurait tomber aucune autre fraction quelconque, à moins qu'elle n'ait un dénominateur plus ifiand (|ue ceux de ces fractions-Iii.
C D Car prenons, par exemple, les deux fractions 7^ t-l fr- dont la difîé-
rence est r.-.T-' et supposons, s'il est possible, qu'il existe une autre fraction — ^ dont la valeur tombe entre celles de ces deux fractions, et dans
laquelle le dénominateur n soit moindre que C, ou que D,; donc,
puisque — doit se trouver entre 7^ et t-? il faudra que la diflerence ' ' « Cl D, '
m ^ C . , mC, — wC nC — mC, . , \ i.«.,
entre — et -j^i qui est ,, — ou - ,, 1 soil < -rrr^i diiierence
n Cl ^ hCi «c, ~ C|Di
D C entre ^r- et t^; uiais il est clair que celle-là ne saurait être moindre que
—7^: donc, si n <" D,, elle sera nécessairement " -ir-rr'-, de même, la dif- «C, " ' C|D|
terence entre — et jr-^ ne pouvant être plus petite que— jt-i sera nécessairement > r.-fT' si «<C,, au lieu qu'elle devrait en être plus petite.
13. Voyons présentement de combien chaque fraction de la série
-7-> TT'"' approchera de la valeur de la quantité a. Pour cela on remar- Ai l>i '
quera que les formules trouvées dans le n" 10 donnent
Ai + i
Aie
Bt-i-
Crf-i-
C,rf +
Bi
De-i-
DiC-r-Ci
et ainsi do suite.
Donc, si l'on veut savoir de combien la l'raction -^■, par exemple, ap-
proche de la quantité, on (dierchera la dilférence entre ^ et a; en pre-
•2(5 AOnmONS All\ ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'ELLEH.
liant i)oui' a la (luanlile jr— i — „-' on aura
C Cf/-i-B C BC, — CB,
à cause de BC, — CB, =i (u° 12); or, eomme on suppose que 5 soit la valeur approchée de d, en sorte que la dilTérence entre d el & soit <r I (d° 3), il est clair que la valeur de d sera renfermée entre les deux nombres ô et ^ rh i (le signe supérieur étant pour le cas où la valeur approchée § est moindre que la véritahlc (/. cl le signe inférieur pour le cas où S>û?j, et que, par conséquent, la valeur de C,d^B, sera aussi renfermée entre ces deux-ci, C, ô+B, et C, (5 ± i) -i- B,, c'est-
à-dire, entre D, et D, ±C,; donc la différence a - ^ sera renfermée entre ces deux limites .-^-fr» p-rf^ — w^' '^'^^^ ''*^" pourra juger de la
Cil 1.^1 dl ^ Wi — 1— Lil )
quantité de l'approximation de la fraction p--
