VII

170 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS DALGKBIIE D'EULE».

donc, mullipliaul cos doux é(ju:ilions l'iino par l'autre, on aura \'+ rtXV -I- b\'— [x'-h axy+ /'j')",

et par consocjuont

Z = a ' 4- axf + bf-.

Ainsi le Problème est résolu.

Si a était = o, les formules précédentes deviendraient beaucoup plus simples; car on aurait

A,= i, A:=o, Aj = — 6, A, = Q, \!,= b\ Ao=o, A, = — A', .... et de même

R,= <., Ii,— b, B3=.., B. = -/»', B,= o, B,= 6», ...; donx'

w(/n — i)(/n — a) , ,, m{m — \]{m — i]{m — 3][in — ^] . ,.,

^ = mx"-' Y-\ -i x-"-'}'b H '-^ 5—.-. X"- 'f h'-

et ces valeurs satisferont à l'équation

\ ■' -h h Y' = x" -f • hy '' ]".

90. Passons maintenant aux formules de trois dimensions; pour cela nous désignerons par a, ,'î, 7 les trois racines de l'équation du troisième degré,

5' — as^ + hs — f: = o, et nous considérerons ensuite le produit de ces trois facteuis

(jT + aj -+- a.'z) [x -h ^y-h (3'z) [x •+ •// -f- y^z),

l(M|U('l sera nécessairement rationnel, comme on va le voir. La multiplication faite, on aura le produit suivant :

x'-h ^a-i- (3-1- y]x'x-h (a'-f-(3' -+-y^)x'z + (a^ -l- «y + Pylarj'

-h («'j3-l-«'y-t- P'a+ (3'y 4- y' « -f- y' (3 ) a:j3 -t- («'P'-l- a'y'H- (3'y') xz- -(-a;ây;'-t- i>'Py + (3' «y -+-y'«;3)j'a4- («'[ï'y -+- a'y',5 + [3'y'st)72'-Ha'|3=7'z^;

or, pai' la nature de l'équation, on a

st -I- P + y = a, «5 -f- ay -f- p-/ =-- b, apy = c ;

lit' plus, on trouvera

y.''+p-i- y- = ' a 4- p + y)' — 2 [«^ -I- ccy + Py' = a' — a 6,

3:= p + a- y + p= 3£ -1- [3=y + y' a -)-y= [3 = [a -f- p H- y ) (ap -t- ay + (3y ) — 3 a^y = «t — 3 c-,

3t'P'-l- a-'y=+ P'y^= a:3 -f- ay + Py)' — 2 {a -i- p -f- y' aPy = i- — 2ac,

z'Py + p-3:y + y'ap =^ ' a: + 3 + y) x°>y := at-,

a'p'y -4- 5c'y=3 + p'y'a = fa3 + ay -t^ Pyl «Py = bv;

donc, faisant ces substitutions, le produit dont il s'agit sera

x^ + ax-y -(- [a- — 26' x-s -;- 6x^- -t- ab — Zc xyz + [b- — 9. ac xz^ H- cj-'-t- ac)-z + ic> r- + c'z'.

Kt cette formule aura la propriété que, si l'on multiplie ensemble autant de semblables formules que l'on voudra, le produit sera toujours aussi une formule semblable.

En effet, supposons qu'on demande le produit de cette formule-là par cette autre-ci

:r; H- ax]y, -f- (a' — 2.b] x] z, 4- bx^y] -r- [ab — 3c-': x,y\Zi -+- (6' — lac] X, z] -^ cy] -+- fic)] z, -f- bcy,z\ -\- c' z];

il est claii- qu'il n'y aura qu'à chercher celui de ces six fncteuis

X -~ y.y+ orz, X -h- Pj" + P'2, X -f- yy -+- y'z, x,+ aj ,-+- z-z,, x,-i- 3y,+ ^-Zt, x,-{- yy,-h y-z,;

(|u'on multiplie d'abord x + </.y -+- v.-z par.r, h- «y, -f- «'-;,, on aura ce produit partiel

XX, -h X 'zy,-hyx,\ -+- x'.xz,^ zx, + yy,] + 3£'(>t,-+- zy,] + x'zzr,

or, a étant une des racines de l'équation

s' — as- ■+■ hs — c = o,

on aura

x' — ax^+l>x — c = o, par conséquent a.^= aa-— bx + c;

donc

y.'=zii x' — i a' -4- ca = [fl' — b]oir — [ab — c) x -h ac ;

(le sorte qu'en substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,

X=^xx,-t c(j2, -(- Z)\) -+- aczz,,

\=zxf, ->r yx, — b (jS| -h zy,) — [ab — c) zz„

Z =xz, -i- zx, + } j, + a[)-z,-hzy\) + (a'— b]zz,,

le produit dont il s'agit deviendra de cette forme

c'esl-ii-dire de la niênic forme (jue cliacun des produisants. Or, comme la racine v. n'entre point dans les valeurs de X, Y, Z, il est clair (jue ces quantités scrontles mêmes en changeant a en /3 ou en y; donc, puisque l'on a <léjà

(x-h xy-\- a}z] (x, + aj, + a'z,l =X -f- aY -4- a''Z,

on aura aussi, en changeant « en /3,

[x -h ^j4- (3'z) (^,-(-P/, -+- (3=2,) = X + PV + p'Z,

et, en changeant a en 7,

(x-t-y/+ fz] (^, + }'J-, + y'Zi) =X 4- y Y + y'Z;

donc, multipliant ces trois équations ensemble, on aura d'un coté le produit des deux formules proposées, et de l'autre la formule

X'-*- aX'Y -H («=-26) X'Z + 6XY'+ [ab—lc] XYZ -f- (6»— lac) XZ'+ cY'-(- «cY'Z -+- icYZ'+ c'Z»,

(jui sera donc égale au pioduit demandé, et qui est, comme l'on voit, de la même forme (jue chacune des deux formules dont elle est eom|)Osée.

Si l'on avait une troisième formiilc telU; que celle-ci

xl + axlyi+ («' — 26) xlz,+ l^^^y] + [ah — 3c) a:;j,2j ■+- (b^— lac] x^zl + cy\ + acyl 3,4- bcy.z] ■+- c'^zl,

et qu'on voulût avoir le produit ào- cette formule et des deux pr(;cédentes, il est clair qu'il n'y aurait qu'à faire

X,= X:i-2 + 6-(Y3j-)-Zj.) -i-rtcZz,,

Y,= Xj.+ Yx,- b (Yz;+ Z/..) — [ab — c) Zz„

Z, = Xz2+Za:,-i- Yj-.+ a(Yz,-{-Zv,) + [a-- b\Zz,,

et l'on aurait pour le produit cherché

Xî -4- flX; Y, + [a^- ib) X;Z, + Z>X, Y^ + [ab - Se) X,Y,Z,

-+-(i>'— 2rt<7)X,Z^ + c'Y5 4-«cY^Z, + ifY,Z; + 6'=Z;.