Faisons maintenant a;, = x,yt=y, s, = -; nous aurons

X= j;'+ 2CJZ + rtcz%

Y= 2^j— 2/» 72 — [ab —c]z',

Z = 2j:z -h j' + 2ajs + (a'— b)z'',

et ces valeurs satisferont à l'équation

X»-+- rtX^Y -h 6XY= + 6'Y'-t- («'- 26) X'Z

4- (aZ» - 3c') XYZ + rtcY'Z + (6= - 2ac) XZ= + />c YZ' + c'Z'= V%

en prenant

V = ^'-)- a^'/-+ 6j;/'-+- ej'-f- (n' — i.b)x''z

-+- [ab — 3c) xfz + acy'z -+- [b'— 2ac)xz'+ bcyz' -+- Cz';

donc, si l'on avait, par exemple, à résoudi-e une écpiation do celle

forme,

X^ + aX'Y -I- b \Y' 4- cY'= V%

a, b, c étant des quantités (luelconqnes données, il n'y aurait (lu'ii

17'. VDDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALC.ÉBRE DEULEU.

ii'iidir Z = (), l'ii faisant

■îxz -+- j' + 2ayz -+■ {«' — b]z-=^o,

(l'on l'un lire

r' + 2 ayz ■+■ {à' — b) z'

l'I, siil»stiluaiit celle valeur de x dans les expressions précédenles de X, Y et Y, on aura des valeurs très-généi:ales de ces (luaiitilés, (jui satisferont l'équation proposée.

Cette solution mérite d'être bien reuiartiuée à cause de sa généralité et de la manière dont nous y sommes parvenus, qui est peut-être l'uni(|ue (|ui puisse y conduire facilement.

On aurait de même lu résolution de l'équation

X^-4-r(X;Y,-h /(=-2i;X^Z,-i-tX,Yî + ,ih -3c] X,Y,Z,

-+- h-— lac] X,Z; -t-cY" + ac\]'/., 4- bvYt'/.] + C'I] — Y%

en faisant, dans les formules ci-dessus,

et prenant

V =:ar'-4- ax''y-¥- [à'— ib) x'' z ■+- bxy -f- [ab — Se) xyz -t- (6' — lac) xz--\- cy^-\- acy''z -h bc yz- -\- c' z' .

\'.\ l'on pourrait résoudre aussi successivement les cas où, au lieu de la Iroisièuie puissance Y\ on aurait V*, V',... ; mais nous allons traiter ces questions d'une manière tout à fait générale, comme nous l'avons fait dans le n" 90 ci-dessus.

02. Soit donc proposé de résoudre une équation de cette forme

X' -f- aX' Y -^ ( a» - 2 6) X'Z -+- fr XY' -(- (a6 - 3c) XYZ

H- (6=— 2ac)XZ'-+-c'Y'+«fY'Z + ftcYZ'-l- c'Z'~\"'.

I'uis(|ue la quantité qui forme le premier membre de celle é(iualion n'est autre chose que le |)ro(luit de ces trois facteurs

ANALYSE INDETERMINEE. 175

il est cl;iir (|uo, pour rendre celte quantité égale à une puissance du degré «i, il ne faudra (|U(' rendre chaeun de ses facteurs en parlicnlier ég;il il une pareille puissance. Soit donc

X + aY -I- x-Z = [x -i- xf + y}zr\

on commencera par développer la puissance /w de a; + ay -h vr z p;ir le Ihéorème de Newton, ce qui donnera

m I /)? — 1 1 X"' -\- m x"-' \y + xZj x-\ — jr"~' [y -i- xz 'x'

ou bien, en formant les difi'érentes puissances de j' + as, et ordoninml ensuite par rapport aux dimensions de a,

mx"'~'z H .r"'-=)-= a-

[mini — il (m— 2' 1

m m— Il x"- ''yz -\ ., x'"-')-' \x' + .. ..

Mais, comme dans cette formule on ne voit pas aisément l;i Idi des termes, nous supposerons, en général.

\x + xy -

■1- x-zr= p -4- P,a+ \\x' + V,x='-^

et l'on trouvera

^ m — 2 >•?,+ fsni — I ;P,

(m— 3) rP3+ (?'« — aiaPj

c'est ce (jui se démontre facilement par le Calcul dillérentiel.

ITC. AlUtmONS Al\ ÉLÉMENTS D'A I.C KIUIK D'EULEU.

.M;\iiitcnanl ou aiirn, à cause (lue u fsl une des racines de ré(iiiarmii

s^ — as- -h is — (• — o, on aura, dis-je.

x' — au' -+- l>x — c --- o, d'où a'=: ay? — ha. -\- v\

dune

a" = aa' — hoC- -\- cy.^' («' — h) ce — [ait — c] x -\- ac,

a' ==: (rt' — l>'; a' — ab — c\ «' -i-acx

= [n'— 2rt/» -H c] a- — :/('/' — li^ — ac x -(- ;«'— /' c,

et aiMM de snile.

De sorlc (pie. si l'on lait, pour plus de simplicité,

A,-ro,

Av— I,

\,— a\,- />A:H eA,,

A.-- rtA, — ftAj-f-cAï,

A,:^rtA.-iA.-!-cA,„

lî, /',

]{, al\, hW.-'cli,

li -'aïi,-hli,+ cB„

15, «I! - /(H. + tlJ,

C— rtC,-/;C,-(-f;C,, C,= «C,— AC, + 6-C.,

a =A,a'— B.a-f-C, a'=A,a'— B,2-(-Cî,

a' = \iX- — B, a -(- Ci,

Substituant donc ces valeurs dans l'expression de

elle se trouvera composée de trois parties, l'une toute rationnelle, l'autre toute multipliée par a, et la troisième toute multipliée par «=; ainsi il n'y aura qu'à comparer la première à X, la deuxième à «Y, et la troisième h c/rZ, et l'on aura par ce moyen

X = P + P,C, 4-P,G-i-P,C, + P.C;+..., Y^-P.B.-P.B.-P^Ba-P^B.-..., Z =P,A,+ P,A.-t-P3A3+P<A, -H...

Ces valeurs satisferont donc à l'équation

X + a Y -+- a-Z = (a'-1- txy-h a';)";

et, comme la racine a n'entre point en particulier dans les expressions de X, Y et Z, il est clair qu'on pourra changer a en |3, ou en 7, de sorte qu'on aura également

X + (5 Y + ,5^Z = x + ^y -h (S'a)", X -h y Y + y'Z = i^ -t- yy -+- y'z)".

Or, multipliant ensemble ces trois é<|uations, il est visible que le

premier membre sera le même que celui de l'équation proposée, et que

le second sera égal à une puissance m, dont la racine étant nommée Y,

on aura

y = x'-hax'x-h (a'— 2b)x^z-h bx^^-i- [ab— 'ic)xyz

■+■ [b'— 2at:] xz'-h cy' ■+■ acy^z + bcyz^-h c^z^. VII. 23

ITS AliimiONS AUX KI.KMKNTS 1)' \ I.G K 1! IIK I)' KU LKIt.

Ainsi ini aura li's valeurs (loiiiaiiilccs dr \, V, Z l'I \ , Icsciiifllcs rciircniUM'oiil Unis iiiilcti-rminées a-, V, z.

'.>:\. Si l'on voulait trouver îles lornuiics ilc «lualic diuicnsious (|ui eus- M'Ul les inèuics propriété iiuo celles (jiie nous venons d'examiner, il laudrail eonsidérer le |)roduit de (|natre faeleui's de cette foi'nie,

.r -I- xy -h x' z -i- x' l, .r -4- ^x+'^'z -h^^'t, X -H -jy -4- y' ; -+- y'/, X -\- oy" + o' z -(- f? t,

en supposant (|ne a. ^^j, 7, 0 fussent les racines d'une é(iuation du (|ua- IritMne dejii'é, telle (]ue celle-ci

i' — f«' + bs- — es -)-(/;= o;

on auia aiii^i

xi -+- xy -f- xo -+- |3y -t- jjo + yo = l>,

xiiy -+- a3â + xyo -+- ,jyô ~ c,

xZyo - : <I.

moyennant (jnoi on i)ourra déterminer tous les eoenicionts des didélents termes du produit dont il s'aiiit, sans connaître les racines a, j3, '/, 0 en partieulii'i-; mais, comme il l'andia l'aire poni' cela dilleienles léduclioiis (|ui |)euvent ne pas se présenter l'aeilement, on pourra s'y prendre, si on le juj^e plus commoçle, de la manière (jue voici. Qu'on suppose, en f^énéral,

X ■+■ sy + s' z -i- s' t -^ p,

cl, comme .V est déterminé par rccjuaiion

s' — as' -+- hs' — es -(-</=: o,

ipi'on (liasse s de ces deux é(|uatioiis par les rèj^les connues, cl ['('(pia-

ANALYSE INDÉTERMINÉE. iVJ

lion résullante de l'évimouisscment de s, étant ordonnée par rapport à l'inconnue p, montera au quatrième degré, de sorte ((u'ellc pourra se mettre sous cette forme

p'-Np'-i- Pp=-Qp-t- R=o.

Or cette équation en o ne monte au quatrième degré que parce que s peut avoir les quatre valeurs «, /3, y, §, et qu'ainsi p peut avoir aussi ces quatre valeurs correspondantes