LEÇON PREMIERE

srn l'arithmétique, ou l'on traite des fractions et des logarithmes.

L'Arithmétique a deux parties : l'une est fondée sur le système déeimal et sur la manière de placer les chiffres, pour leur faire exprimer les différents nombres; cette partie est celle qui contient les quatre opérations ordinaires, l'addition, la soustraction, la multiplication el la division. Ces opérations, comme vous l'avez vu, seraient différentes, si l'on avait adopté un autre système; cependant il ne serait pas dilRcile de les traduire les unes dans les autres, si l'on voulait changer de système.

L'autre partie est indépendante du système de numération; elle esl fondée sur la considération des quantités et sur les propriétés générales des nombres. La théorie des fractions, celle des puissances et des racines, la théorie des proportions, celle des progressions arithmétiques et géométriques, et enfin la théorie des logarithmes, appartiennent à cette partie. Je vais faire ici quelques observations sur les différentes branches de cette partie de l'Arithmétique.

f * I Les Leçons ont paru d'abord dans les tleux éditions des Séances des Écoles normalei, an 111 (1791-1795). Dix-sept ans plus tard, sur l'avis de Lngrange, on a réimprimé ces Leçons dans le Juurnid de l'Ecole Pofytcchnitjuc (1812). « Noie de rEditciir. »

IS'. Li:r.(tNS KLKMK NTM1U:S

On [iciit lii K'i^anln' coinmc r.\iilliiU(''H(iiie univcrsfllc, (|ui liciil de (ii't's il l'Al^'èbre; car si, au lieu de fixer les (juaiililés (jut' l'on consi- (li'if, au lieu de les délerminei' eu noniiu'cs, ou veul les considérer d'uue luauicrc géuéralc, en les désiji;nant par des Ictlies, on a l'Aigèltre. Vous ave/ déjii VU Ce <[ue c'est (|u'une IVacliou; l'idée des Iradious est un peu plus composée que celle des nombres entiers; dans les nombres enlieis, on ne considèi'e ([u'une (inantilé répétée : pour avoir l'idée d'une IVacliou, il faut considérer la (|uantilé même, divisée en un certain nombre de parties; les fractions représentent en i;éuéral des rapports, <•! servent ii cxprlnirr les dillércnlcs (pianlités les unes par les autres; en liénéral, tout ce qui se mesure ne peut être mesuré ([ue par dos fraclions, il moins que la mesure ne soit contenue un nombre entier de fois dans la cliose mesurée.

Vous avez vu comment une fi'aclion peut être réduite ii sa moindre expression.

l.ors(|iie le unnH'rateui' et le dénominateur peuveul être divisés par un même nombre, on peut trouvei' ce plus i;rand commun diviseur par une méthode très-ingénieuse, cl (|ui imiis vient d'Iùudide : celte méthode est très-simple et très-analyli(nie, mais on peut la rendre encore |tlus sensible |>ar la considération suivante. Suppose/, [)ar exemple, (|Ue vous ayez mu- longueur donnée, et (|ue vous vouliez la mesurer; vous avez donc une mesure donnée, et vous voulez savoir combien de mesures son! c(U)tenues dans cette longueur; d'aboi'd vous portez la nu-sure autant de fois (|iie vous le pouvez sur la longueur donnée, et eela vous donne nu nombre entier de mesures; s'il n'v a |)as de rest(\ l'opération est leiiniuée; mais s'il y a un resie, il faut encoïc évaluer le reste; si la nujsiM'e esl divisi'c en parties égales, par exeinple en dix on • louze, etc., il esl naluicl de |)oiler ce reste sur les dillerentes parties, et de voir condiieu il y a de ces parties qui sont con)prises dans le reste; alors vou.> avez, pour évaluer le reste, uiu; fraction dont le numérateur e.-l 11- nombre des parties contenues dans re icsle, et le dénominat(!Ur est le nombre total (b-s parties dans lesijucdb's la niesinw! est divisée. Je suppose mainlenani que soire mesure ne soit jtas divisée, et qiu' vous

SUR LES MATHÉMATIQUES. 18o

vouliez néanmoins savoir (iiii'l ost le rapport de la longueur proposée à la longueur que vous avez prise pour mesure; voici l'opération qui se présente le plus naturellement. Si vous avez un reste, comme il est moindre que la mesure, il est naturel que vous cherchiez combien de fois il y sera compris. Supposons deux fois, et qu'il y ait encore un reste; reportez ce reste au reste précédent : comme il est nécessairement plus petit, il s'y trouvera encore contenu un certain nombre de fois, comme trois fois, et il y aura un reste ou non, et ainsi de suite. Ayant tous ces différents restes, vous avez ce qu'on appelle une fraction continue; par exemple, vous avez trouvé que la mesure était contenue trois fois dans la longueur proposée; vous avez d'abord le nombre trois; ensuite vous avez trouvé que le premier reste est contenu deux fois dans la mesure, vous aurez la fraction un divisé par deux; mais ce dénominateur n'est pas complet, parce qu'il faudrait qu'il n'y eût pas de reste; s'il y en a un, cela donne encore une autre fraction semblable à ajouter à ce dénominateur, laquelle sera un divisé par trois, parce que nous avons supposé que ce reste était contenu trois fois dans le reste précédent, et ainsi de suite. Vous aurez ainsi la fraction

(le signe +, usité dans l'Algèbre, signifie^/;/.*, et indique une addition à faire) pour exprimer le rapport entre la longueur et celle que vous avez prise pour mesure. Les fractions de cette forme s'appellent fractions continues, et peuvent être réduites en fractions ordinaires parles règles que vous connaissez. En effet, si l'on s'arrête d'abord à la première fraction, ce qui revient à ne tenir compte que du premier reste et à négliger le suivant, on a 3 + ^ qui se réduit à |. Pour avoir égard au premier et au second reste seulement, on s'arrêtera à la seconde frac-

tion, et l'on aura 3 h ' — : or 2 + ^ = 1; donc on aura 3 -+- ->

Vil. H

LKC.ONS i:i.KMl.M\lKi:S

savoir 4', ol r.insi ilc siillc Si dans INiiirraliini (Ui parviciil à mi rcslc (|ni iiicsuro oxaclciiicnl If rcslo prércdcnl, clli' ol UTiniiicc; cl l'on aura, par K' iiiovcii de la l'ratiion coiiliiiuc. inic liaiiion ordiiiairr (|ui sera la valeur cxacle do la loiii;iioiir iiK'siirc'c, oxprinico jiar (•cllf (|ui a servi de inosiii-c. Si l'opéralioii ne se Iciiniiio pas ainsi, (dio poinia aller il rinlini, el l'on n'aura (iiie des Iraelions (jui approidieroiil de plus en plus de la vraie valeur.

Si niainleiiant on rapproelio ce prorédé de e(dui ipi'on suit lors(|n'on eher( lie le plus grand ciiniinuii diviseur de deux noud)res, on veira (pie e'e^l la un'MUe ehose; mais, dans la re( lierelic du |)lus i;ran(l eoinniun diviseur, on ne l'ail altenlion (pi'aux dili'erenls restes, d(Hil le dernier est ee nuMue diviseur; au lieu ipi'en cnipUiyant les (luolienls successifs, eouiine nous lavons l'ait plus liant, on olitient des fractions cpii ap|iro(dient ton'puirs de plus en plus de la fraction forun^'c pai' les deux inuulirc> donnes, et dont la (lernii;i-e est cette nicnie fraction déjii réduite il ses inoindies lernics,

C.oniine cette tlieoiic des fractions c(Uitinues est peu eoniuie, el ipi'elle est neaunioins d'une lii'ande utilité pour résoudre des (luostions nuinéri(|ues iiiiporlantcs, je vais in'élendrc eiu'ore un peu sur la formation el les propriétés de ces fractions, l'^l d'ahord supposons cpu' les (|Uotients tr'ouvcs, soit par l'opération mécani(|ue, soit par ci Ile du plus j^rand commun diviseur, soient comme ci-dessus 3, -.'., '>, :>, 7, >; voici comment on peut, sans [lasser par la fraction continue, trouver l(jul de suite les diirereiites fractions (|ui en résultent.

1,0 premier quotient, élaiit supposé divisé par l'unité, donnera la premii;re fraction, (\u\ sern li'op pi'tite, savoir ,'. lùisuite, niulliplianl, le numérateur el le dcnuiniiialeni' de cette fraction |iar le sei'ond (piolienl et ajoutant l'unili' au numérateur, on aura la s(,'conde fi'aclion, ([ui sera lro|) grande, et ipii sera l. .Multipliant (h; mémo le numéralcair (!l le denoininaleur de celle-ci pai' le troisii'nn; (pioticnl, cl ajoutant ensuite an nnim'-ralenr celui de la fraction précédente, cl au dénomina- Icur celui de la fraction précédente, on aura la li'oisicme fiaction, (|ui sera liop |ielite; ain>i, le troisii'iiie (piolient étant '>, on dii'a 7 par 3

SUR LES MATHÉMATIQUES. i87

(lomio 21, el 3 font 24, et de même, 2 par 3 donne 6, et i font 7; donc 4^ sera la fraction cliercliéo. On suivra le même procédé, et, puisque le ([uatrième quotient est 5, on dira 24 P»'" 5 fait 120, et 7, numérateur de la fraction précédente |, font 127; de même, 7 par 5 fait 35, et 2 font 37; donc la nouvelle fraction sera -—, et ainsi de suite.

De cette manière, en employant les six quotients 3, 2, 3, 5, 7, 3, on aura les six fractions

dont la dernière, en supposant l'opération terminée par le sixième quotient 3, sera la valeur cherchée de la longueur mesurée, ou bien sera la fraction même réduite à ses moindres termes.

Les fractions qui précèdent sont alternativement plus petites et plus grandes que cette valeur, et ont l'avantage d'en approcher de plus en plus, et de manière qu'aucune autre fraction ne pourrait en approcher autant, à moins d'avoir pour dénominateur un nombre plus grand que le produit du dénominateur de la fraction dont il s'agit, et de celui de la suivante. Par exemple, la fraction -^ est plus petite que la vraie valeur qui est celle de la dernière fraction "^.[\^ ; mais elle en approche plus que ne pourrait faire toute autre fraction, dont le dénominateur ne surpasserait pas le produit de 7 par 37, c'est-à-dire le nombre 259; ce qui donne le moyen de réduire une fraction donnée, exprimée par de grands nombres, à des fractions exprimées en moindres nombres, et aussi approchées qu'il est possible.

\/,\ démonstration de ces propriétés se déduit de la nature de la fraction continue, et de ce que, si l'on cherche la différence d'une fraction à sa voisine, on trouve une fraction dont le numérateur est toujours l'unité, et le dénominateur est le produit des deux dénominateurs; ce qui peut aussi se démontrer a /^n'ort par la loi de la formation de ces fractions. Ainsi la différence de | à f est -ô, par exct-s; celle de ^ à | est yt;, par défaut; celle de ^^ à ^ est —-„ par excès, et ainsi de suite: de sorle (|u'en employant cette suite de dillérences. on peut encore ex-

188 LE r. ON S KLi: MENT MUES

priiiicr (l'imc manil'i'o tort siin|ilc lis t'raiiiitns dont il s'ai;il, i)ar une snilc d'autres fractions, dont k's nuniérattnirs soient tous l'unité, et les dénominaleurs soient suceessivenient les produits de deux dénominateurs voisins. Ainsi, si, pour plus de siuiplieilé, on fait usage des signes -H, — . ■;, (|ui signitient /V/«. moi/is. rntdtiplic par, et indi(|uent une addition, ou sousiraetion, ou multiplication à faire, on aura, au lieu des fractions ci-dessus, la série

1 1X2 2X7 7 X 37 37 X ?tjb 266 X H35

Le premier terme est, comme l'on voit, la première fraction, le premier et le second ensemble donneront la seconde fraction l, le premier, le second et le troisii'me donnent la Irdisii'nie IVaction --=^, et ainsi de suite; de sorte que toute la série sera é(|uivalentc à la dernière fraction.

il y a encore une autre manière moins connue, mais à (|uelques ('■gards plus siniple, de liaiter les mêmes (|ueslions, et (|ui conduit directement à une série semblalde à la [)récé(lente. En reprenant rexenipl(> ci-dessus, après avoir trouvé (|ue la mesure entre trois fois ilans l;i longueur mesurée, avec un nouveau reste, ;iu lieu de rapporter ce second reste au précédent, comme on en a usé plus liant, on peut le rapporter de nouveau à la mesure même. Ainsi, supposani (|u'il y entre si'pl fois avec un resie, on rap|)orlera enc(U'e ce l'esle ii la même mesure, et ainsi de suite, jus(]u';i ce qu'on parvienne, s'il esl possible, à un reste qui soit une partie aliciuole de la mesure, ce (|ui lei'minera l'opération; autrement (die pouri;i aller ii l'inlini, si la longueur' mesurée el la mesure sont iin-ommensurahles. On aura alors, |)Our l'expressiiui de la longueur mesurée, la série

Il esl chiir que ce procédé jieut s'a|)|)rKiuer tle ménii! ii une fraction ordinairi-, en retenant toujours le dénominateur de la fraction pour dividende, et prenant successivement les dillérents restes pour divi-

seurs. Ainsi la fraction ^~f donnera les quotients 3, 2, 7, 18, 19, f^G, 1 19, 417. 835; et de là, on aura la suite

et, comme ces fractions partielles décroissent rapidement, on aura, en les réunissant successivement, les fractions simples

qui approcheront toujours de plus en plus de la vraie valeur cherchée, et l'erreur sera moindre que la première des fractions parliclles négligées. Au reste, ce que nous venons de dire sur ces dilTérentes manières d'évaluer les fractions n'empêche pas que l'usage des fractions décimales ne soit presque toujours préférable pour avoir des valeurs aussi exactes que l'on veut; mais il y a des cas où il importe que ces valeurs soient exprimées avec le moins de chiffres qu'il est possible. Par exemple, s'il s'agissait de construire un planétaire, comme les révolutions des planètes sont entre elles dans des rapports exprimés par de très-grands nombres, il faudrait, pour ne pas trop multiplier les dents des roues et des pignons, se contenter de moindres nombres, et en même temps faire en sorte que les rapports de ces nombres approchassent le plus des rapports donnés. Aussi est-ce cette question même qui a donné à Huyghens l'idée de chercher à la résoudre par le moyen des fractions continues, et qui a fait naître la théorie de ces sortes de fractions. Ensuite, en approfondissant cette théorie;, on l'a reconnue propre à fournir la solution d'autres questions importantes : c'est pourquoi, comme elle ne se trouve guère dans les livres élémentaires, j'ai cru devoir en exposer les principes avec un peu de détails.

Passons maintenant à la théorie des puissances, des proportions et des progressions.

Vous avez déjà vu comment un nombre, multiplié par lui-même, donne le carré, et, multiplié encore de même, donne le cube, et ainsi

i;iO LKÇONS KLKM KN I MUES

lie siiiU'. Eli ("léoiiu'lrii'. on lie va pas an delà tlii ciilic, parce (|iraiicun ciirps iif peut avoir plus ilc trois (rum'iisioiis; mais en AI^I'l)ro ol en Arilliniélitinc, on pent allci' aussi loin (|uc l'on vcul; de lii csl iitc la llicoiic (le l'cxtraiiioii des laiiiu's; car, (]inrK|nc loni nombre pnisse ètic élevé an carré, an cnbe, elc, il n'est pas vrai réci[)ro(incment ipiL' ce nombre puisse être nn carre on un cnbe exact. Le noinbic :>., par exemple, n'est pas carré, parce (|ne le car'ré d'nn est un, le carré de deux est (lualre; n'v avant pas d'antres nombres enlii'is intermédiaires, on ne peut pas trouver un nombre (]ni, multiplie par Ini-niéme, produi.se 2; vous ne le ponve/ pas nn-me en fractions; car, prciuuis uiio traction réduite à ses moindres termes, le carré de cette tVacliou sera enc(Me une fraction réduite aux moindres ternn's, et par conséciuenl no pourra être é:<;al au nombre cntiei' a. .Mais, si l'on ne peut pas avoir la racine exacte de deux, on peut l'avoir appro( bé<' autant i|u'on veut, surtout par les fractions décimales. Cela peni alb'r îi l'inlini, et vous pouvez approcher des vraies racines ii tel degré d'exactitude (juc vous voudrez, en suivant les régies |)our extiaire les racines carrées et cubes, etc.; ruais je n'entreiai ici dans aucun détail lii-dessus. La théorie des puissances a produit celle des piogressions; avant d'en parler, il laul dire (|ueb|ne chose sur les proportions.

On a vu (juc tonte fraction exprime un rapp(ul; l(us(in'il y a deux fractions égales, vous avez donc deux rap[>orls égaux; alors les nombres ([ue présentent les fractions ou les ra|iports forment ce qu'on appidle lin>i)i>iii()n. Ainsi l'égalité des rapports de -j. a !\ vA de ^ a (i donne la pro|iorlion ■^ \\ .'\ comme i ;i (i, pai'ce (jne '\ est le (buible de 2, eoniuie () est le double île 1; de la tlieorie des proportions dépendent beaucoup de régies d'Ai itlinii'li(|uc ; elle est d'abord le londenHiil de la fanwiise ri-gle de trois (|ui est d'un usage si géiiéial : vous savez (|ne, (jiiand on a les trois premiers termes, pour avoir le (|ualrieme, il n'y a (lu'ii multiplier les deux derniers l'un |)ar l'anlre, et iliviser le produit par le preiniei . On a imagiin- ensuite dillerenles anires règles particnlii'res qui se Irouvent dans la plupart des livres d'Arithmétique; mais on peut s'en passer quand on coii(;oit bien l'étal de la (jueslion : il y a les ri'^les de

trois directes, inverses, simples, composées; les règles de compagnie, d'alliage, etc. : tout se réduit à la règle de trois; il n'y a qu'à bien considérer l'état de la question, et à placer convenablement les termes de la proportion. Je n'entrerai pas dans ces détails; mais il y a une autre théorie qui est utile dans beaucoup d'occasions, c'est la théorie des |)rogressions; quand vous avez plusieurs nombres qui ont la même proportion entre eux et qui se suivent, en sorte que le second est au premier comme lo troisième est au second, comme le quatrième est au troisième, ainsi de suite, ces nombres sont en progression. Je commencerai par une observation.

On distingue communément, dans tous les livres d'Arithmétique et d'Algèbre, deux sortes de progressions, l'arithmétique et la géométrique, qui répondent aux proportions nommées arilhméliqiie et géomélrique; mais la dénomination de proportion me paraît très-impropre pour ce qu'on appelle /j/o/yor^j'on arithmétique. Comme un des objets de l'École Normale est de rectifier la langue des sciences, on ne regardera pas cette petite digression comme inutile.

Il me semble donc que l'idée de proportion est déjà fixée par l'usage, et ne répond qu'à ce qu'on appelle /)ro/jo/-/fon géométrique. Quand on parle de la proportion des membres de l'homme, des parties d'un bâtiment, etc.; quand on dit qu'un plan qu'on dessine doit être réduit proportionnellement à un plus petit, etc.; quand on dit même, en général, qu'une chose doit être proportionnée à une autre, on n'entend par proportion que l'égalité des rapports, comme dans la proportion géométrique, et nullement l'égalité des différences, comme dans l'arithmétique. Ainsi, au lieu de dire que les nombres 3, 5, 7, 9 sont en proportion arithmétique, parce que la différence de 5 à 3 est la ménu' que celle de 9 à 7, je désirerais (]ue, pour éviter toute ambiguïté, on employât une autie dénomination; on pourrait, par exemple, appeler ces nombres équidifférents, en conservant lo nom de proporlionnc/s aux nombres qui sont en proportion géométrique, comme 3, 4, 0, 8.

D'ailleurs, je ne vois pas pourquoi la proportion appelée arithmctiquc est plus arithmétique que celle que l'on nomme géométrique, ni

110111(11101 cellc-ri est plus géoiH(''lri(|iic (|ii(' raulrc; ;iii coiilniirc, l'idre primilive tic rellt>-(i est l'ondéf sur rAritl)iiiéli(|iic', puisque celle des rapports vient essenliellemeiit de la considération des nombres.

Au reste, en attendant (|u'oii ail clianj;é res déuoiniiiatioiis impropres de \^)l^o\^o\^ùol^^ ant/i/iic(i(/iie ci i(com('(ri(/ui'. je ((mtiniierai ;i m'en servir poui- plus de simplicité et de commodité.

La tlii'orie des proi;ressioiis arillinicti(|ii('s a peu de dillicultés : ce sont des (|iianlités qui augmentent ou diminuent constammenl de la même ipiaiitité; mais celle des progressions géomctiitiues est jjIus diflicile et |)lns importante, parce (pie heancoup de (piestions intéressantes en dépeiidenl : par exemple, tous les problèmes sur l'intérêt composé, et ipii regardent rescomple, et beaucoup d'autres semblables.

En général, (piaiid une (|nantilé augmeiile, cl (pie la force augmenlalive, pour ainsi dire, est proportionnelle ii la (piantilé même, elle produit des quantités en proi)ortion géométrique. On a observé que, dans les pays où la subsistance était très-aiscc, cnmme dans les premiJ-res colonies américaines, la po()ulali()n doublait au boni di; vingt ans; si elle est doul)le au bout de vingt ans, (die sera.(iuadruple au bout de (piaraiite ans, octuple au bout de soixante ans, etc.; ce (pii donne, comnif on voit, une progression géométricjue (pii répond à des espaces de temps en progression aritbmétitpie. Il en est de même de l'intérêt com[)osé : si l'on suppose (prune summc donnée d'argent pi'oduise, au bout d'un certain temps, une certaine somme; au bout d'un temps double, la même somme aura |)ro(luit encore une pareille somme, et de plus, la S(jmme [iroduile dans le |)remier espace de temps aura produit |»ropoilionncllemenl une autre somme pendant le second espace de temps, et ainsi de suite. On app(dle communément la somme primitive \i' prififipal, la somme iiroduile, Vi/i/i'ri''/. et le ra|iport constant du principal à rinléi'ét, pour un an, denier. Ainsi le denier vingt in(li(jU(; (jue l'intérêt est la vingtième partie du principal, ce qu'on nomme aussi "i pour mo, |)uis(pie "> est la vingtième |)aitie de loo. Sur ce pied, le principal sera augnuMité, au bout d'un an, d'un vingtième; par eonsc- (|uenl, il se trouvera augmenté en raison de 21 à -20; au bout de deux

ans, il sera augmenté encore dans la même raison, c'est-à-dire dans la raison de |-i, multiplié par-f^; au bout de trois ans, dans la raison de fxr, muiliplié deux fois par lui-même, et ainsi de suite. Et l'on trouve que de cette manière il aura presque doublé au bout de (juinze ans, et sera décuplé au bout de cinquante-trois ans. Réciproquement donc, puisqu'une somme payée actuellement deviendra double au bout de quinze ans, il est clair qu'une somme qui ne devrait être payée qu'au bout de quinze ans n'aura actuellement qu'une valeur moitié moindre : c'est ce qu'on nomme la valeur présente d'une somme payable au bout d'un certain temps; et il est clair que, pour trouver cette valeur, il n'y aura qu'à diviser la somme promise autant de fois par la fraction f^, ou bien la multiplier autant de fois par la fraction |^ ([u'il y aura d'années à courir. Ainsi l'on trouvera de même qu'une somme payable au bout de cinquante-trois ans ne vaut à présent qu'un dixième; d'où l'on voit combien peu d'avantage il y aurait à se défaire de la propriété absolue d'un fonds, pour n'en conserver la jouissance que pendant cinquante ans, par exemple, puisque l'on ne gagnerait par là que le dixième en jouissance, tandis qu'on aurait perdu la propriété pour l'éternité.

Dans les rentes viagères, la considération de l'intérêt se combine avec la probabilité de la vie; et, comme cbacun croit toujours pouvoir vivre très-longtemps, et que, d'un autre côté, on ne peut pas faire beaucoup de cas d'une propriété qu'on est obligé d'abandonner en mourant, il en résulte un attrait particulier, quand on n'a point d'enfants, pour mettre son bien, en tout ou en partie, à fonds perdu. Néanmoins, ([uand on calcule une rente viagère à la rigueur, elle ne présente pas assez d'avantage pour engager à y sacrifier la propriété du fonds.

Aussi, toutes les fois qu'on a voulu créer des rentes viagères assez attrayantes pour engager les particuliers à s'y intéresser, il a fallu les faire à des conditions onéreuses pour l'établissement.

Mais nous en dirons davantage là-dessus lors(]u'on exposera la théorie des rentes viagères, qui est une branche du Calcul des probabilités.

Je finirai par dire encore un mot sur les logarithmes. L'idée la plus simple qu'on puisse se former de la théorie des logarithmes, tels ([u'ils Vil. 25

i;)V I.F.r.ONS KLliMKNTAlUKS

sont dans nos Tables usuclK's, consislL' h cxpi'uncr loiis les nombres par (les puissanees lie lo, el ainsi les exposants de ees puissanees en son! les logaritlinies. De eetle manière, il csl elair <iue la nuiltiplicalion et la division de deux nombres se rt'diiisenl ii l'addition el à la soustraction des exposants respectifs, c'est-à-dire, de leurs loi>ai'ilhmes; et par consci]uenl l'élévation aux puissanees et l'exlraelion des racines se réduisent il la inulli|)liealion ou à la <livi^ion, ce ([ui est d'un avantai;e immense dans l'ArilInnéticiue, el y rend les logarillimes si précieux.

Mais, il l'épocpie où l'on a inventé les logarithmes, ou ne connaissail pas euctue cette théorie des puissances, on ne pensait pas (|ue la racine il'un nombre pût être regardée comme une puissance t'raclioiinaire. \'oici comment on y est parvenu :

L'idée primitive est celle de deux progressions correspondantes, une arilbméti(|ue, l'autre géométri(iue; c'est ainsi qu'on les a conçues; mais il fallait trouver le moyen d'avoir les logarithmes de tous les nombres, (^omme les nombres suivent la progression arithmétique, pour qu'ils puissent se trouver tous parmi les termes d'une progression géométrique, il est nécessaire d'établir cette progression de manière que les termes successifs soient très-rappr(H liés l'un de l'aiilie; el, pour prouvei- la possibilité d'exprimer ainsi tous les nombres, l'inventeur Neper les a d'abord considérés comme exprimés par des lignes el des parties de lignes, et il a considéré ces lignes comme engendrées par le mouve- NM'nt l'nntinuel d'un point, ce ((iii est très-naturel.

Il a (lijiic considéré deux lignes : la première engendrée par le mouvement d'un point qui décrit en temps égaux des espaces en progression géométri(|ue, et l'autre engendrée par un point qui décrit des espaces (|ui augmentent comme les temps, et (]ui lorno ni par conséi|uent une progression arithmétique, correspondante à la géométrique; et il a siip|)osé, pour plus de simplicité, que les vitesses initiales de ces lieux [loints étaient égales, ce (|ui lui a donné les logarithmes, qu'on a d'abord appelés nalurels, ensuite hyperhoUqups , lorsqu'on a reconnu qu'ils pouvaic'nt être exprimés par l'aire de l'hyperbob' entre les asymptotes. De cetle manière, il est clair que, pour avuir le logarithme d'un

SUR LES MATHÉMATIQUES. l'Jo

nombre quelconque donné, il ne s'agira (|ue de prendre sur la première ligne une partie égale au nombre donné, et de chercher quelle partie de la seconde ligne aura été décrite en même temps que cette partie de la première.

Conformément à cette idée, si l'on prend pour les deux premiers termes de la progression géométrique les nombres très-peu difïérents

1 et 1,0000001, et pour ceux de la progression arithmétique o et 0,0000001, et qu'on cherche successivement, par les règles connues, tous les termes suivants des deux progressions, on trouve que le nombre

2 est, à la huitième décimale près, le 6931472'' de la progression géométrique; de sorte que le logarithme de 2 6810,6931472; le nombre 10 se trouve le 23o2585i'" de la même progression; par conséquent le logarithme de 10 est 2,3o2585i, et ainsi des autres. Mais Neper, n'ayant pour objet que de déterminer les logarithmes des nombres moindres que l'unité, pour l'usage de la Trigonométrie, où les sinus et les cosinus (les angles sont exprimés en fractions du rayon, a considéré la progression géométrique décroissante dont les deux premiers termes seraient I et 0,9999999, et il en a déterminé, par des calculs immenses, les termes suivants. Dans cette hypothèse, le logarithme que nous venons de trouver pour le nombre 2 devient celui du nombre 4 ou o, 5, et celui du nombre 10 se rapporte au nombre y\;^ ou o,i ; ce qui est facile à concevoir par la nature des deux progressions.

Ce travail de Neper parut en i6i4; on en sentit tout de suite l'utilité, et l'on sentit en même temps qu'il serait plus conforme au système décimal de notre Arithmétique, et par conséquent beaucoup plus simple, de faire en sorte que le logarithme de 10 fût l'unité, moyennant quoi celui de 100 serait 2, et ainsi de suite. Pour cela, au lieu de prendre pour les deux premiers termes de la progression géométrique les nombres I et 1 ,0000001 , il aurait fallu prendre les nombres i et 1 ,0000002302 en conservant o et 0,0000001 pour les termes correspondants de la progression arithniélique; d'où l'on voit (jue, tandis ([ue le puiiit. ijui esl supposé engendrer par son mouvement la ligne géométrique ou des nombres, aurait décrit la partie très-petite o,oooooo23o2 l'autre

I >ic. I, K r. 0 N s !•: L K M i: N i A 1 u !■: s

point , (|ui iliiil (Migendrt'r en nirmc teni|ts l;i ligne arillin)éti(Hie, on dos logarillinies, aniait parcouru la parlic o.ooooodi; et ([u'ainsi les espaces ilécrits en même temps par ces deux points au commencement (le leur mouvement, c'est-à-dire leurs vitesses initiales, au lieu d'élre égales, comme dans le système précédent, seraient dans le rapport des nombres 2,3o2,... à i, où l'on remarquera (jue N; nombre 2,3o2... est précisément celui qui, dans le premiersystème des logaritlimesnaturels, exprime le logaritbme de lo; ce (lui peut aussi se démontrer a priori, comme nous le verrons, lorsqu'on apiiliquera à la tbéorie des logalitbmes les formules algébriques. Briggs, conlemiiorain de Ncper, est l'auteur de ce ebangement dans le système des logarillinies, ainsi que des Tables de logarillunes dont on fait usage communément. Il en a calculé une partie, et le reste l'a été par Vlaeq, Hollandais.

Ces Tables parurent à Goude en 1G2S; (dics contiennent les logarillinies de tous les noiribres depuis i jus(|u'à 1 00000, calculés jusciu'à dix décimales, et elles sont uiainlcnant très-raics: maison a reconnu, depuis, que, pour les usages ordinaires, sept décimales sullisaient, et c'est ainsi (|u'ils se trouvent dans les Tables dont on se sert journellement. Hriggset Ylacqemployi'rent diiférents moyens très-ingénieux pour faciliter leur travail. Ct lui qui se présente le plus nalurcdlemcnt et qui est encore un des plus simples, c'est de partir des nombres i, 10, 100,... dont les logarillunes sont o, i. 1,..., et d'intercaler, entre les termes successifs des deux séries, autant de termes correspondants qu'on voudra, dans la première par des moyennes proportionnelles géométriques, et dans la seconde par des moyennes arilbméli(|ues. De cette manière, quand on sera parvenu à un ternie de la première série qui approchera jusqu'à la buitième <lécinialc du nombre donné dont on cberclic le logaritbme, le terme correspondant de l'autre série sera, à la buitième décimale près, le logaritbme de ce nombre : par exem|)le, pour avoir le logarilbmr de 2, comme 2 tombe entre i et 10, on cbercbe d'abord, par l'extraction (b' la racine carrée de 10, le moyen ])roportionnel géométrique entre 1 et 10, ou trouve j,ii'>-?.'-'ji'À'), et le moyen arithmétique i-orres|)ondant entre o et 1 sera v ou bien o,5ooooooo; ainsi l'on est

assuré que ce dernier nombre est le logarithme de l'autre. Puisque 2 est encore entre 1 et le nombre qu'on vient de trouver, on cherchera de même le moyen proportionnel géométrique entre ces deux nombres, on trouve le nombre 1,37823941; ainsi, en prenant de même le moyen arithmétique entre o et o,5ooooooo, on aura le logarithme de ce nombre, lequel sera o,25oooooo. Maintenant, 2 étant entre ce dernier nombre et le précédent, il faudra, pour en approcher toujours, chercher le moyen géométrique entre ces deux-ci, ainsi que le moyen arithmétique entre leurs logarithmes, et ainsi de suite. On trouve ainsi, par un grand nombre de pareilles opérations, que le logarithme de 2 est o,3oio3oo, que celui de 3 est 0,4771213, etc., en ne poussant l'exactitude que jusqu'à la huitième décimale. Mais ce calcul n'est nécessaire que pour les nombres premiers; car, pour ceux qui sont le produit de deux ou de plusieurs, leurs logarithmes se trouvent en faisant simplement la somme des logarithmes de leurs facteurs.

Au reste, comme il n'est plus question de calculer des logarithmes, si ce n'est dans des cas particuliers, on pourrait regarder comme inutile le détail où nous venons d'enlrer; mais on doit être curieux de connaître la marche souvent indirecte et pénible des inventeurs, les différents pas qu'ils ont faits pour parvenir au but, et combien on est redevable à ces véritables bienfaiteurs des hommes. Cette connaissance d'ailleurs n'est pas de pure curiosité : elle peut servir à guider dans des recherches semblables, et elle sert toujours à répandre une plus grande lumière sur les objets dont on s'occupe.

Les logarithmes sont un instrument d'un usage universel dans les sciences et même dans les arts qui dépendent du calcul. En voici, par exemple, une application bien sensil)le.

Ceux qui ne sont pas tout à fait étrangers à la musique savent que l'on exprime les différents sons de l'octave par les nombres qui déterminent les parties d'une même corde tendue, qui rendraient ces mêmes sous; ainsi, le son principal étant exprimé par 1 , son octave le sera par^, la quinte par |, la tierce par|, la quarte par f, la seconde par f, et ainsi des autres. La distance d'un des sons à l'autre s'appelle inteivalle,

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et iloil se iiiosiiror, non par la tli Ile renie, mais par le rapport des nombres (|ni exprinienl les deux sons. Ainsi l'on re|;arile Tinlervalle entre la (|uarle ri la (luinli", appelé Ion majeur, comme sensiblement iloiihle (le ((loi enire la tieree et la quarte, appelé i(V/»'-/o/( majeur. En ell'el, le premier se tronve exprimé par îj, le seeond par^, et le premier ne diil'ère pas heaiieoup ihi earré dn second, ce <.\\\\ est aisé à véritier: or il est clair (|ue cette considération des intervalles, sur la(iuelle est fondée toute la théorie du tempérament, coiuluit naturellement aux \o^arithmes; car, si l'on exprime les valeurs des dillerenls sons par les iojiurithmes des loni;neurs des cordes (|ui y répondent, alors rintervalle d'un son à l'autre sera exprinié par la dill'érence même de valeur de ces sons; et, si l'on voulait diviser l'octave eu douze semi-tons égaux, ce (|ui donnerait le tempérament le plus sim[)le et le plus exact, il n'y aurait qu'à diviser le logarithme de i, valeur de l'octave, en douze parties éiîales.