LEÇON SECONDE

■ I i\ LUS oi'KiiATioNS m; I. AiuTiiMi; iK>r i:

Ln ancien disait (|ue rAiltlimeti<|Mc cl la (léométrie étaient les ades (les Mathèmaliques; je crois, en ellet, qu'on peut dire sans n)étaphore (|ue ces deux sciences sont le fondement et l'essence de toutes les sciences (|ui tiaiteiit des grandeurs. .Mais non-sculeiiu'nt elles en sont h; londenient, <dles en sont, pour ainsi dire, encore le complément; car, Idisiiue l'on a trouvé un résultat, pour pouvoir faire; usage de ce résullat. il est nécessaire de le traduire en Udinhres ou en lignes; pour le traduire en nombres, on a besoin du secours <le rArithméti(|ue; pour le Iraluire en lignes, on a besoin du secours de la Géométrie.

1,'impoitance île rArithméliqne m'engage donc ii vous en entretenir encore aujourd'hui, quoi(|u'on ail déjà commencé l'Algèbre. Je revienilrai sur ces dillerentes parties, et je ferai de nouvelles observations, qui ■>erviront ii c(jnipleter (•(dle^ ([ue je vous ai déjà présentées. J't'mpU)ierai,

d'ailleurs, le calcul géométrique, lorsqu'il sera nécessaire pour donner plus de généralité aux démonstrations et aux méthodes.

D'abord, par rapport à l'addition, il n'y a rien à ajouter à ce qui a déjà été dit. L'addition est une opération si simple, qu'elle se conçoit d'elle-même. Mais, à l'égard de la soustraction, il y a une autre manière de faire cette opération, qui peut quelquefois être plus commode que la manière ordinaire, surtout pour ceux qui y sont habitués: c'est de changer la soustraction en addition, en prenant le complément de chaque chifTre du nombre qui doit être soustrait, d'abord à lo, et ensuite à 9. Supposons, par exemple, que l'on ail le nombre 2635 à soustraire du nombre 7853; au lieu de dire 5 de i3, reste 8; ensuite 3 de f\, reste i; G de 8, reste 2, et 2 de 7 reste 5, ce qui donne le reste total SaiS; je dirai : 5 complément de 5 à 10 et 3 font 8; j'écris 8; 6 complément de 3 à 9 et 5 font ir, je pose i, et je retiens i; ensuite 3 complément de 6 à 9 et 9, à cause de i retenu, font 1 2, je pose 2, et reliens i; enfin 7 complément de 2 à 9 et 8, à cause de i retenu, font i5, je pose 5, et je ne retiens rien, parce que l'opération est finie, et qu'il faut négliger la dernière dizaine qui avait été empruntée dans le cours de l'opération; ainsi l'on a également pour reste 52 18.

Si l'on a des chiffres un peu plus considérables, cette manière est très-utile, parce qu'il arrive souvent qu'on se trompe en employant la manière ordinaire de la soustraction, lorsque l'on est obligé d'emprunter pour soustraire un nombre d'un autre; au lieu que, dans la manière dont il s'agit, on n'emprunte jamais, il suffit seulement de retenir, parce que la soustraction est convertie en addition. A l'égard des compléments, ils se prennent facilement à la simple vue; car tout le monde sait que 3 est le complément de 7 à 10, que 4 est celui de 5 à 9, etc. Quant à la raison <le cette opération, elle se présente d'elle-même, car il est facile de voir que ces din'érents compléments forment le complément total du nombre qu'il s'agit de soustraire à 10, 100. 1000

suivant que ce nombre a i, 2, 3,... chill'res; de sorte que c'est proprement la même chose que si l'on ajoutait d'abord 10, 100, loon.... an nomi)re proposé, et qu'ensuite on en ôtât le nombre à soustraire de

celui-là; d'oii l'on voit en inènie temps pouiniuoi il l'aiil supprimer une dizaine de la somme trouvée par la dernière addition partielle.

Pour la multipruation, il se présente dillerenls al)ré|,H''s (jui viennent du système décimal. D'abord on sait que, s'il est ciuestion de multiplier par M), il n'y a (ju'à ajouter un zéro; si l'on veut multiplier par ino, on ajoute deux zéros; par looo, trois zéros, etc.

Ainsi, s'il fallait multiplier par une [)artic ali(iuolc de lo, par exemple par 5, on n'aurait (lu'à multiplier par lo, et ensuite à diviser |)ar 2; par 25, on multiplierait par 100, et l'on diviserait par 4, el ainsi de suite, pour tous les produits de 5.

Lorsqu'on a un nomlirc entier avec des décimales à multiplier par un nond)i'e entier avec des décimales, la règle générale est de regarder les deux nombres comme des nombres entiers, ensuite de retrancher, di' droite à gauche, dans le produit autant de ehid'res (ju'il y a de décimales dans les deux nombres; mais cette règle a souvent, dans la praticjue, l'inconvénient d'allonger l'ojjération plus (|u'il ne l'aut : cai', (|uand on a des nombres qui contiennent des décimales, ces nombres ne sont ordinairement exacts que jusqu'à un certain rangde décimales; ainsi l'on ne doit conserver dans le piudiiil (|ue les parties décimales du mèmeoidic. Par exemple, si le mulli[)licande et h; multiplicateur contiennent chacun deux rangs de décimales et n'oirt que ce degré de précision, on auiail, parla méthode ordinaire, quatre rangs de décimales dans leur produit; par conséquent, il faudrait négliger les deux dernières comme inutiles, et même comme inexactes. Voici comment on |)eut s'v prendre, pour n'avoir dans le produit <|u'au(ant de décimales (|ue l'on veut.

J'observe d'abord que, dans la manière ordinaire de faire la multipli- (ation, on commence par les unités du multiplicateur, (ju'on multiplie par celles du multiplicande, et ainsi de suite. Mais rien n'oblige à commencer par la droite du multiplicateur, on peut également commencer parla gauche; et, à dire vrai, je ne sais pas pourquoi on ne préfère pas celte manière, (jui aurait l'avantage de donner tout de suite les chiffres de la j)lus grandi- valeur; car, ordinairement dans la multiplication des

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grands nombres, ce qui intéresse le plus, ce soni les derniers rangs de chiffres; souvent même on ne fait la mulliplicalion que pour connaître (juclques-uns des chiffres des derniers rangs; et c'est là, pour le dire eu passant, un des grands avantages du calcul par les logarithmes, lesquels donnent toujours, dans les nniltiplicalions comme dans les divisions, ainsi que dans l'élévation aux puissances et dans l'extraction des racines, les chiffres suivant l'ordre de leur rang, à commencer par le plus élevé, c'est-à-dire en allant de gauche à droite.

En faisant la multiplication de cette manière, il n'y aura proprement d'aulre différence dans le produit, si ce n'est que l'on aura pour première ligne celle qui aurait été la dernière, suivant la méthode ordinaire, pour seconde ligne celle qui aurait été l'avant-dernière, et ainsi des autres.

Cela peut être indifférent lorsqu'il s'agit de nombres entiers et qu'on veut avoir le produit exact; mais, lorsqu'il y a des parties décimales, l'essentiel est d'avoir d'abord dans le produit les chiffres des nombres entiers, et de descendre ensuite successivement à ceux des nombres décimaux; au lieu que, suivant le procédé ordinaire, on commence par les derniers chiffres décimaux, et l'on remonte successivement aux chiffres des nombres entiers.

Pour faire usage de cette méthode, on écrira le multiplicateur audessous du multiplicande, de manière que le chiffre des unités du multiplicateur soit au-dessous du dernier chiffre du multiplicande. Ensuite on commencera parle dernier chiffre à gauche du multiplicateur, qu'on multipliera comme à l'ordinaire par tous ceux du multiplicande, en commençant par le dernier à droite, et en allant successivement vers la gauche; et l'on observera de poser le premier chiffre de ce produit au-dessous du chiffre du multiplicateur, et les autres successivement à gauche de celui-ci. On continuera de même pour le second chiffre du multiplicateur, en posant également au-dessous de ce chiffre le premier chilfre du produit, et ainsi de suite. La place de la virgule, dans ces différents produits, sera la même que dans le multiplicande, c'est-à-dire (|ue les unités des produits se trouveront toutes dans une même ligne VIL 26