I2 I.KÇONS ÉLÉMENT A IH ES

verticale avee celles dii imilli|»licaii(le: par conséinieiil, celles de la somme de tous les produits ou du produit total serout encore dans la même lii;ne. Ainsi il sera aisé de ne calculer qu'autant de décimales <|u'ii!i V(Uidra. Voici un exemple de Telle opération, où li' multiplicande est j'^;, :>,'), et le mulliplicateur est ■i~,'>] :

3oGo 1

J'ai écrit dans le produit toutes les décimales; mais il est aisé de voii' comment on peut se dispenser de tenir compte de celles que l'on veut néj,'li iier. La ligne verticale est pour marquer plus distinctement la |dace de la virgule.

(j'tle règle nu' paiait plus naturelle et plus simple que celle qui est attriliué<! à Ouglitred, et (jui consiste à écrire le multiplicateur dans un iirilrr renversé.

.\u reste, il y a une chose à considérer dans la multiplication des nomltres avec des décimales: c'est (juc vous pourrez, à volonté, l'aire clianger de place la virgule, parce (|uc, si vous avancez la virgule de ilroite à gauche dans un des nombres, vous le multipliez par 10 ou par 100....; et, si vous reculez d'autant la virgule d(; gauciie à droite dans l'autre nombre, vous le divisez par 10 ou par 100,...; d'où il résulte que vous pouvez avancer à volonté la virgule d'un des deux nombres, piiurvu (|ue vous reculiez d'autant celle de l'autre nombre, vous aurez toujours le même produit; pai' ce moyen, vous pouvez faire en sorte qu'un des deux nombres suit toujours un nombic sans décimales, ce qui lend la (piestion plus simple.

L;i division est susceptible d'une simplification semblable; car, comme le quotient reste le même en multipliant ou divisant le dividende et le ilivisciir également par un même nombre, il arrive (|ue dans la division

vous pouvez avancer ou reculer la virgule de l'un et de l'autre nombre, pourvu que vous les avanciez ou reculiez également toutes les deux; de sorte que par là vous pouvez réduire le diviseur à être toujours un nombre entier; ce qui facilite infiniment l'opération, parce que, les décimales ne se trouvant que dans le dividende, on peut faire la division à l'ordinaire, et négliger dans l'opération les chiffres qui donneraient des décimales d'un rang inférieur à celles dont vous voulez tenir compte.

Vous connaissez la fameuse propriété du nombre 9, qui consiste en ce que, si un nombre est divisible par 9, la somme de tous ses chiffres est aussi divisible par 9. Vous pouvez, par ce moyen, voir tout de suite, non-seulement si un nombre est divisible par 9, mais encore quel est son reste; car vous n'avez qu'à faire la somme des chiffres, et à la diviser par 9, le reste sera le même que celui du nombre proposé.

La démonstration de ce procédé n'est pas difficile ; elle dépend de ce que les nombres 10 moins i, 100 moins i, 1000 moins i,... sont tous divisibles par 9; ce qui est évident, ces nombres étant 9, 99, 999, —

Si donc vous retranchez d'un nombre quelconque la somme de tous ses chiffres ou caractères, vous aurez pour reste le chiflre des dizaines, multiplié par 9, plus celui des centaines, multiplié par 99, plus celui des mille multiplié par 999, et ainsi de suite; d'où il est clair que ce reste est tout divisible par 9. Par conséquent, si la somme des chiffres est divisible par 9, le nombre proposé le sera aussi, et, si elle n'est pas divisible par 9, le nombre ne le sera pas non plus; mais le reste de la division sera le même de part et d'autre.

Dans le cas du nombre 9, on voit clairement que 10 moins 1. 100 moins 1 ,... sont tous divisibles par 9; mais l'Algèbre fait voir que cette propriété est générale pour tout nombre a; car on trouve ([ue

sont des quantités toutes divisibles par a — i ; en effet, en faisant la division, on a les quotients

I , n + i, /!' + rt -I-

20V I.KÇO.NS KI.KM i:\TA llïl'.S

Il l'sl ;iisi!' (le ('(iiicliiro de lii (|Ui' celle piopiiéle du nonihre () a lien dans nolro sysième d'Arilhniéliqiie décimale, parée (pie <)esl lo moins i

et »|ue, dans tout autre système i'ondé sur la progression a. a'-, a'

ec serait le nombre a — i (]ui jouirait de la même propriété. Ainsi, dans le système duodécimal, ce serait le nonihre ii; de sorte (|ue, dansée système, tout nombre dont la somme des cbillrcs serait divisible par i i le serait aussi par ce nombre.

Mais on peut géiu'raliser celte propriété du nombre 9 par la considération suivante: comme tout nombre, dans notre système, est représenté j)ar la somme de (iu(d(|ucs tei'UU's de la |)i'ogression 1, 10, 100, 1000,..., multi|)liés chacun par nu des neuf chi lires i , 2, 3, /|,..., 9, il est aisé de concevoir (|ne le reste de la division d'un nombre quelconque |iar un diviseur donné sera égal ;i la sonune des restes de la division des termes i, 10, ion, 1000,... parle inénu' diviseur, ces restes étant multi|)liés chacun par le chiti're eorres|)ondaut (jui uuilliplie ehaqu»; terme; donc, si l'on dénote en généial le diviscni' donné par 1), cl ([uc ni, //./>,... soient les restes de la division des nombres 1,10, 100, 1000,... par D, le reste de la division d'un nombre quelcon(iue N, dont les caractères, en allant dr droite ;i ganilic, seraient a, /^ c,..., sera évidemment égal à

m .(t -\- Il .b.~^ p .c -\- . . . .

Ainsi, connaissant puni nn diviseur donné D les restes m, 11, />,... ()ui ne dépendent que de ce diviseui', et qui sont toujours les mêmes pour le même diviseur, il n'y aura ([u'à écrire les restes au-dessous du nombre proposé, en allant de dioiteà gauche, et à faire ensuite les dinêrenls produits de cha(|ue chilire j)ar celui qui est au-dessous. La somme de tous ces produits sera le l'este total de la division du nombre proposé par le même divi>iiir I). 1-^t, si cette somme est jibis grande (|ne I), on pourra en chercher de nouveau le reste de la division |)ar 1), et ainsi de suite, jus(|u'à ce qu'on arrive à un reste moindre (|ne I), (|ui sera h; véritable reste cherché : d'où il s'ensuit (|ue le nombre pio[)osé ne sera exactement divisible parle diviseur donné (|n'antanl que le dernier reste trouvé delà sorte sera nul.

Les restes de la division des termes i, lo, loo, looo,... par 9 sont toujours l'unité; ainsi la somme des chiffres d'un nombre (jualconque est le reste de la division de ce nombre par 9. Les restes de la division des mêmes termes par 8 sont i, 2, 4i o, o, o,...: donc on aura le reste de la division d'un nombre quelconque par 8, en prenant la somme du premier chiffre à droite, du second (en allant de droite à gauche) multiplié par 2, et du troisième multiplié par 4-

Les restes de la division des mêmes termes I, 10, loo, 1000,... par 7

sont I, 3, 2, 6, 4. 5, 1, 3 où les mêmes restes reviennent toujours

dans le même ordre; ainsi, ayant le nombre 1 3527541 à diviser par 7, je l'écrirai ainsi avec les restes au-dessous :

Faisant ensuite les produits partiels et les ajoutant, je trouve d'aboril le nombre io4, qui serait le reste de la division du nombre donné par 7, s'il n'était pas plus grand que ce diviseur; je répète donc l'opération sur ce reste, et je trouve pour second reste G, qui est le véritable reste de la division dont il s'agit.

Je remarquerai encore, a l'égard de ces restes et des multiplications qui en dépendent, qu'on peut simplifier celle-ci en admellant des restes

■200 LEÇONS ELEMENT.VIUKS

iu'i,Mlirs à la pl:u'o de ceux (|ui so irouvi'iit plus grands que la moitié

(lu tlivisL'iir; et pour cela il n'y a (ju'à souslrairc encore le diviseur de

cliaeiiii lie ces restes : ainsi, au lieu des restes ci-dessus G, 4. 5, on aura

ceux-ci

ainsi les restes j)Our le diviseur 7 seront

a l'intini.

De celle nianicM-e, j'aurai, dans l'exemple précédent.

.II' nicls une harre au-dessous des cliillVes (|ni doivenl être pris néj^alivenienl; je sousliais la somme des produits de ces diillres j)ar ceux i|ui sont au-dessus d'eux de la somme des autres produits, comme on le \(iil dans cet exemple. Il ne s'agit donc (|uc de trouver pour clia(|ui' di- ^iseur les restes de la division des nombres 1, 10, 100, kjoo,...; or la iliose est aisé<' p;ir la division actuelle; mais on peut y parvenir encore jilus simpliini'iil, en ciinsich'rant (|ue, si /■ est le resic de la division de 10, r- sera celui de la divisicju de loci, carré de m; ainsi il n'y aura qu'il letraiielier de /" autant de fois le diviseur qu'il sera nécessaire, pour qui l'on ail un reste positif ou négatif, moindre (|ue la moitié de ce di\iseur. S(/il ç ce reste; alors il n'y aura (|u'ii le multiplier par /•, reste de la disision de 10, pour avoir celui de la division de loou, parce que 1000 c.-l 100 X ro, el ain>i de suite.

Ainsi, divisant lo par 7, on a 3 de reste, donc le reste de; la division de 100 sera 9, ou bien 2, en retranchant le diviseur 7; ensuite le reste de la division de 1000 sera le produit de 2 par 3, c'est-à-dire G, ou bien — I, en retranchant encore 7 : de là le reste de la division de 1000 sera le produit de — i par 3, savoir — 3, et ainsi de suite.

Prenons pour diviseur 11; le reste de la division de i est 1, celui delà division de 10 est 10, d'où retranchant le diviseur r r, on a — 1; le reste de la division de 100 sera donc le carré de — i, savoir 1; celui de la division de looo sera i, multiplié par — i, savoir — i, et ainsi de suite; de sorte que tous les restes seront

I, — I, I, — I, I, — I, ... à l'infini.

De là résulte la propriété connue du nombre 11, savoir que, si l'on ajoute et qu'on retranche alternativement tous les chiffres d'un nombre quelconque, c'est-à-dire qu'on prenne la somme du premier, du troisième, du cinquième, etc., et qu'on en retranche la somme du second, du quatrième, etc., on aura le reste de la division de ce nombre par 1 1 .

Cette théorie des restes est assez curieuse, et a donné lieu à des spéculations ingénieuseset difficiles. On peut démontrer, par exemple, que, quand le diviseur est un nombre premier, les restes d'une progression quelconque i, a, ar, a^ , a*,... forment toujours des périodes qui reviennent les mêmes à l'infini, et qui commencent toutes comme la première par l'unilé; de sorte que, lorsque l'unité parait parmi les restes, on peut les continuer à l'infini par la simple répétition des restes précédents. On démontre aussi que ces périodes ne peuvent jamais contenir (|u'un nombre de termes égal au diviseur moins i, ou à une partie aliquote du diviseur moins i ; mais on n'a pu encore déterminer a priori ce nombre pour un diviseur quelcon(|uc donné.

Quant à l'usage de cette manière de trouver le reste de la divisiiui d'un nombre par un diviseur donné, elle pourrait être très-utile, si l'on avait à diviser plusieurs nombres par un même nombre, et à former une Table des restes. Comme la division par 9 et par 11 est très-simple, on peul

•208 LEÇONS KLKM I.NTAIII KS

rniipli^ver pour siMvir de prouve ;i l;i nuilliiilicalidu el à la division. Kii clTel, ayant Ironvé les restes tle la division du niulliplieaiulc et du nuilliplicatfur, il n'y aura qu'a taire le produit de eesdeux restes, et, relranclianl, s'il est nécessaire, le diviscni' une ou plusieurs l'ois, on aura le reste de la division du produit, (jui devra par eouséquent s'aeiorder avec telui (|u'on trouverait par la même opération. De même, eomme dans la division le dividende moins le reste doit être égal au produit du diviseur et du quotient, on pour'ra y employer la même épreuve.

J>a proposition (|ue je viens de supposer, (|ue le produit des restes de la division des deux nombres par un niênu' diviseur est égal au reste de la division du |)roduit de ces nomlires par le même diviseur, est l'aeile il eoiu'evoir. lui voici une dénionsliatiou ^^t'iiérale.

Soient .M et X les deux nonilires, D le diviseur, p et </ les quotients, et /•, s les deux restes; il est clair qu'on aura

ilont, l'aisant la multi|)licalion,

M N - /)(/ D' -f- i/^ D -f- iq D -H n ;

où l'on voit (|ue tous les termes sont divisibles par D, à l'exceplion du ilcrnier rs , d'oii il s'ensuit que rs sera le reste de la division .MN par D; on voit de plus que, si l'on reliaindie de rs \\\\ niullij)le (|uelcon(iue de D, comme mD, alors rs — wD sera aussi le reste de la division de .MN par D; car, en mettant la valeur de MX sous cette forme

/)'/ D' -.- s/> 1) 4- iij I) -T- m 1) + /\$ — m 1),

on voit ([ue tous lus autres termes sont divisibles par I).

.Ainsi l'on pourra toujours l'aire en sorte (|ue le reste /.9 — fn\) soit

moindre rpie D. ou même moindre que i en employant des restes négatifs.

N'oilii tout ce (|ue j'avais à dire sur' la ninltiplication et la division. Je ne vous parle pas de l'extraction des racines; la règle est assez simple

pour les racines carrées ; elle conduit directement au but, et il n'y a pas de tâtonnement. Pour les racines cubiques et de dci^rés supérieurs, il est rare qu'on ait besoin d'extraire ces racines; d'ailleurs, parle moyen des logarithmes, on les extrait avec une grande facilité, et l'on peut pousser l'exactitude en décimales aussi loin que celle des logarithmes même le comporte; ainsi, avec des logarithmes de sept chiffres, on peut extraire des racines avec sept chiffres, et, en employant les grandes Tables, où les logarithmes sont poussés jusqu'à dix décimales, on peut avoir aussi dix chiffres dans le résultat.

Une des opérations les plus importantes de l'Arithmétique est celle qu'on appelle la règle de trois, qui consiste toujours à trouver le quatrième terme d'une proportion dont les trois premiers sont donnés.

Dans les livres ordinaires d'Arithmétique, on a beaucoup compliqué cette règle. On l'a divisée en règles de trois simples, directes, tmerses. composées.

En général, il suffit de bien entendre l'état de la question: la ri-gle ordinaire de trois s'applique toujours également toutes les fois qu'une quantité augmente ou diminue dans le même rapport qu'une autre; par exemple, le prix des choses augmente en proportion de la quantité des choses, de sorte que, la chose étant double, le prix devient double, et ainsi de suite; de même, le produit du travail augmente en proportion du nombre des personnes employées. Mais il y a deschosesqui augmentent à la fois dans deux rapports différents : par exemple, la quantité du travail augmente suivant le nombre des personnes employées, et il augmente aussi suivant le temps qu'on emploie. Il y a d'autres choses qui diminuent à fiiesure que d'autres augmentent. Tout cela se réduit à une considération bien simple : c'est que, si une quantité augmente en même temps dans la proportion qu'une ou plusieurs autres quantités augmentent, et que d'autres quantités diminuent, c'est la même chose que si l'on disaitijue la (juaiUité proposée augmentecomme le produit des quantités qui augmentent en même temps qu'elle, divisé par le produit de celles (|ui diminuent en même temps. Ainsi, comme le résultat du travail augmente à mesure qu'il y a plus de travailleurs, et qu'ils travail- VII. 27

210 LKT.ONS r.l.KMKNTMIlKS

loiil [iliis loiiiilt'iiip.-;. l't (lu'il diiniinu' ;i nicsurt' que rdiivrago csl plus (lillii'ilo, un (lira (|tu' K' résultai est proporlioiincl au uoiul)io tics travail- It'urs, mulli|>ru' par le nombre (|ui mesure le temps, et divisé par le iiomltre (|ui mesure ou exprime la dilliculté de l'ouvraiie.

C.epciulant il faut taire alteuliou à uue chose, c'est tiue la ri'gle de tinis ne peut pro|)remeiit s'appli(|uer (|u'aux choses (]ui aui;menlent loujoui's dans un ra|iporl constant. l'ar e\eni|de, on suppose (|ue, si un homme fait dans un jour une certaiiu' quantité d'ouvrage, deux hommes i-ii feront le douhle, trois hommes le triple, (|uatrc le (|uadruple, etc. (]ela pourrait ne pas être; mais, dans la rèij;le ;le |n it[iortion, on le suppose, sans(|uoi on ne pourrait pas l'employer léj;itimement.

Quand la loi de rauj:mentalion et de la diminution est variable, la rèi^'le de tiois ne s'y appli(iue pins, et les règles ordinaires d'Arithmétique sont en défaut. Il faut avoir alors recours à l'Algidji'e.

Si, parce (|u'uu tonneau d'une certaine; capacité se vide dans un certain lem|is. on voulait en comlure (|u'un tonneau d'une ca|ia(ilé double emploierait un temps double, on se Ir-omperait; c^ir il se videia dans un temps |)lus court. La loi de l'écoulement ne suit |)oinl une propoi'tion constante, mais nue proportion variable, (jui diminue ii mesure (ju'il reste moins de liquide dans le tonneau.

Vous verrez dans la Alécaniqni! (jue, dans les n)ouvemenls uniformes, les espaces |)arconr'US suivent une proportion constante avec le temps. Dans une heure on fait une lieue, dans deux heures on eu fera deux; mais une |)ierre (|ni tombe ne suivra pas la même proportion, cl si, dans la premii're seconde, elle parcourt i5 pieds, dans la deuxit'ine seconde elle en parcourt '\^. ,

La règle de trois n'est applicable ([u'au cas de la proportion constante. <!(,' cas a lieu dans la plupart des choses qui sont d'un usage ordinaire. \m général, le prix est tonjoui's proportionné à la (|uantité des choses; de sorte que, si une chose vaut tant, deux choses vaudront le double, trois le tri|»le. quatre le (luailruple, etc. Il en est de n)éme du produit du travail, relativement au nouii)re des travailleurs et à la durée du travail; il y a néanmoins des cas où l'un pourrait aussi se tromper.

Si deux ciicvaux. par exemple, peuvenl traincr une niasse d'un certain poids, il serait naturel de croire que (|uatre chevaux traîneraient un poids double, six un poids triple; cependant cela n'est pas à la rigueur, car il faudrait que les quatre chevaux tirassent tous également et de la même manière, ce qui est presque impossible dans la pratique. Il arrive de là que l'on trouve souvent par le calcul des résultats qui s'éloignent de la vérité; mais alors ce n'est pas la faute du calcul, car il rend toujours exactement ce qu'on y a mis. On a supposé la proportion constante; le résultat est fondé sur cette supposition : si elle est fausse, le résultat sera nécessairement faux. Toutes les fois qu'on a voulu accuser le calcul, on n'a fait que rejeter sur le calcul la faute de celui qui l'avait fait : il avait employé des données fausses ou inexactes, il fallait bien que le résultat le fût aussi.

Parmi les autres règles de l'Arithmétique, il y a celle qu'on appelle d'alliage, qui mérite une considération particulière, parce qu'elle peut avoir beaucoup d'applications. Quoique l'alliage se dise principalement de métaux mêlés ensemble par la fusion, on le prend en général pour le mélange d'un certain nombre de choses de dilTérentes valeurs, qui composent un tout d'un égal nombre de parties et d'une moyenne valeur; ainsi la règle d'alliage a deux parties.

Dans la première, on cherche la valeur moyenne et commune de chaque partie du mélange, quand on connait le nombre des parties et la valeur particulière de chacune d'elles.

Dans la seconde, on cherche la constitution même d'un mélange, c'est-à-dire le nombre des parties des choses qui doivent être mélangées ou alliées, quand on connait le nombre total des parties et leur valeui' moyenne.

Supposons, par exemple, que l'on ait plusieurs seticrs de blé de dilVérents prix; on peut demander quel est le prix moyen : ce prix moyen doit être tel que, si chaque setier était de ce prix, le prix total de tous les setiers ensemble fût encore le même; d'où il est aisé de voir (|ue, pour trouver dans ce cas le prix moyeu, il n'y aura (ju'à chercher d'abord Ir prix total, et à le diviser [)ar le nombre des setiers.

212 LEÇONS ELEMENTAIRES

En général, si l'on muhiplic le nonil)ro des choses de chaque espèce par la valeur de l'unilé de cha(|ue chose, et (ju'on divise ensuite la somme de tous ces produits par le nombre total des choses, on aura la valeur niovenne, parce que cette valeur, nuiltipliée clle-niême par le nombre des choses, redonnera la valeur entière de toutes les choses prises ensemble.

Cette valeur moyenne est d'une grande utilité dans presque toutes les atîaires de la vie; quand on a plusieurs résultats difTérenls, on aime à réduire tous ces résultats à un terme moyen qui produit cependant le même résultat total.

Vous verrez, quand il sera question du Calcul des probabilités, qu'il est presque tout fondé sur ce principe.

Les registres des naissances et des morts ont donné lieu à la construction des Tables qu'on appelle de mortalité, et qui montrent combien, sur un nombre donné d'enfants nés en même temps, ou dans la même année, il y en a de vivants au bout d'un an, de deux, de trois, etc.; on peut demander, d'après cela, quelle est la vie moyenne d'une personne d'un âge donné. Si l'on cherche dans ces Tables le nombre des vivants à cet âge, et qu'ensuite on additionne le nombre des vivants de tous les âges suivants, il est clair que cette somme donnera le nombre total des années qui auront été vécues par la totalité des vivants à l'âge donné; par conséquent, il n'y aura qu'à diviser la somme dont il s'agit par le nombre des vivants à l'âge donné ; le quotient sera la vie movenne, ou bien le nombre d'années que chaque personne devrait vivre encore, pour que le nombre total des années vécues fût le même, et que chaque personne eût vécu également.

On trouve de cette manière, en prenant le milieu entre les résultats des différentes Tables de mortalité, que, pour un enfant d'un an, la vie moyenne est d'environ [\o ans; qu'à lo ans, elle est encore de 4o ans; à 20, de 34; à 3o, de 26; à 40, de 23; à 5o, de 17; à 60, de 12; à 70, de 8; à 80, de 5.

On a, par exemple, fait différentes expériences; trois expériences ont donné quatre pour résultat; deux expériences ont donné cinq; une a

SUR LES MATHÉMATIQUES. 2i:i

donné six. Pour avoir le résultat moyen, on muUiplicra 4 par 3, ;") par 2, et I par 6. On ajoutera ensemble tous ces produits, ce qui fait 28, et l'on divisera ce nombre par le nombre des expériences, savoir 6; ce qui donnera 4f pour le résultat moyen de toutes ces expériences.

Au reste, vous sentez que ce résultat ne peut être regardé comme exact qu'autant qu'on suppose que toutes les expériences sont également exactes. Cependant elles peuvent ne pas l'être; alors il faut chercher à tenir compte de ces inégalités, ce qui demande un calcul plus compliqué : c'est l'objet de plusieurs recherches dont les géomètres se sont occupés.

Voilà pour ce qui regarde la première partie de la règle d'alliage; l'autre partie est l'inverse de celle-ci : étant donnée la valeur moyenne, trouver combien il faut prendre de chaque chose pour avoir cette valeur moyenne.

Les problèmes de la première espèce sont toujours déterminés, parce que, comme on vient de le voir, il n'y a qu'à multiplier le nombre par la valeur de chaque chose, et diviser la somme de tous ces produits par le nombre des choses.

Les problèmes de la seconde espèce sont, au contraire, toujours indéterminés; mais la condition de n'avoir que des nombres positifs cl entiers pour résultat sert à limiter le nombre des solutions.

Supposons qu'on ait des choses de deux espèces; que la valeur de l'unité de la première espèce soit a, que celle de l'unité de la seconde espèce soit b, et qu'on demande combien on doit prendre d'unités de la première espèce et d'unités de la seconde pour en former un composé ou un tout dont la valeur moyenne soit m.

Nommons x le nombre des unités de la première espèce qui entreront dans le composé, et j le nombre des unités de la seconde espèce; il est clair que ax sera la valeur des x unités de la première espèce, et by celle des y unités de la seconde : donc ax -t- by sera la valeur totale du mélange; mais la valeur moyenne du mélange devant être m, il faudra que la somme x-hy des unités du mélange, multipliée par m, valeui' moyenne de chaque unité, donne la même valeur totale : donc on aura

l'équation

(tx -I- l))- =: wi j; + m y;

Taisant passer d'un côté les termes niiillipliés par x, et de l'autre les termes multipliés par j, on aura

et, divisant par « —m, il viendra

f »? — Il < ^•

a — ni

où l'on voit que le nombre j peut être pris à volonté; car, en donnant à j une valeur queleonque, on aura toujours une valeur correspondante de X qui satisfera à la question. Telle est la solution générale que donne l'Algèbre; mais, si l'on ajoute la condition que les deux nombres x e\y soient entiers, alors on ne peut plus prendre y à volonté. Pour voir comment on peut satisfaire de la manière la plus simple à cette dernière condition, on divisera la dernière équation par 1-, et l'on aura

Pour que x et j soient tous deux positifs, il faudra que les deux quantités

/)( ^ b cl n — m

soient de même signe; e'cst-'a-dirc que, si a est plus grand ou moindre (jue m, b soit au contraire moindre ou plus grand (jue m; c'est-à-dire que m doit tomber entre les deux quantités a et b, ce qui est d'ailleurs évident de soi-même. Supposons a le plus grand et b le [)lus petit des deux prix; on chercbera la valeur de la fraction

(|u'on réduira, s'il est nécessaire, à ses moindres termes; soit r celle

SUR LES MAÏIIÉMATIQUES, 215

fraction réduite à ses moindres termes; il est visible qu'on aura la solution la plus simple en prenant