X -^ B el y = A

mais, comme une fraction demeure la même en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre, il est visible qu'on pourra prendre aussi

x = nB el j=nA,

n étant un nombre quelconque, (ju'il faudra supposer entier pour (|ue X et r soient entiers; et il est facile de démontrer que ces expressions de X et r sont les seules qui résolvent la question proposée. Suivant la règle ordinaire d'alliage, on ferait x, quantité de la cliose la plus cbère. égale à m — b, excès du prix moyen sur le plus bas, et j, quantité de la chose la moins chère, égale h a — m, excès du plus haut prix sur le prix moj'en, ce (jui rentre dans la solution générale que nous venons de donner.

Supposons maintenant qu'au lieu de deux espèces de choses il y en ait trois, dont les valeurs soient, à commencer par la plus haute, a, b, c; soient x, y, z les quantités qu'il faudra prendre de chacune pour former un mélange ou un composé dont la valeur moyenne soit m. La somme des valeurs des trois quantités x, y, z sera

ax + b)- -h cz,

d'après les valeurs particulières d, h, c de l'unité de chacune de ces (juantités; mais cette valeur totale doit être la même que si toutes les valeurs particulières étaient égales à m, auquel cas il est clair que la

valeur totale serait

mx -t- my -f- «; r ;

donc il faudra satisfaire à l'équation

ax + by -(- c :: ^ «t JT -t- my + m z, laquelle se réduit à cette forme plus simple

Comme il y a trois iaconnues dans cette question, on pourrait on prendre deux à volonté; mais, si l'on veut qu'elles soient exprimées par des nombres positifs et entiers, on observera d'abord que les nombres

a — m cl m — c

sont nécessairement positifs; de sorte ([u'cn mcllanl récpialion sous

cette forme

la question sera réduite à trouver deux imilliples des nombres donnés a — m el m — c,

dont la dilférence soit égale à (m — h) y..

Cette question est toujours résoluble en nombres en'tiers, quels que soient les nombres donnés dont on cherclie les multiples, et quelle que soit la dilférence donnée de ces multiples. Comme elle est assez curieuse par elle-même et qu'elle peut être utile dans beaucoup d'occasions, nous allons en donner ici une solution i^énérale déduite des propriétés des fractions continues.

Su])posons donc en général que M et N soient deux nondjres entiers donnés, et qu'on en cbercbe deux multiples a; i\I, sN, dont la dilférence soit donnée et égale à D; on aura donc a satisfaire à l'équation

a:M-zN = D,

07 et s étant supposés des nombres entiers. D'abord il est clair (jue, si M et N n'étaient pas premiers entre eux, il faudrait que le nombre D fût aussi divisible par le plus grand commun diviseur de iM et N; et, la division laite, on aurait une pareille équation où les nombrcis l\l el N seraient premiers entre eux; ainsi nous |)ouvons les sup|)oser déjà réduits à cet étal. J'observe maintimant que, si l'on connaissait la solution de cette é(|uation pour le cas où le nombre D serait égal à l'unité positive ou négative, on en pourrait déduire la solution pour v\nv valeur quelconque de D. Supposons, en effet, qu'on connaisse deux multiples de M et .\, (|ui soient o.M et ^N, dont la dilférence wM — ^N soit

= ± I, il est clair qu'il n'y aura qu'à les multiplier tous les deux par le nombre D, pour que la diflereiice devienne égale à ±D; car, en multipliant l'équation précédente par D, on aura

/>DM— f;DN = ±D;

qu'on retranche maintenant cette équation de l'équation proposée

ou qu'on l'y ajoute, suivant que le terme D aura le signe + ou — , il est clair qu'il viendra celle-ci

(arzppDjM- [zzpqï)]S=zo,

laquelle donnera sur-le-champ, comme nous l'avons vu plus haut dans le cas de l'alliage de deux choses différentes,

xqzpD = n^, .îrp^D^rtM,

n étant un nombre quelconque; de sorte que l'on aura généralement

ji=«N±y>D el z = nM±qD,

où l'on pourra prendre un nombre quelconque entier, positif ou négatif, pour n. Il ne reste donc plusqu'à trouver les nombres/; et y, tels que

l'on ait

/;M-(/N=^=hi;

or cette question se résout facilement par les fractions continues; car nous avons fait voir, en traitant de ces fractions, que, si l'on réduit la

fraction ^ en fraction continue, qu'ensuite on en déduise toutes les

fractions successives, dont la dernii're sera la fraction même -j^j ces

différentes fractions sont telles, que la dill'érence entre deux fractions

consécutives est toujours égale à une fraction dont le numérateur est

l'unité, et le dénominateur le produit des deux dénominateurs; ainsi,