II- -+- au — -!— = o

et, nommant A et B ses deux racines, on aura tout de suite

j=vA, s = \"n,

où l'on observera qu'en effet A et B auront les mêmes valeurs que nous avons assignées plus haut à ces mêmes lettres. Or, par ce que nous avons démontre ci-dessus, on aura également

y = m j A ou = n \ A. ,

et il en sera de même de la valeur de z; mais l'écjualion

dont nous n'avons employé que le cube, limite ces valeurs, et il est aisé

lie voir qu'elle exige que les trois valeurs eorrespoiulanles de :: soieul

d'où résultent, pour la valeur de x, qui est =y + ;, les mêmes trois valeurs que nous avons trouvées.

Pour la forme de ces valeurs, il est visible d'abord (ju'il ne peut y en avoir qu'une de réelle, tant (|ue A et H seront des quantités réelles, puisque/// et n sont des quantités imaginaires. Elles ne pourront donc être toutes les trois réelles que dans le cas où les racines A et B de la réduite seront imaginaires, c'est-à-dire lorsque la quantité

qui se trouve sous le signe radical, sera négative, ce qui n'a lieu que lorsque^ est négatif et plus grand que

c'est le cas qu'on appelle irréductible. Puisque dans ce cas

f Pi

est une quantité négative, supposons-la égale à — g" , g étant une (juantilé quelconque réelle, et faisant, pour plus de simplicité,

les deux racines A et B de la réduite prendront cette forme

Or je dis que si \A -+- vB. qu' est une des racines de l'équation du troisième degré, est réelle, les deux autres racines, exprimées par

/7i \ A -+- « \ B el n v A -f- m v B ,

seront réelles aussi. En elTet, supposons

ou aura d'abord

t + 11 — II,

h étant par l'hypothèse une quantité réelle. Or

fM=vXB et AB=/^-i-^% donc

l'équation précédente, étant élevée au carré, donne

/--h itu -T- u'^ h-;

retranchant 4'". on aura

J'observe que cette quantité doit être nécessairement négative; car, si elle était positive et = k-, on aurait

donc

t — u = lf;

donc, puisque

/ -t- H = fl,

on aur;iit

(piantités réelles; donc /' et u' seraient aussi des quantités réelles, ce ({ui est contre riiypothèse, puisque ces quantités sont égales à A et H, toutes deux imai^inaires.

Donc la (juantité

sera essentiellement négative. Supposons-la égale à — X*; donc