VII. 3o
231 LEÇONS ELEMENTAIRES
ft, tirant la laciue carrée,
i — it = h V — T ;
donc
Telle sera donc nccessaireniciil la forme des deux radicanx cubes
Sf+gyR'^ et Sf-gi-i,
l'orme à laquelle ou parvient directement, en réduisant ces radicaux en série par le théorème de Newton, comme vous l'avez déjà vu dans les leçons du Cours principal. Mais, comme les démonstrations par les séries peuvent laisser quelques nuages dans l'esprit, j'ai voulu en rendre la précédente tout ii fait indépendante. Si donc
on aura
\/A = ^ el V B = ^ ;
or on a trouvé pins liant
ilonc, multipliant ces quantités ensemble, on aura
et
(|uantités réelles. Ainsi donc, si la racine h est réelle, les deux autres le seront aussi naturellement dans le cas irréductible, et ne pourront l'être (|ue dans ce cas, comme nous l'avons vu ci-dessus.
iMais la dilTicullé est toujours de démontrer directement que
que nous avons supposé =//, est toujours une quantité réelle, quelles que soient les valeurs de /et g. On y peut parvenir dans des cas particuliers, en extrayant la racine-cubique, lorsque cette extraction peut se faire exactement. Par exemple, siy= 2, g- = r i , on trouvera que la raracine cubique de 2 h- 1 1 y — i sera 2 + y — i , et de même celle do 2 — iiy — I sera 2 — y — 1 , de sorte que la somme des deux radicaux sera égale à 4- On peut faire ainsi une infinité d'exemples, et c'est de cette manière que Bonibelli s'est convaincu de la réalité de l'expression imaginaire de la formule du cas irréductible; mais, cette extraction n'étant possible en général que par les séries, on ne peut parvenir de cette manière h une démonstration générale et directe de la proposition dont il s'agit.
Il n'en est pas de même des radicaux carrés et de tous ceux dont l'exposant est une puissance de 2. En eflet, si l'on a la quantité
composée de deux radicaux imaginaires, son carré sera
2/+2v/=-HêS
quantité nécessairement positive; donc, extrayant la même racine carrée, on aura
pour la valeur réelle de la quantité proposée. Mais, si, au lieu de la somme, on avait la différence des mêmes radicaux, alors son carré serait
quantité nécessairement négative; et, tirant la racine carrée, on aurait l'expression imaginaire simple
Si l'on avait la quanlilé
on l'olèverait d'abord au carré, ce (|ui doiniorail
\l.f+g\/- > + \'f- g\/- • + 2 yp+8' = ^f+ = v//' + fi" + 2 yp + s''
quanlilé réelle et positive; on aura donc aussi, en extrayant la racine carrée, une valeur réelle pour la quanlilé proposée, et ainsi de suite; mais, si l'on voulait appliquer celte méthode aux radicaux cubiques, on retomberait dans une équation du troisième degré, dans le cas irréductible.
Soit, en efTel,
en élevant d'abord au cuhe, on aura
savoir,
