v./'-t- ii' = x

X' — Zx V / ' -+- g' — 2/= o, formule générale du cas irréduclil)ie, puisque

Si g — o, on aura x^2\/; il faudrait donc prouver que, g ayanl une valeur quelconque, x aura aussi une valeur correspondante réelle. Or ré(juati()n précédente donne

'ix

et, élevant au cube.

, x' — 6x'f-hizx*f' — 8P "' ** 27 X*

(J'oii

éqiialion qu'on peut mettre sous celte forme

^ 27 JC»

OU bien sous celle-ci

Cette (leriiière forme fait voir que g est nul, lorsque x^ = 8/; qu'ensuite §■ augmente toujours sans interruption, lorsque œ augmentera; car

le facteur [x^ +/)' augmentera toujours, et l'autre facteur i — -^augmentera aussi, parce que, le dénominateur x^ augmentant, la partie négative -~i qui est d'abord =1, deviendra toujours moindre que 1.

Ainsi, en faisant augmenter par degrés insensibles la valeur de x', depuis Sy'jusqu'à l'intîni, la valeur de g" augmentera aussi par degrés insensibles et correspondants, depuis zéro jusqu'à l'infini. Donc, réciproquement, à cliaque valeur de g-, depuis zéro jusqu'à l'infini, il répondra une valeur de x- comprise entre 8/ et l'infini; et, comme cela a lieu, quelle que soit la valeur de/, on en peut conclure légitimement que, quelles que soient les valeurs de /et g, la valeur correspondante de x^ , et par conséquent aussi de x, sera toujours réelle. 3Iais comment assigner cette valeur? Il ne paraît pas qu'elle puisse être représentée autrement que par l'expression imaginaire, ou par l'expression en série, qui en est le développement. Aussi doit-on regarder ces sortes d'expressions imaginaires, (|ui répondent à des quantités réelles, connue formant une nouvelle classe d'expressions algébriciues, ^\v\\, (pioiqu'elles n'aient pas, comme les autres expressions, l'avantage de pouvoir être évaluées en nombres dans l'état où elles sont, ont néanmoins celui, t[ui est le seul nécessaire aux opérations algébricjues, de pouvoir élre employées dans ces opérations, comme si elles ne conlenaicnl poinl

(rim;ii;iiiaircs. Elles ont do plus r;ivanti>i,fc de pouvoir servir niix constructions géométriques, comme on le verra dans la lliéorie des sections angulaires, de sorte qu'elles peuvent toujours être représentées exactement par des lignes; et, quant à leur valeur numéritjue, on pourra toujours la trouver à très-peu près, et aussi exactement (ju'on voudra, par la résolution approchée de l'équation d'où elles dépendent, ou bien par les Tables trigonométriques connues. En ellet, on démontre eu Géométrie que, si dans un cercle dont le rayon est /• on prend un arc dont la corde soit c, et qu'on nomme x la corde de l'arc qui sera le tiers de celui-là, on a, pour la détermination d(; x, l'équation du troisième degré

équation qui tombe dans le cas irréductible, puisque c est toujours nécessairement moindre que 2r, et qui, à cause des deux arbitraires retc, peut représenter toutes les équations de ce genre; car, en la comparant avec l'équation générale

x' + px -h q =: o.

de sorte qu'on aura tout de suite, par la trisection de l'arc qui répond à la corde c dans un cercle de rayon r, la valeur d'une racine x, qui sera la corde de la troisième partie de cet arc. Or, par la nature du cercle, une même corde c répond non-seulement à l'arc s, mais encore (en nommant la circonférence entière u) aux arcs

it — s, ■2.11 -h s, 3« — 5, ...;

les arcs

Il -h s, 2 H — S, 3u -{- S, ...

ont aussi la même corde, mais prise négativement, parce (|ue les cordes, au bout d'une circonférence, deviennent zéro, et ensuite négatives, et ne redeviennent positives qu'au bout de deux circonférences, etc., comme vous pouvez le voir aisément. Donc les valeurs

(le X seront non-seulement la corde de l'arc ^> mais encore celles des arcs

Il — s O.U -'r s

et ce seront là les trois racines de l'équation donnée. Si l'on voulait employer encore les arcs suivants qui ont la même corde c, on ne ferait que retrouver les mêmes racines; car l'arc 3m — 5 donnerait la corde

de — ^ — 5 savoir, de u — --, qu'on a déjà vu être la même que celle

de 2» et ainsi des autres.

Comme, dans le cas irréductible, le coefficient p est nécessairement négatif, la valeur de la corde donnée csera positive ou négative, suivant que q sera positif ou négatif. Dans le premier cas, on prendra pour .v

l'arc sous-tendu par la corde positive c = ^ ; le second cas se réduit

au premier, en faisant x négatif, ce qui fait changer de signe au dernier terme; de sorte qu'en prenant de même pour s l'arc sous-tendu

par la corde positive —■, on n'aura qu'à changer le signe des trois racines.

Quoique tout ce que nous venons de dire puisse suffire pour ne laisser aucun doute sur la nature des racines des équations du troisième degré, nous allons y ajouter encore quelques réflexions sur la méthode même par laquelle on trouve ces racines. Celle qu'on a exposée plus haut, et qu'on appelle communément la méthode de Cardan, quoiqu'il me semble que c'est de Hudde que nous la tenons, a souvent été accusée, et elle peut encore l'être tous les jours, de ne donner, dans le cas irréductible, les racinçs sous une forme imaginaire, que parce qu'on y fait une supposition qui est contradictoire avec l'état même de l'équation. En effet, l'esprit de cette méthode consiste à supposer l'inconnue égale à deux indéterminées y + 3, pour pouvoir ensuite séparer l'équation

résultante

:iVO LEÇONS ELEMENTAIRES

«■Il CCS ileux-ci

3 )•; -(- ^ = o et y' + s' -(-(/=: o.

Or, en niettani la première sous cetlo forme

il est visible que la question se réduit à trouver deux nombres/^ et s'',

dont la s((mme soit — q et le produit — -^» ce qui est impossible, à

moins (|ue le carré de la demi-somme ne surpasse le produit, puis(]ue la dillerence de ces deux quantités est égale au carré de la domi-dillerence des nombres chercbés.

On conclut de là qu'il n'est pas étonnant qu'en Taisant une supposition impossible à réaliser en nombre, on tombe dans des expressions imaginaires, et l'on est induit à croire qu'en s'y prenant autrement on pourrait éviter ces expressions, et n'en avoir que de toutes réelles.

Comme on pourrait faire h peu près le même reprocbe aux autres méthodes qui ont été trouvées depuis, et qui sont toutes plus ou moins fondées sur la méthode des indéterminées, c'est-à-dire sur l'introduction de quelques quantités arbitraires qu'on détermine de manière à satisfaire à des conditions supposées, nous allons considérer la question en elle-même, et indépendamment d'aucune supposition. Reprenons

pour cela l'équation

x' ■+- px -i- q = 0,

et supposons que ces trois racines soient a, b, c.

Par la théorie des équations, le premier nombre sera formé du produit des trois quantités

qui est

a'— (« + A H- (?) ^c'-l- [ab + ac -t- bc x — abc;

de sorte que la comparaison des termes donnera

a + 6 -h £■ = o, cib + ne -h bc — p, abc = — ij.

Comme l'équation est d'un degré impair, on est assuré, ainsi que vous l'avez déjà vu, et que vous le verrez encore dans la Leçon qui suivra celle-ci, qu'elle a nécessairement une racine réelle. Soit c cette racine: la première des trois équations qu'on vient de trouver donnera

d'où l'on voit d'abord que a -h b sera nécessairement aussi une quantité réelle; cette valeur de c, substituée dans la seconde et la troisième,

donnera

ab — rt' — ab — ab — b^ = p, — ab[a -k- b] = — q,

savoir

a' -h ah -h b' ^■- — p, ab[a + b\ ^ q,

d'où il faudrait tirer a et 6; la dernière donne ab = ——r^ d'où je con-

dus que ab sera nécessairement aussi une quantité réelle. Considérons

maintenant la quantité ^ + — ' ou bien, en faisant disparaître les frac- 4 ^7

tions, la quantité i-jq- -{- \p^ , du signe de laquelle dépend le cas irréductible; en y substituant pour/? et q leurs valeurs ci-dessus en a et b, on trouvera, après les réductions, que cette quantité devient égale au

carré de

2a^ — ib^ + 3a'b — 3ab'

pris négativement; de sorte que, en changeant les signes et extrayant la racine carrée, on aura

aa' — ai' -+- 3a'b — 3ai'= \j— 27g' — 4/»')

d'où il est d'abord aisé de conclure que les deux racines a ci b ne sauraient être réelles, à moins (jue la quantité a7</-+ 4/^' ne soit négative; mais je vais démontrer que, dans ce cas, qui est, comme on voit, le cas irréductible, les deux racines a et b seront nécessairement réelles;

car la quantité

1CÛ — ib'+'ià-b — 3 rt i'

se réduit à cette forme,

(rt — 6)(2a=-)-2 6v-t-5«6 , VU. 3i

i\î LEÇONS ELEMENTAIRES

comme il est aisé de s'en assurer par la imilliplication actuelle; or nous avons déjà vu que les deux quantités a -\- h et ah sont nécessairement réelles, d'où

sera aussi nécessairement une quantité réelle; donc l'autre fadeur a — h

sera réel aussi, lorsque le radical y — 27 y- — [\p^ est réel; donc, a -+ h ri a — b étant des quantités réelles, il s'ensuit que « et 6 seront l'un et l'autre réels. Nous avions déjà démontré plus haut ces théorèmes d'après la forme même des racines; mais la démonstration présente est, à quelques égards, plus générale et plus directe, étant tirée des principes de la chose. On n'a rien supposé, et la condition du cas irréductible n'a point introduit d'imaginaires; mais il faut trouver les valeurs de a et 6 au moyen des équations ci-dessus. Pour cela, j'observe que le premier membre de l'équation

n'— b'-\-^'a''b — ab'] =7 s/ — ^"Ç' — 4/*'

peut devenir un cube parfait, en y ajoutant le premier membre de l'é- (jualion

multipliée par

fie sorte qu'extrayant la racine cubique de part et d'autre, on aura la quantité

exprimée en quantités connues; et, comme le radical y — J peut aussi être pris en —, on aura aussi la quantité

exprimée en (juanlités connues, d'où l'on tirera les valeurs de a et b. Mais ces valeurs contiendront la quantité imaginaire y— ^ qui a été introduite par la multiplication, et se réduiront à la même forme que les deux racines

/»vA-f-«vB et n\A^-+-w\B,

que nous avons trouvées plus haut; ensuite la troisii'me racine

deviendra \ A + \ B. Dans celte méthode, on voit que la quantité imaginaire n'est employée que pour faire réussir l'extraction de la racine cubique, sans laquelle on ne pourrait déterminer séparément les valeurs a et è; et, comme il parait impossible d'y parvenir autrement, on peut regarder comme une vérité démontrée que l'expression générale des racines de l'équation du troisième degré, dans le cas irréductible, ne saurait être indépendante des imaginaires.

Passons aux équations du (juatrième degré. Nous avons déjà dit que l'artifice qui avait servi d'abord à résoudre ces équations consistait à les préparer, de manière (ju'on pût extraire la racine carrée des deux membres, ce qui les abaissait au second degré. Voici comment : soit

x^ -(- px''-h qx H- /•= o

l'équation générale du quatrième degré, privée de son second terme,

ce qui est toujours possible, comme vous le savez, en augmentant ou

diminuant les racines d'une quantité convenable. Qu'on la mette sous

celte forme

x' ;= — px' — qx — /■,

et qu'on y ajoute de part et d'autre les termes 2x-y + y", qui contiennent une nouvelle indéterminée }', et qui n'empêchent pas que le premier membre ne soit encore un carré, on aura

(a:' -1-7)'= [ïy — p]x-— qx + }■— r.

Faisons maintenant en sorte que le second membre soit aussi un carré;

il faiulia, pour cela, que l'on ail

et alors la racine du carré sera

Ainsi, pourvu que la quanlilé j satisfasse à l'équalion précédcnlc, qui devient par le développement

et qui n'est, comme l'on voit, que du troisième degré, la proposée se réduira, par l'extraction de la racine carrée, à celle-ci

2 va.)'

où l'on peut prendre le radical \2y — p en plus et en moins; de sorte qu'on aura proprement deux équations du second degré, dans lesquelles la proposée se trouvera décomposée, et dont les racines donneront les quatre racines de la proposée, ce qui fournit le premier exemple de la décomposition des équations en d'autres de degrés inférieurs.

La méthode de Descartes, qu'on suit communément dans les éléments de l'Algèbre, est fondée sur le même principe, et consiste à supposer immédiatement (|ue la proposée soit produite par la multiplication de deux équations du second degré, telles que

ar' — ux-i-s=:o cl x'+ux+l=^o,

II, s, /étant des coeificients indéterminés; en les multipliant l'une par

l'autre, on a

x' -h {s -h t — u')x'-\- [s — l) itx + si =^ <),

dont la con>paraison avec la proposée donne

s+l—ii' = p, [s — t]nz=q, el *<=:/•;

les deux premières équations donnent

ces valeurs étant substituées dans la dernière si = r, on aura une équation en u du sixième degré, mais qui, ne contenant que les puissances paires de u, sera résoluble comme celles du troisième. Au reste, si dans cette équation on substitue 2v — p pour «-, on aura la même réduite en y que nous avons trouvée ci-dessus par l'ancienne méthode.

Ayant ainsi la valeur de ir, on aura celles de s et t, et la proposée se trouvera décomposée en deux équations du second degré, qui donneront les quatre racines cherchées. Cette méthode, ainsi que la précédente, donne lieu à un doute qui vient de ce que la réduite en li- ou en j, étant du troisième degré, doit avoir trois racines, de sorte (ju'on pourrait être incertain laquelle de ces trois racines il faudrait employer; cette difficulté se trouve bien résolue dans V Algèbre de Clairaut, où l'on fait voir d'une manière directe que l'on a toujours les mêmes quatre racines ou valeurs de x, quelle que soit la racine de la réduite qu'on emploie. Mais cette généralité inutile nuit à la simplicité qu'on peut désirer dans l'expression des racines de l'équation proposée, et l'on doit préférer les formules que l'on vous a données dans le cours principal, et où les trois racines de la réduite entrent également. Voici encore une manière de parvenir à ces mêmes formules, moins directe que celle qui vous a déjà été exposée, mais qui, d'un autre côté, a l'avantage d'être analogue à celle de Cardan, pour les équations du troisième degré.

Je reprends l'équation

et j'y suppose j'aurai d'ajjord

x'-h px- -h qx -h r^^o,

x':=f'-i- z'+ t'-\- 2(yz +yt + zt]

ensuilo, carranl de nouveau, j'ai

— y^z' + x-n-^ z'P+ 2yzl(y + z + /).

Je substitue ces valeurs tic x, a-, -r' dans la proposée, et je mets ensemble les termes qui se trouvent multipliés par j -i- s + /, ainsi (|ue par v; -l-.'»'^ + :■/; j'ai la transformée

{y'-h z'-h P)'-\-p{y'-i-z'-i- l') -h[4(j= + z'4- t')-\-ip](yz-hyt + zt)