j = s= + j'r+z»/') + (8j;/ + (/) [y+ z + l)-hr=o

Maintenant, comme pour les équations du troisième degré nous avons fait évanouir les termes qui contenaient y + s, nous ferons de même disparaître ici les termes qui contiennent

r-4-z-f-< el yz -h)'t -h zl,

ce qui nous donnera les deux équations de condition

iiyzt-^<j = o el ^{y''-h z'+ t^) -\- 2p=:o;

il restera alors l'équation

( j"-+-z'+ r)'-i-p{y'+ 2'+ /^) -)- 4(j'2'-4-/=/='-t- zT) -f- /• = o,

et ces trois équations détermineront les trois quantités y, s, /. La seconde donne d'abord

ri, cette valeur étant substituée dans la troisième, on aura

y'Z'-hy't'-^ Z'r=: 4- — 7-

SLK LES MATHÉMATIQUES. 2iï

De plus, la première, élanl élevée au carré, ilouiie

Donc, par la théorie générale de la formation des équations, les trois quantités/-, =', Û seront les racines d'une équation du troisième degré de la forme

it' -h ^ m' -+- ( 4.- — T 1 " — ^ = o;

2 \ib 4/ 64

de sorte que, si l'on nomme a, b, c les trois racines de cette équation, que nous nommerons la réduite, on aura

et la valeur de x sera exprimée par

y n -h \Jb -h ^ c.

Comme les trois radicaux peuvent être pris chacun avec le signe + ou —, on aurait, en faisant toutes les combinaisons possibles, huit valeurs différentes de x; mais il faut observer que, dans l'analyse

précédente, nous avons employé l'équation ■»-:;-«-= pi tandis que

l'équation donnée immédiatement est y:t= — ^•. ainsi il faudra que

le produit des trois quantités >', z, t, c'est-à-dire, des trois radicaux

soit de signe contraire à celui de la quantité q. D'où il suit : 1" que, q étant une quantité négative, il devra y avoir dans l'expression de x ou trois radicaux positifs, ou un positif et deux négatifs. On n'aura donc que ces quatre combinaisons

^ a -h \Jb -\- \^ <: , ^!a — \b — ^c, — s^a -\- \,b — \^!c , \(t—\b-^-^c,

qui seront, par conséquent, les quatre racines de la proposée du quatrième degré; 2° si q est une quantité positive, alors il devra y avoir

248 LEÇONS ÉLÉMENT AIKES

dans l'expression de x ou trois radicaux négatifs, ou un négatif et deux positifs, ce qui donnera ces (juatre autres combinaisons

qui seront les quatre racines de la proposée (*).

Maintenant, si les trois racines a, h, c de la réduite du troisième degré sont toutes réelles et positives, il est visible (jue les (|uatre racines précédentes seront toutes réelles aussi; mais, si parmi les trois racines réelles a, b, c il y en a de négatives, les (juatre racines de la proposée seront évidemment imaginaires. Ainsi, outre la condition de la réalité des trois racines de la réduite, il faudra encore, pour le premier cas, suivant la règle de Descaries que vous connaissez, (|U(' les coelRcients des termes de cette réduite soient alternalivement positifs et négatifs, et

que, par conséquent, on ail /> négatif et ^—, positif, savoir, p^'^^r.

Si l'une de ces conditions manque, la proposée du i|uatrième degré ne pourra pas avoir ses quatre racines réelles. Si la réduite n'a au contraire qu'une seule racine réelle, on observera d'abord qu'à cause du dernier terme négatif de cette réduite la racine réelle sera nécessairement positive; ensuite il est aisé de voir, par les expressions générales (|ue nous avons données des racines de ré(|uation du troisième degré privée de son second terme, forme à laquelle il est aisé de ramener la réduite en u,

(*) Ces formules simples el élé!j;mtes sont ducs à Eulcr; mais M. Tiret, professeur de Mathématiques à Grenolile, a fait l'observation importante {voyez la Ci>/rcs/joiir/(iric(; sur l'Jirolc Polrierlinùjiw, t. Il, lir Cahier, p. 9.17) qu'elles peuvent donner des valeurs fausses, lorsque parmi les trois radicaux il y en a d'imaginaires.

Pour éviter toute difficulté et toute ambiguïlc, il n'y a ipi'à substituer à l'un de ces radicaux sa valeur tirée de l'équation \fti\fb\/c =^ — >-• Ainsi la furmide

'i'fislb

donnera les (juatre racines de la proposée, en prenant pour a et b doux (iuclcon(|ucs des trois racines de la réduite, et prenant successivement les deux radicaux en plus et en moins.

Il faut appliquer cette remarque à l'article 777 de X Algèbre d'Euler, et à l'article 37 de' la Note XIII du Trailé de la résoluliun des équations numériques.

fil augmentant simplement toutes les raeiues de la quantité -?: il est

aisé, ilis-je, de voir que les deux laeines imaginaires de cette léduilc seront de la forme

Z+g-v-^ et f-gfr;

Donc, prenant a pour la racine réelle, eib, c pour les deux imaginaires, \a sera une quantité réelle, et sjb -h \c sera réelle aussi, par ce que nous avons démontré plus haut, et au contraire v^ — \c sera une quantité imaginaire; d'où l'on peut conclure que, des quatre racines trouvées pour l'équation proposée du quatrième degré, les deux premières seront réelles et les deux autres imaginaires.

Au reste, si dans la réduite en n on fait u =^ s — £■ pour en faire disparaître le second terme et le ramener à la forme que nous avons examinée, on aura cette transformée en s

le sorte que !a condition de la réalité des trois racines de la réduite sera