SL'R LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

On a VU comment on peut résoudre les équations du second, du troisième et du quatrième degré; le cin(iui('me degré présente une espèce de barrière (|ue les elforts des analystes n'ont pu encore forcer, et la résolution générale des équations est une des clioses qui restent encore à désirer eu Algèbre. Je dis en Algèbre, car si, dès le troisième degré, l'expression analytique des racines est insullisante pour faire connaître VIL 3?.

2o0 LEÇONS ÉLÉMENTAIRES

leur viilcui' iuim('Ti(|iie dans tous les cas, à plus forte raison le serail-elle dans les degrés supérieurs, et l'on serait toujours forcé d'avoir recours il d'antres moyens pour déterminer en nombres les valeurs des racines d'une équation donnée, ce ((ui est, en dernier résultai, l'objet de la solution de tous les problèmes que les besoins ou la curiosité olVrenl à résoudre.

.le me propose ici d'exposer les principaux moyens que l'on a imaginés pour remplir cet objet important. Considérons une équation (juelconcjue du degré m, représentée par la formule

dans hujuellc x soit l'inconnue, p, q, r, . . . des coeiïicionts connus positifs on négatifs, et a le dernier terme sans x, et connu aussi; nous supposerons que les valeurs de ces coefficients soient données en nombres on en lignes, ce qui revient au même; car, en prenant nne ligne donnée l)oiir unité ou mesure commune de toutes les autres, on pourra les évaluer toutes en nombres. 11 est clair que cette supposition a toujours lieu, lorsque l'équation est le résultat d'un problème réel et déterminé. Le but qu'on se propose est de trouver la valeur ou les valeurs de x, s'il y en a pkisieurs, qui satisfont à cette é(juation, c'est-à-dire qui rendent la somme de tous ses termes nulle; alors toutes les autres valeurs qu'on pourrait donner à x rendront celte môme somme égale à une quantité positive ou négative; et, comme il n'entre dans l'équation (jue des puissances entières de x, il est clair que toute valeur réelle de x donnera aussi pour la quantité dont il ^'agit une valeur réelle. Plus cette valeur approchera d'être nulle, plus la valeur de x, qui l'aura produite, approchera d'être une racine de l'équation; et, si l'on trouve deux valeurs de X, dont l'une rende la .somme de tous les termes égale à une quantité positive, et l'autre à une quantité négative, on pourra être assuré d'avance (ju'entre ces deux valeurs il y en aura au moins nécessairement une qui la rendra égale à zéro, et (|ui sera par consé(|uenl une racine de l'équation.

En ellet, désignons en général par P la somme de tous les termes de

SUR LES MATHÉMATIQUES. 2ol

réqualion qui ont lo signe +, cl par Q la somiiu; de tous les tL-nnes (jui ont le signe —, on sorte ((ue l'éijuation soit représentée par

supposons, pour plus de facilité, que les deux valeurs de x soient positives, A la plus petite, B la plus grande, et que la substitution de A à la place de.r donne un résultat négatif, et la substitution de B un résultat positif, c'est-à-dire, que la valeur de P — Q devienne négative lorsqu'on y fait a? = A, et positive lorsque a; = B.

Donc, lorsque a; = A, P sera moindre que Q, et lorsque a7 = B, P sera plus grand que Q. Or, par la forme des quantités P et Q, qui ne contiennent que des termes positifs et des puissances entières et positives de X, il est clair que ces quantités augmentent continuellement à mesure que X augmente, et qu'en faisant augmentera; par tous les degrés insensibles, depuis A jus([u'à B, elles augmenteront aussi par degrés insensibles, mais de manière que P augmentera plus que Q, puisque, de la plus petite qu'elle était, elle devient la plus grande. Donc il y aura nécessairement un terme entre les deux valeurs A et B, où P égalera Q; comme deux mobiles, qu'on suppose parcourir une même droite, et qui, partant à la fois de deux points différents, arrivent en même temps à deux autres points, mais de manière que celui qui était d'abord en arrière se trouve ensuite plus avancé que l'autre, doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. Cette valeur de x, qui rendra P égal à Q, sera donc une des racines de l'équation, et tombera nécessairement entre les deux valeurs A et B.

On pourra faire un raisonnement semblable sur les autres cas, et l'on parviendra toujours au même résultat.

On démontre aussi la proposition dont il s'agit, par la considération

seule de l'équation, en la regardant comme formée du produit des

facteurs

a, b, c... étant les racines; car il est évident que ce produit ne peut changer de signe par la substitution de deux valeurs dillerenles de.r.

(|u'iuilant qu'il y aura au moins un des facteurs qui changera de signe; ol même il est aisé de voir que, si plus d'un facteur changeait do signe, il faudrait que le nombre en fût impair. Ainsi, si A ol B sont les deux valeurs de oc qui rendent le facteur x — b, par exemple, de signe différent, il faudra que, si A est plus grand que b, B soit plus petit, ou réciproquement; donc la racine b tombera nécessairement entre les deux quantités A et B.

A l'égard des racines imaginaires, s'il y en a dans l'équation, comme il est démontré qu'elles sont toujours deux à doux de la forme

si a ol b sont imaginaires, le produit des facteurs x — a cl x — b sera

(luanlité toujours positive, quelque valeur (ju'on donne à x; d'où il suit que les cliangoiiionls de signe ne peuvent venir que des racines réelles. Mais, comme lo théorème sur la forme dos racines imaginaires ne se démontre rigoureusement qu'au moyen de cet autre théorème, que toute équation d'un degré impair a nécessairement une racine réelle, théorème dont la démonstration générale dépend elle-même do la proposition qu'il s'agit de démontrer, il s'ensuit que cette démonstration peut être regardée comme une espèce do corde vicieux, et qu'il était nécessaire d'y en substituer une autre à l'abri de toute atteinte.

Mais il y a une manière plus générale et plus simple do considérer les équations, laquelle a l'avantage de faire voii' à l'œil même les propriétés principales des équations. Elle est fondée sur une espèce d'application de la Géométrie à l'Algèbre, qui mérite d'autant plus do vous être exposée, qu'elle a des usages très-étcndus dans toutes les parties <les Mathématiques.

Reprenons l'équation générale proposée ci-dessus, et représentons |)ar des lignes droites toutes les valeurs su(;cessivos qu'on pourrait donner à l'inconnue x, ainsi que les valeurs corros|tondantos (juc recevra lo

|)reiTii(M" membre de l'équation. Pour cela, au lieu de supposer le second membre de l'équation égal à zéro, nous le supposerons égal à une quantité indéterminée y; nous porterons les valeurs de x sur une droite indéfinie AB (Jig. i) en partant d'un point fixe 0, où .x sera zéro, et nous

Fig. I.

prendrons les valeurs positives de x sur la partie OB, dirigée de la gauche à la droite; par conséquent, les valeurs négatives de x devront être prises sur la partie opposée OA, dirigée de la droite à la gauche. Soit donc OP une valeur quelconque de x; pour représenter la valeur correspondante de j, nous mènerons par le point P une perpendiculaire à la droite OP, et, si la valeur de y est positive, nous la porterons sur cette perpendiculaire en PQ au-dessus de la droite OB; il faudrait la prendre au-dessous de OB, en partant également du point P, si elle était négative. On fera la même opération pour toutes les valeurs de x, tant positives que négatives, c'est-à-dire qu'on prendra les valeurs correspondantes de 7 sur les perpendiculaires menées à tous les points de la droite, dont la distance au point 0 sera égale à x. Les extrémités de toutes ces perpendiculaires formeront une ligne droite ou courbe, qui sera comme le tableau de l'équation

X'" -+- px"'-~' -+■ qx"' ■ -h . . ■ + u --y.

On nomme AB l'axe de la courbe, 0 l'origine des abscisses, ()P= .r une abscisse, et PQ = y l'ordonnée correspondante, et l'équalion en r et > l'équation de la courbe. Cette courbe étant ainsi décrite, comme on le voit dans h/tg. i, il est clair que ses intersections avec l'axe AB don-

lieront les racines de l'équation proposée (B)

.r"-!- px'"-' -f- (jx^-'-h . . . -f- « = o;

car, comme cette équation n'a lieu que lorsque y devient zéro dans

l'équation de la courhe, les valeurs de x, qui satisfont à l'équation dont

il s'agit et qui en sont les racines, ne pourront être que les abscisses

qui répondent au point où les ordonnées sont nulles, c'est-à-dire on la

eourlie coupe l'axe AB. Ainsi, en supposant que la courbe de ré(ina-

tion en x et r soit celle de lay?^»-. i, les racines de ré([ualion proposée

seront

OM. ON, OR, ..., el —01, - OG, ....

Je donne le signe — à ces dernières, parce que les intersections I, (!,... tombent de l'autre coté du point 0. La considération de la courbe dont il s'agit donne lieu à des remarques générales sur les équations :

1° Gomme l'équation de la courbe ne contient que des puissances entières et positives de l'inconnue x, il est clair qu'à chaque valeur de a? répondra une valeur déterminée de v, et que cette valeur sera unique et finie tant que x sera fini; mais, comme rien ne limite les valeurs de x, elles pourront être supposées infiniment grandes, tant positives que négatives, et il leur répondra aussi des valeurs de y infiniment grandes; d'où il suit que la courbe aura un cours continu et simple, et qu'elle pourra s'étendre à l'infini de côté et d'autre de l'origine 0.

2° Il suit aussi de là que la courbe ne pourra passer d'un coté de l'axe à l'autre sans le couper, et qu'elle ne pourra revenir^lu même côté (|u'après l'avoir coupé deux fois. Par consé(|uent, entre deux points de la courbe placés du même côté de l'axe, il y aura nécessairement un nombre pair d'intersections; comme entre les points H et Q on voit deux intersections en I et M, et entre les points H et S on en voit quatre en I, M, .\, R. et ainsi de suite. Au contraire, entre deux points placés l'un d'un coté el l'autre de l'autre côté de l'axe, la courbe aura un nombre impair d'intersections; comme entre les points L et Q il y a une inteisection en M; entre les points H et K il y a trois intersections iMi I, M, .\, et ainsi du reste.

Par la même raison, il ne pourra y avoir (riiilerscclion sans (]ii(', eu deçà et au delà du point d'intersection, il n'y ail des points de la courbe placés des deux cotés, comme les points L, Q, par rapporta l'inlersection M. Mais deux intersections, comme N et R. pourraient se rapprocher au point de se réunir en T; alors la branche QKS prendrait la forme de la ligne ponctuée QTS, et toucherait l'axe en T, de manière ([u'elle serait toute au-dessus de l'axe; c'est le cas où les deux racines ON, OR deviendraient égales. Si trois intersections se réunissaient, ce qui a lieu dans le cas de trois racines égales, alors la courbe couperait de nouveau l'axe, comme dans le cas d'une seule intersection, et ainsi de suite.

Donc, si l'on a trouvé deux valeurs de ;,' de même signe, on sera assuré qu'entre les deux valeurs de x qui y répondent il ne pourra tomber qu'un nombre pair de racines de l'équation proposée, c'est-à-dire qu'il n'y en aura aucune, ou qu'il y en aura deux ou quatre, etc. Au contraire, si l'on a trouvé deux valeurs de y de signes différents, on sera assuré qu'entre les valeurs correspondantes de x il tombera riécessairemcnt un nombre impair de racines de la proposée, c'est-à-dire une, ou trois, ou cinq, etc., de sorte que, dans ce dernier cas, on en conclura sur-le-champ (ju'il y aura au moins une racine de la proposée entre les deux valeurs de x.

Récipro(]uement toute valeur de a; qui sera une racine de réi|ualion se trouvera entre des valeurs plus grandes et plus petites qui, étant prises pour .r, rendront les valeurs correspondantes de v de signe contraire.

iMais cela n'aurait point lieu si la valeur de .r- était une racine double, c'est-à-dire, si ré([ualion contenait deux racines de cette même valeui'. Au contraire, si la même valeur était une racine triple, il y aurait de même des valeurs plus grandes et plus petites qui rendraient les valeurs de V de signes différents, et ainsi de suite.

.Maintenant, si l'on considère l'équation de la courbe, il est d'abord visible qu'en y faisant a; = o on aura y= n\ de sorte (jue le signe de l'ordonnée r sera le même que celui de la quantité u, dernier terme de l'équation proposée. Ensuite il est aisé de voir qu'on y peut donner

256 LEÇONS ELEMENTAIRES

à a- iiiio valeur posilivo ou négalivc, assez grande pour que le premier terme a;'" de l'équation surpasse la somme de tous les autres (]ui auront un signe contraire à x'"; de sorte que la valeur correspondante de v aura alors le même signe que le premier terme a'". Or, si m est impair, .r'" sera positif ou négatif, suivant que ce sera positif ou négatif, et, si m est pair, x'" sera toujours positif, soit que x soit positif ou négatif.

D'où l'on peut conclure :

Eu premier lieu, que toute équation d'un degré impair, dont le dernier terme est négatif, a un nombre impair de racines entre x^=o et X très-grand positif, et un nombre pair de racines entre o^ = o et a; trèsgrand négatif, cl par conséquent au moins une racine réelle positive; qu'au contraire, si le dernier terme de l'équation est positif, il y aura un nombre impair de racines entre x =: o et £C très-grand négatif, et un nombre pair de racines entre x = o elx très-grand positif, et par consétjuent au moins une racine réelle négative;

En 'second lieu, que toute é(|uation d'un degré pair, dont le dernier terme est négatif, a un nombre impair de racines entre a= o et a; trèsgrand positif, ainsi ([u'entrc x = o et x très-grand négatif, et par conséquent au moins une racine réelle positive et une racine réelle négative; qu'au contraire, si le dernier terme est positif, il y aura un nombre pair de racines entre a: = o et .ce très-grand positif, et pareillement un nombre pair de racines entre .r = o el x très-grand négatif; de sorte que, dans ce cas, l'équation peut n'avoir aucune racine réelle ni positive ni négative.

Nous avons dit que l'on pouvait toujours donner à x une valeur assez grande pour que le premier terme x"" de l'équation surpassât la somme de tous ceux de signe contraire. Quoique celle proposition n'ait pas besoin de démonslralion, à cause que, la puis.sance x'" étant plus haute que toutes les autres puissances de x qui entrent dans l'équation, elle doit croître beaucoup plus rapidement que celles-ci, à mesure que x augmente; pour n'y laisser néanmoins aucun doute, nous allons la prouver d'une manière fort simple, qui aura même l'avantage de donner une limite, au delà de laquelle on sera assuré qu'aucune racine de

l'équation ne pourra se trouver. Pour cela, supposons d'abord x posilif, et que X- soit lo plus grand des coelfioients des termes négatifs; si l'on fait a' = k -h I , on aura

X"' =^{k -h i)"' = /(■(/)- -1- i)"-'-!- {/,■ + 1 )"•-', • or

( /.- + I )"■-' = A- ( fr + I )'"-^ -\.[l(-i-l ]".-2,

et de même

et ainsi de suite; de sorte qu'on aura

[/,- -hi)"— f, [/( -+- if'-' 4- /.-(/r + I )"'-'+ /r(A- + i)"-^ + . . . -f- /,• -f- I .

Or cette quantité est évidemment plus grande que la somme de tous les termes négatifs de l'équation pris positivement, et en y faisant x^ k + i; donc la supposition de x = A -+- i rendra nécessairement le premier x'" plus grand que la somme de tous les termes négatifs; par conséquent la valeur dey sera du même signe que x.

Le même raisonnement et le même résultat auront lieu pour le cas de X négatif, en changeant seulement x ea — x dans l'équation proposée, pour changer les racines positives en négatives et réciproquement.

On prouvera de la même manière que, si l'on donne à x une valeur quelconque plus grande que k-hi, la valeur de v sera toujours du même signe : d'où, et de ce (|ui a été démontré ci-dessus, on conclura d'abord qu'il ne pourra y avoir aucune racine égale ou plus grande (|ue A- -H I .

Donc, en général, si k est le plus grand coellicienl des termes négatifs d'une éijuation, et ([u'en changeant l'inconnue x en — x, h soil le plus grand coeiïicient des termes négfitifs de la nouvelle é(|ualion. en supposant toujours le premier posilif, toutes les racines réelles dr l'équalion seront nécessairement comprises entre les limites

A 4- 1 et — A — I .

Au reste, lorsque dans l'équation il y a plusieurs termes positifs avani ViL 33

2"^S I.KÇONS 1;LKMI:M VIKKS

ri p;u'eillenienl sons eelle-ei

A -H I "^A- /;■+ I = A 4-1 "-'+ AîÂ-f-i;'iyi-4- 1 )"-' + . .. + ;A4-ri',

l't ainsi de suite.

D'où il est aisé (le conclure que, si m — n est l'exposant du premier ternie négatif de l'équation proposée du degré m, et que / soit le plus grand coelReient des ternies négatifs, il sulFira de déterminer /• de manière (jue l'on ait

et, cuinme on peut pri'udre pour/' une valeur plus grande (|U(deon(|ue, il ^ullira (|ue l'on ait X" = /, e'esl-;i-dire k = \1.

Il en scr'a di- même de la (|naiililé //, jioiir la limite des racines négatives.

.Maintenant, si l'on eliangc l'inconnue .r en -> on sait (|ne les plus

grandes racines de ré(|ualion en x deviennent les plus petites dans la

transformée en z, et réciproqnenienl; on pourra donc, par cette Irans-

Ibrmalion, après avoir ordonné les termes suivant les puissances de :;,

de manière (|ue le premier leinie de ré(|uation soit z'" , tiouver île nn"'me

les limites

K -h I cl - II — I

des racini's positives et négatives de l'eiiualion en r.

.\insi, K -H I étant jdiis grand que la plus grande valeur de :; on de

-1 iiar la nature des fractions, t sera récinriMiuenieiil iilus nelit (lue

.r ' ' K -h I ' ' III

la plus |ietiti' valeur de x; et de même, v. - - sera plus pelil (|iie la plus

petite valeur négative de a;.

D'où l'on conclura enfin que toutes les racines réelles positives seront nécessairement comprises entre les limites

T- et /. -t- 1,

et que les racines réelles négatives tomberont entre les limites

On a (les méthodes pour trouver des limites plus resserrées; mais, comme elles exigent quelque tâtonnement, la précédente est préférable, dans la plupart des cas, comme plus simple et plus commode.

Par exemple, si, dans l'équation proposée, on substitue /+ - à la place de x, et qu'après avoir ordonné les termes suivant les puissances de z, on donne à / une valeur telle que les coefficients de tous les termes deviennent positifs, il est visible qu'il n'y aura alors aucune valeur positive de :; qui puisse satisfaire à cette équation : elle n'aura donc plus que des racines négatives; par conséquent /sera une quantité plus grande que la plus grande valeur de x. Or il est aisé de voir que ces coefficients seront exprimés ainsi

p -+- ml,

, m.' m — il ,, q -^ m — i pl-i /-,

!m — i][m — i] ,, m m — i][m — 7.) r + [m— 2 ql + ^ '-^ pl'-\ ^ ^ l\

et ainsi de suite, et il n'y aura qu'à clierdier. en tâtonnant, la plus petite valeur de /, qui les rendra tous positifs.

Mais il ne suffit pas le plus souvent d'avoir les limites des racines d'une équation, on a besoin de connaître les valeurs mêmes des racines, du moins d'une manière aussi approchée que les circonstances du problème peuvent le demander; car chaque problème conduit en dernière analyse à une équation qui en renferme la solution; et, si l'on n'a pas

2i;o LEr.oNS i:i.i:mi:m'miu;s

dos nioyons de résoudre cclU' (■(iiuitioii, Imil le caliiil (|ii'iiii ;i luit osl en |Uii'i' piM'Ic. Oïl ptnil donc i(';,Mrdoi' l'i' point coiunu" lo plus iiiiporlaiU di' loiiti' rAiialysi-, l'I, par ccUc raison, j'ai crn devoir en l';iiie l'id)]»'! principal de celle Leçon. Il suit des principes élaldis plus haul sur la nature de la courbe dont les ordonnées y représentent toutes les valeurs du premier nienihre d'une é(|ualion (|uc, si l'on avait un moyen de la décrire, on aurait tout de suite, par ses intersections avec l'axe, toutes les racines de l'équation proposée; mais il n'est pas nécessaire d'avoir pour cela la courbe entière : il snflit de connaitre les parties qui son! de part et d'autre de cliaiiue inteisection. Or ou peut trouver aulanl de points de cha(|ue courbe que l'on veut, aussi procbes entre eux (]u'oii voudra, eu substituant suecessivemenl pour.r diiierents nombres assez voisins l'un de l'autre, et en prenant pour )' les résultats de ces substitutions dans le premier membre de ré(|uation. Si, dans la suite de ces résultats, il s'en trouve deux de silènes contraires, on sera assuré, |»ar les piincipes posés ci-dessus, (ju'il y aui'a au moins une racine réelle entre les deux valeurs de x (]ui les ont donnés; alors on pourra, par de nouvelles substitutions, resserrer ces deux limites et approcber aussi près (]u'on voudra de la racine cbercliée.

En ell'et, si l'on nomme A la plus jjetite et ]{ la plus grande des doux valeui's de .i- (]ui ont donné des résultats de signes contraires, et qu'on demande la valeur de la racine exacte au iu)nibre ii près, fi étant une iraclion aussi petite qu'on voudra, on substituera successivement à la place de .r les nombres en progression aritbméliciue

K-ii, I!-..«, B-3/1, ....

jusqu'il ce qu'on arrive à un résultat de signe contraire à celui de la substitution de .\ ou de B; alors les deux valeurs successives de x qui auront donné des résultats de signes contraires seront nécessairement l'une |dus grande et l'antre plus petite (jue la racine cbercliée; et comme ces valeurs n<; diirerent par l'bypotbi'se que du nombre n, il s'ensuit que

chacune d'elles approchera de la racine plus que de la quanlilé n, de sorte (jue l'erreur sera moindre que n.

.Mais comment déterminer les premières valeurs à substituer pour x, de sorte que, d'un cùlé, on ne fasse pas trop de tâtonnements inutiles, et que de l'autre on soit assuré de découvrir par ce moyen toutes les racines réelles de l'équation? En considérant la courbe de l'équation, il est aisé de voir que tout se réduit à prendre les valeurs telles, qu'il v en ait au moins une qui tombe entre deux intersections voisines, ce qui arrivera nécessairement si la différence entre deux valeurs consécutives est moindre que la plus petite distance entre deux intersections voisines.

Ainsi, supposant que D soit une quantité plus petite que la plus petite distance entre deux intersections qui se suivent immédiatement, on formera la progression arithmétique

et l'on ne prendra de cette progression que les termes qui tomberont entre les limites

el k -\-\,

déterminées par la méthode donnée ci-dessus; on aura les valeurs qui, étant substituées pour x, feront connaître toutes les racines positives de l'équation, el donneront en même temps les premières limites dt; chaque racine. On formera de même pour les racines négatives la progression

dont on ne prendra que les termes contenus entre les limites

— — -^ el — h- t.

\ oila la difficulté résolue; mais il s'agit de trouver la (|uantité D, paila condition qu'elle soit plus petite que le plus petit intervalle entre deux intersections voisines de la courbe avec l'axe, ("omme les abscisses qui répondent aux intersections sont les racines mêmes de l'équation pro-

m-2 LEVONS KLi: M F. NT A 111 ES

posée, il est chiir (pie la (|iiestioii se irdiiil ii Irouver une qiiaïuile plus

pelite (|iie la plus |)eliU! (lillérenco entre les deux raeines, abslraclioii

l'aile (le leur sif;ne; il n'y aurait donc qu'à elierelier, par les uiétliodes

(loni ou a |)arlé dans les leçons du cours principal. r('(|uation dont les

racines seraient les dillerences entre les racines de la proposée. On

clierclicrait, par les moyens ex|)osés plus haut, une t|nantité |)lus |)elite

que la plus [tetitu racine de celle dernière é(]ualion, cl l'on prendrait

celte quaiililc pour la valeur de D.

Celle uiélliode ne laisse, coumie l'on voit, rien à dcsii'cr pour la

solution rij;-ourcusc du pruhli'Uie; mais elle a rinconvénient (l'cxi^^er un

calcul fort lont;, surloul si ré([ualion proposée est d'un degré un peu

élevé. Kn cll'cl, on a vu que, si m est le degré de l'équation primilivc,

celui de ri'(]ualion des dillerences sera mim — i), parce (|ue chacune

des racines pouvant être soustraite de toutes les autres, qui sont au

nomhre de m ~ \ , il en résulte m' m — i) dillerences; mais, comme

cha()ne dillérence peut élie positive ou négalive, il s'ensuit que ré(|uation

des dillerences doit avoir les mêmes racines en plus et en moins; que

pai- consécpu'nt elle doit inan(|uer de tous les termes où l'inconnue serait

élevée à une puissance impaire, de sorte (jue, en prenant le cai re des

dillerences pour inconnue, celle inconnue n'y montera ([u'au ilcgré

m' m — • 1 1 !• 1 • 1 . • Il

• 11 lauurait donc, pour une ecjuation uu degré m, Irouver

(1 ahonl une Iranslormce du degré - -> ce (|Ui peut cire d une

longueur extrême et rehutante, si tn est un nomhn; un peu grand. Par exemple, poui' une éqiialion du dixii'ine degré, la transformée scw'ail du quaranle-cin(|nième. Comme cet inconvénient peut rendre, dans heaucoup de cas, la méthode presque impraticahle, il est important de cheicher un moyen d'y remédier. Pour cela, reprenons ré()ualion proposée tlu degré m,

X'" -f- pX"'~' ■+- qx"'~'' +...-(- H =: O,

dont les racines soieni a, h, f,...; on aura donc

«"' -f- pa"-' ■+■ qa""-' -h ... + « = o,

SLU LES MATHÉMATIQUES. 2C3

el de même

//'" -+- pb"—' -+- qù'" ■ -f- ...-+- f< = o.

Soit h — a = {, donc 6 = a -+- ? ; substituons cette valeur de h dans la seconde équation, et si, après avoir développé par la formule connue les différentes puissances de a -h i, on ordonne l'équation résultante suivant les puissances de i, en commençant par les moins hautes, on aura une transformée de cette forme

P-4-Q/ + R/^H-...-hr=o,

dans laquelle on aura

P = a" -f- />a"— ' + qa"'-'' + . . . + n,

Q = ma"'~' + : m — i )pa"'^' -h m — 2 ) qa'"~' -h . . . ,

m • m — 1 1 {m — T ' /» — 2 ) m — 2 1 1' m — 3 , «"-'H pa''-'-h na"-' --

et ainsi de suite, la loi des termes étant visible.

Or, par la première équation en a, on aP = (i; donc, effaçant le terme P de l'équation en ;', et divisant tous les autres par /, elle ne montera plus qu'au degré m — i, et sera par conséquent

Cette équation aura donc pour racines les m — i différences entre

la racine a et les autres racines b, c, De même, si l'on substitue b à

la place de a dans les expressions des coefficients Q, R,..., on aura l'équation dont les racines seront les différences entre la racine b et les autres racines a, c,. ., et ainsi de suite.

Donc, si l'on peut trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de toutes ces équations, elle aura la condition demandée, et pourra être prise pour la quantité D dont on cherche la valeur.

Si l'on éliminait a de l'équation en /. au moyen de l'équalion P = o, on aurait une équation en i cjui renfermerait toutes celles dont nous venons de parler, et dont il n'y aurait (ju'a chercher la plus petite racine.

■26'* I.Kr.ONS KI.KMI.NI AIRES

-Miiis celU' é(|ii;Uiou simple en / ne sciait ;iutrc cliosP i|ni' i'((|ii;itiiiii

(les ditlV'roiU'cs dont on voiidiail se passer.

Faisons, ilans l'éijuation ci-ilessus eu /, /= -; on aura celle Iraiis-

litrmee en ;

et le plus i^iMnd eoellicienl négatif de cette é(inali()n douiuTa. par ce (|ui a été déuioulré plus haut, une valeur plus grande ([ue sa plus grande racine; de sorte qu'en nonunani L ce plus grand eoeriieicnt, L + i sera une (|uantilé jjIus grande (jue la plus grande valeur de r; par consé- (|ueiit, •. - seia une (|iiantité [)lus petite (pie la plus petite valcnr positive de /; et l'on trouvera de nu"'nie une quantité plus i)ctite (jue la [)lns pclile valeur négative de /.Ainsi l'on pourra prendic p(uir 1) la plus petite de ces deux quantités, ou une quantité (|uelc()n(iue plus petite (|ue l'une et l'autre.

Pour avoir un résultat plus siiu|)le et indépendant des signes, on peut réduire la (|ueslion ii tiouver une (piantité I, plus gian<le (juc eliacun des eoenicicnls de l'équation en ;, abstraction faite des signes, et il est clair (jne, si l'on trouve une (|uantité N plus petite ([uc la plus petite \aleui- de Q, et une (juanlité M plus grande (jue la plus grande valeur de chacune des quantités R, S,..., abstraction l'aile des signes, on pourra prendre L = ^ •

(iomniençons par eherchei' les valeurs de M. Il n'est ]>as dillicile de prouver par li-s principes établis ci-dessus (|ue, si /■ -f- i est, coinine plus haut, la limite des racines positives, el — /; - i la limite des racines négatives de ré(|ualion proposée, etqu'on substitue sncci'ssivenient dans les cx|tressions de R, S à la place de a, /■ + i et — // i , en ne tenant compte que des termes (|ui auront le même signe (|ue le premier, on aura des (|uantités plus granilcs (|iic les plus grandes valeurs jiositives et négatives (h; R, S,... répondant aux racines a, h, <:,... de l'équation proposée; de sorte qu'on pourra prendre pour M la plus grande de ces dillércnles (juantités, abslraclion faite des signes.

Il ne restera donc plus qu'à tiouvei' une valeur pins petilc (jue l:i plus petite de Q; or il ne parait pas qu'on puisse y parvenir autrement ipie par le moyeu de l'équation dont les différentes valeurs de Q seraient les racines, équation qui ne peut être que le résultat de l'élimination de a entre ces deux-ci

])a'"-' -+- qa"' --h . .

qa'"

11 est aisé de démontrer, par la théorie connue de réiiminalion, que l'équation résultante en Q ne sera que du degré m, c'est-à-dire du même degi'é que la proposée, et l'on peut démontrer aussi par la forme des racines de cette équation qu'elle manquera de son pénultième terme. Si donc on cherche, par la méthode donnée plus haut, une quantité plus petite, abstraction faite du signe, que la plus petite racine de celte équation, cette quantité pourra éli'e prise pour N; ainsi le problème est résolu moyennant une équation d'un même degré que la proposée. Voici à quoi la solution se réduit; je conserverai pour plus de simplicité la lettre a7 à la place de «.

Étant proposée l'équation du degré w,

x" ■+- px"'~' 4- q x"'~'' + rx'"^' -(-...= o,

soit ^ le plus grand coeificient des termes négatifs, et m — n l'exposanl de X dans le premier terme négatif; soit de même h le plus grand coefiicienl des termes de signes contraires au premier, en changeant or en — X, et m — n' l'exposant de x dans le premier terme de signe contraire au premier; on fera

/=\'TTT Cl g = v'/« + i,

et l'on aura d'abord /'et — g pour les limites des racines positives et

négatives. On substituera successivement ces limites à la place de .r

dans les formules suivantes, en n'ayant égard qu'aux termes qui se Irou-