VII
■2M I.KCONS I;I.1:MI:N 1 MllKS
vei'Uil ilii iiu'iiii' Mj^iic ([ur le incinicr.
m III — I m — I m — ^
ni m — I m
m — I III — 2 III — 3]
l't ;iiiisi (le suite; le iu)ml)ii' (le ces fonnuk'S sera //) — ■j'.. el rmi iiomineia M hi plus iiiMiide ties ([iKiiililes ([iroii aura de celle luaniere, en laisaiit alistraclioii des signes. On l'ei'a ensiiile re(HiarHHi
/)(.i*-' -t- II) — I px"'~'--\- m — 2 (/.( "~^-t- ni — 3 r.i"' ' + . . . = >%
e| l'on eliiniiieca ,i' au iiKiveii de ri't|natiuu piuposée ; ce (iiii doiiiiei'a mie e(|iialion on y du iiiéiue dei^ré ///, (['.li niaïujiieia de son pénultième terme. SnienI V le dernier terme de cette (•(|iiali<)n en v. T le plus i;rand coellicient (les termes de sii;ne cdulraiic ;i V, en snp|)iisant ■»■ tant positil'(|ue né^alil'; ces deux (juauliti-s T et V étaul prises posilivement, on déterminera N |)ar réiiualion
-^.-Vl
en pr<Mianl /( égal à l'cxposanl du dernier terme dn signe eonlraire à \'. On prendra ensuite 1) éiral ou plus iielil (pie la (luantité .. — ^• et l'on l'ormera les |u'ogressions arillimeli(iues
n, .1», SI),
(iui' l'on continuera, de part el d'autre, entre l(;s limites /et — g; les ternies de ces progressions, étant suecessiveni(;nl substitués pour x dans l'e(]natioii proposée, metlronl en évidence tonles les racines ré(dles, tant positives (jue négatives, par les cliangemeiils de signe dans la suite des ii'snllals de ces siilislilulioiis, et en donneronl en même temps les premii'res limites, (|n'oii pourra ensuite re:-serrer ;i volonté, ainsi (|n'on l'a l'ail voir plus haut.
Si le dernier terme V de ré(|uati(jn en J résnltanl de l'idimination de .r e.-t nul, alors N sera nul, el pai' consécjuent 1) sera égal à zéro;
SUR LES MATIIKMM IQUES. -207
inais, dans ce cas, il est clair ([iie l'équation en j aura une racine égale à zéro, et même deux, par le nian(|uf du péiiulliènîc terme; |)ar conséquent, l'équation
m x"'^' + [m — 1 1 ^ jr"-' + ( m — i q x"'~' -t- . . . m o
aura lieu en même temps que la proposée. Ces deux équations auront ilonc un diviseur commun, (|u'on pourra trouver par la méthode connui'. et ce diviseur, égalé à zéro, donnera une ou plusieurs racines de la proposée, qui seront en même temps des racines doubles ou multiples, comme il est facile de le prouver par la théorie précédente; car alors le dernier terme Q de l'équation en ?' sera nul; par conséquent on aura
/ ^ o et rt = b.
L'équation en j, par l'évanouissement de son dernier ternie, s'abaissera au degré m — 2, parce qu'elle se trouvera divisible par j-. Si, après cette division, son dernier terme était encore nul, ce serait une marque (|u'elle aurait plus de deux racines égales à zéro, et ainsi de suite. On la diviserait donc autant de fois par j qu'il serait possible, et l'on prendrait ensuite son dernier terme pour V et le plus grand coelïicicnt des termes de signes contraires à V pour T, pour avoir la valeur de D, qui servira à faire connaître toutes les autres racines de la proposée. Si la proposée est du troisième degré, comme
x^ -h qx + r= o,
on trouvera pour l'équation en y
Si la proposée était
on trouverait celle-ci en y,
r'-t- Sry'-h (4 y' — i6(js -h iSr' y- + ?5G4' — izHs'q'
-t- iGs^' -1- 144'"'*'/ — 4'''/' — 27 /•' = o, et ainsi de suite.
2G8 I.KCONS KI.KMKMAIKKS
Au resti'. roimiu' la rfcluTclic de rfiiiiatioii en y piMil l'Irc |icnil)lc pailcs méllioilt's ordinaires (réliiniiialioii, voici des t'oitiuilos géncralos dont la donionsiration dépoiul dt's propriclfs connues des ('(luations.
On t'ornicra iraiiord, d'après los cot'llicicnls/j, ij, r, ... do la proposée, les (|uantités .r,, .i\, a':, de celle nianièic :
