X:! z^ — px, — y.q
Xi =r — pX: — qx, — 3 /■,
Du substituera dans l'expression de v, dans c(dles de ;--. d('j^
jusqu'à y"\ a|)ri's le développement des termes en x, les quanlités a-, pour .r, .i\ pour .»•-, .r^ pour .i',..., et l'on désignera par Vi. Vj, i3 .... les valeurs de v, y-, y\ . . . résultant de ces substitutions.
.Mors on n'aura plus i|n'à toiiner les (juantités .\, 15, ('.,... par les formules
■I I on aura cette écpiation en v
f,a valeur ou plutôt la limite de D, ([u'oii trouvera par la méthode ipn- nous venons d'exposer, pourra être souvent beaucoup plus petite iju'il ne siM'ait nécessaire poiii' l'aire; ilecouvrir toutes les racines; mais il n'y aura à cela d'autre inconvénient (|ue d'augmenter le nombre îles subslitutions successives à faire pour x dans la |)roposée. D'ailleurs, loiS(|u'on a ti'ouvé autant de ri'Siiltats (|u'il v a d'unités dans l'exposant du dej,'ié de l'équation, on peut les continuer aussi loin (]n'on veut par la simple addition des diflércnecs premières, secondes, etc., parée que
les différences de l'ordre qui répond à ce degré seront loujoiiis constantes.
On a vu plus haut coniiueul on peut décrire la courbe de ré(|ualion proposée par plusieurs points, en donnant successivement aux abscisses œ différentes valeurs, et prenant pour les ordonnées y les valeurs résultantes du preniier membre de l'équation; mais on peut trouver aussi ces valeurs de v par une construction fort simple, qui mérite de vous être exposée. Représentons l'écjuation proposée pai'
a -h bx -h ex- -\- dx' -l- . . . =: o,
en prenant les termes dans l'ordre inverse; l'équation à la courbe sera
yz= a -{- bx -h ex' -+- dx^ -t- . . . . Ayant mené {fig. t.) la ligne droite OX, (ju'on prendra pour l'axe des
Fig. 2.
abscisses dont 0 sera l'origine, on prendra sur cette ligne la partie 01 égale il l'unité des quantités a, b, c,..., qu'on peut supposer exprimées par des nombres, et l'on élèvera aux points 0, I les perpendiculaires CD, IM. On prendra ensuite sur la ligne OD les parties
OA = rt, AB = />, M. = c, CD=:</, ....
et ainsi de suite. Soit maintenant OP = x, et soit menée au point P la perpendiculaire PT. Supposons, par exemple, que d soit le dernier d.s
270 I.KÇONS Kl.r.MI.N I \IKi:S
l'Oi'Iliiifiils rt, h, (■,..., en sorle (|ur la proposée ne soil ([uc du Iroisii-nie
ile^q-é, et (ju'il s'agisse d'avoir la valeur de
)•=«-+- l>x + cx^ -+- <l.r'.
I.e |M>inl I) etaiil ainsi le dernier de eenx (jiii oui ele deleniiiiies siii' la pi'rpendiciilaire 01), et le puiiit C l'as anl-dernler, on iiii'iiera par I) la pai'allèlo D.M à l'axe ()I, et par le point M, où celte ligne eoupe la perpendicnlaiie I.M, on mènera au point C la droite (^.M. ensuite par le point S, où eelte di'oite coupe la perpendiiulaiic l'T, (in nÙMU'ia IISI, parallèle a ()1, et par le point L, où cette parallèle coui)c la perpendiculaire I.M, on mènera au point \i la droite lîl,. Do nicme, par le point H. où cetti' di-oite coupe la per|)endi(iilaire l'T, on mènera la parallide GRK il ()I, et |)ar lo point K, où cette parallèle coupe la perpendiculaire IM, lin mènera à la première division A de la per|)endiculaire 1)0 la droite AK. Le point Q, où cette droite coupera la per[)endiculaiie PT. douneia la |)arlie PQ ^^y.
En ell'et, soit menée par O la parallide FQ à l'axe OP. Les deux triangles semlilaldes CDM et C.IIS donneront
DM 1 : IJC */ — HSixl : Cil (=f/;r ; ajiuitanl ('.15 r , on aura
BlI r-^ c -+- (Ix.
De même, les deux triangles semblables l'.IIL. lUiK doniieronl
IIL 1 : Uli c + Jx]=^Gl\ix] :h(i{—cx -{- Ux');
ajoutant A\> h , on aura
AG - - h -i- ex -+- (lx\
Liilin les triangles semhlaliles Adk el AI'O donneront
( I K 1 : < I A h -h ex -h dx- = FQ ( x ' : FA (=; bx -\- ex"" + </x') ;
ajiiutant OA a . on aura
OF = PQ = rt -f- l>x -h ex- -+- (Ix'—j:
SUR LES M VTHEMATinUES. 271
La môme construction et la même dcmonstralion auront lieu, (|Ufl ([ue soit le nombre des termes de l'équation propesée.
Il faudra seulement avoir soin, si quelques-uns des coefïicients a, b. c... étaient négatifs, de les prendre dans le sens opposé. Par exemple, si a était négatif, il foudrait prendre la partie OA au-dessous de l'axe 01. Ensuite on partirait de même du point A pour y ajouter la partie AB égale à i; si è est positif, on prendra AB dans le sens OD; mais, si h était négatif, il faudrait prendre AB dans le sens opposé, et ainsi des autres.
A l'égard de x, on prendra OP dans le sens de 01, supposé éga! à l'unité positive, lorsque x sera positif; mais on prendi-ait OP dans le sens opposé, si x était négatif.
Il ne serait pas difficile, au reste, de former, d'après cette construction, un instrument qui s'appliquerait à toutes les valeurs des coellicients a, b, c,..., et qui, au moyen de quelques règles mobiles avec des charnières, donnerait pour chaque point P de la droite OP le point correspondant Q, et qui servirait à décrire la courbe même par un mouvement continu. Cet instrument pourrait ainsi servir à résoudre toutes les équations; du moins servirait-il à trouver les premières valeurs approchées des racines, par lesquelles on en trouvera ensuite de plus exactes.
