LEÇON CINQUIEME

SIR l'iSAGE des courbes dans la solution des IMIORLÈMES.

Tant que l'Algèbre et la Géométrie ont été séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés; mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêté des forces mutuelles et ont marché ensemble d'un pas rapide vers la perfection. C'est à Descartes (|u'on doit l'application de l'Algèbre à la Géométrie, application (jui est devenue la clef des plus grandes découvertes dans toutes les branches des Mathémati(|ues. La méthode que je vous ai exposée dcrnii'rement pour

trouver et démonlrer plusieurs propriétés générales des cqualions par la considération des courbes qui les représentent, est proprement une espèce d'application de la Géométrie à l'Algèbre; cl, comme celle méthode a des usages très-étendus, cl peut servir à résoudre facilement des Problèmes dont la solution directe serait très-diincile ou même impossible, je crois devoir vous en entretenir encore dans celle séance, d'autant plus qu'on ne la trouve guère dans les Éléments ordinaires d'Algèbre.

Vous avez vu comment une équation d'un degré quelconque peut se résoudre par le moyen de la courbe dont les abscisses représentent l'inconnue de l'équation, et dont les ordonnées sont égales à la valeur du premier membre de l'équation pour chaque valeur qu'on donne à l'inconnue. 11 est clair que cette mélhode peut s'appli(]uer en général à toutes les équations, quelle que soit leur forme, cl qu'elle ne demande pas que l'éijuation soit développée et ordonnée par rapport aux différentes puissances de l'inconnue. Il suflil donc que tous les termes de l'équation soient dans un seul membre, en sorte que l'autre membre soit égal à zéro; alors, en prenant de même l'inconnue pour l'abscisse X, et la fonclion de l'inconnue, c'esl-a-dire la (juantité composée de celle inconnue el des connues, laquelle forme l'un des membres de l'équation, pour l'ordonnée j, la courbe décrite d'après ces ordonnées X tly donnera, par ses intersections avec l'axe, les valeurs de x qui seront les racines cherchées de r('(|uation donnée. Et comme le plus souvent on n'a pas besoin de connaître toutes les valeurs possibles de l'inconnue, mais seulement celles qui peuvent l'ésoudrc le Problème dans le cas dont il s'agit, il suilira de décrire la |)orlion de courbe <|ui pourra répondre à ces valeurs, ce (|ui épargnera beaucoup de calculs inutiles. On pourra même de celle manière juger d'abord, par la ligure de la courbe, si le Problème a des solutions possibles, conformément aux circonstances qui [jcuvenl les limiter.

Supposons, par exemple, que l'on demande de trouver, sur la ligne qui joint deux lumières dont l'intensité est donnée, le point qui recevra une quantité de lumière donnée, en parlant de ce principe de Phy-

SUR LES MATHKMATIOUES. 273

sique, que l'effet d'une luuiiëre déiroit dans le même rapport que le carré de la distance augmente.

Nommons a la distance entre les deux lumières, et a; la distance du point cherché à l'une des lumières, dont l'intensité ou la quantité de lumière à la distance = i soit M, celle de l'autre lumière étant N; on aura — et ^^.^ pour exprimer les effets de ces deux lumières sur

le point en question; de sorte que, désignant l'effet total donné par A. on aura l'équation

OU hien

X- [a — J:)^ On considérera donc la courbe dont l'équation sera

et l'on verra d'abord qu'en donnant à x une valeur très-petite, positive

ou négative, le terme — deviendra très-grand positif, parce (ju'une

fraction augmente d'autant plus que son dénominateur diminue, de sorte qu'il sera infini au point où a- = o. Ensuite, x croissant, le terme

— ira en diminuant; mais I autre terme -,? qui était — lorsque

x = o, augmentera continuellement, jusqu'à devenir très-grand ou infini lorsque x aura une valeur très-voisine de a ou égale à a.

Si donc la somme des deux termes peut devenir moindre que la quantité donnée A, en donnant à x des valeurs depuis zéro jusqu'à a. la valeur de j, qui était d'abord très-grande positive, deviendra négative, et redeviendra très-grande positive; par conséquent, la courbe coupera l'axe deux fois entre les deux lumières, et le Piohlème aura deux solutions. Ces deux solutions se réduiront à une seule, si la plus petite

valeur de

ar» "*" [a — xY VII. 35

était exactement égale à A, et elles deviendront imaginaires si celte valeur était plus grande que A, parce qu'alors la valeur de j serait toujours positive depuis x = o jusqu'à x = a; d'où l'on voit que, si c'est une condition du Problème que le point demandé tombe entre les deux lumières, il est possible que le Problème n'ait aucune solution; mais, si le point peut tomber sur le prolongement de la ligne qui joint les deux lumières, nous allons voir que le Problème est toujours résoluble (le deux manières. En elTet, en supposant x négatif, il est visible que

le terme — restera toujours positif, et de très-grand qu'il est près dû

point où X = o, il ira toujours en diminuant lorsque x croîtra, jusqu'à

devenir très-petit ou nul lorsque x sera très-grand ou infini; l'autre

terme sera d'abord = —■, et ira aussi on diminuant jusqu'à

devenir nul lorsque x sera devenu infini négatif. Il en sera de même en

supposant x positif et plus grand que a; car, lorsque a; = «, le terme

N 7 sera infini; ensuite il ira en diminuant jusqu'à devenir nul

lorsque a; sera infini, et l'autre terme — sera d'abord = — , et ira aussi ^ X- n-

en diminuant jusqu'à zéro à mesure que accroîtra.

Donc, quelle que soit la valeur de la quantité A, il est visible que les valeurs de j passeront nécessairement du positif au négatif, tant pour lésa; négatives que pour les x plus grandes que a. Ainsi il y aura une valeur négative de x et une valeur positive plus grande que a, (jui résoudront le Problème dans tous les cas. On les trouvera par la méthode générale, en rapprochant successivement les valeurs de x, qui donneront des valeurs de y de signes contraires.

A l'égard des valeurs de x moindres que a, nous avons vu que la réalité de ces valeurs dépend de la plus petite valeur de la quantité

on verra dans le Calcul différentiel comment on détermine les plus petites et les plus grandes valeurs d'une quantité variable; nous nous

contonlcrons de rcinar(iuer ici que la quantili' dont il s'u^^it soia la plus petite ou un iniiiimum, lorsque

■r yM rt — or ~ V N"'

de sorte qu'on aura

et de là on trouvera, pour la plus petite valeur de la quantité dont il s'agit,

par conséquent, il y aura deux valeurs réelles de jc si cette quantité est moindre que A; mais ces valeurs seront imaginaires si elle est plus grande. Le cas de l'égalité donnera deux valeurs de x égales entre elles.

Je me suis un peu étendu sur l'analyse de ce Problème, qui n'est, au reste, que do pure curiosité, parce qu'elle peut servir pour tous les cas semblables.

L'équation du Problème précédent, étant délivrée des fractions, sera

de cette (orme

A ^- ! a — X V" — yi'a — X ' — N .r' = o,

laquelle, étant développée et ordonnée, montera au quatiièuie degré. et aura par conséquent quatre racines; ainsi, par l'analyse (jue nous venons de donner, on pourra connaître tout de suite la nature de ces racines. Comme il peut résulter de là une uiétbode applicable à toutes les équations du quatrième degré, nous allons en dire un met en passant. Soit donc l'équation générale

x' -h px- + qx -{- r = o;

on a déjà vu que, si son dernier terme est négatif, elle aura nécessairement deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative; mais, si ce terme est positif, on n'en peut rien conclure en général sur la nature

•le ses racines. Qu'i>n donno à cette équation la forme

(x' — a'Y -i- b[x + a]' -h c[x — aY= o, laquelle, clanl développée, devient

x' -\- [b -\- V — ia^)x^ + ?.rt(6 — <•) A- -f- rt' + rt'(6 + c) = o; d'où l'on liie, en comparant les termes,

b -\- c — 7.a^ =z p, ia[b—c]^=q, rt' + rt»(6 -f c) = r,

et de là

h+ c=i p + o.a-, b — c ^= —1 3rt* + »«'=/■;

de sorte qu'en résolvant celte dernière équation, on aura

ti ■ V 3 36

Or nous supposons ici r positif; dom^ «^ sera réel positif, e( par consé- (|uenta réel; donc aussi b etc seront réels.

Ayant donc déterminé de cette manière les trois quantités a, b, c, on aura la transformée

Si l'on fait le second membre de celte équation = j, et qu'on considère la courbe dont x seront les abscisses et y les ordonnées, il est d'abord visible que, lorsque è et c seront des quantités positives, cette courbe sera toute au-dessus de l'axe; par conséquent l'équation n'aura aucune racine réelle. Supposons, en second lieu, que b soit une quantité négative, et c une quantité positive; alors a; = a donnera y = f\bà^, quantité négative; ensuite x très-grand positif et négatif donneront y trèsgrand positif; d'où il est aisé de conclure que ré(]uation aura deux racines réelles, l'une plus grande que a, et l'autre moindre que — a. On trouvera de même que, si b est positif et c négatif, l'équation aura

deux racines réelles, l'une plus graiule et l'autre moindre que a. lîntin, si h et c sont tous les deux négatifs, alors j sera négatif, en faisant

X =z a et X = — rt;

ensuite il sera positif très-grand pour x très-grand positif ou négatif; d'où l'on conclura encore qu'il y aura deux racines réelles, l'une plus grande que n, l'autre moindre que —a. On pourrait pousser ces considérations plus loin, mais nous ne nous y arrêterons pas davantage quant à présent.

On a vu, par l'Exemple précédent, que la considération de la courbe ne demande pas que l'équation soit délivrée des expressions fractionnaires; on doit dire la même chose relativement aux expressions radicales; il y a même un avantage à y conserver ces expressions telles que l'analyse du Problème les donne; c'est qu'on peut n'avoir égard (|u'aux signes des radicaux qui conviendront aux circonstances particulières de chaque Problème, au lieu qu'en faisant disparaître les fractions et les radicaux, pour avoir l'équation ordonnée suivant les différentes puissances entières de l'inconnue, on introduit souvent des racines étrangères à la question proposée. 11 est vrai que ces racines appartiennent toujours à la même question considérée dans toute son étendue; mais cette richesse de l'Analyse algébrique, quoique très-précieuse en elle-même et sous un point de vue général, devient incommode et onéreuse dans les cas particuliers où l'on ne peut, par les méthodes directes, trouver la solution dont on a besoin, indépendamment de toutes les autres solutions possibles. Lorsque l'équation qui résulte immédiatement des conditions du Problème renferme des radicaux dont le signe est essentiellement ambigu, la courbe de celte équation (en y faisant le membre, qui doit être zéro, égal à l'ordonnée y) aura nécessairement autant de branches qu'il pourra y avoir de combinaisons différentes de ces signes, et pour la solution complète il faudrait considérer chacune de ces branches; mais cette généralité |teul être restreinte par les conditions j)arliculières du Problème, (|ui déterminent la branche où la solution doit se trouver : alors on a l'avanlaiii'

ili' ne poinl faire de ealouls iiuililcs, el eel avanlago "n'est pas nn des .moindres qii'oiïre la méthode de résoudie les équations par la eonsidération des courbes.

Mais cette méthode peut être encore généralisée, et rendue indépendante de l'équation même du Problème. Il sulfit, pour pouvoir l'employer, de considérer les conditions du Problème en elles-mêmes, de donner à l'inconnue différentes valeurs arbitraires, et de déterminer d'après ces conditions, soit par le calcul ou par une construction, les erreurs qui en résultent. Ces erreurs étant regardées comme ordonnées y d'une courbe donl les abscisses x seraient les valeurs correspondantes de l'inconnue, il en résultera une courbe continue, qu'on appellera la courbe des erreurs, et qui, par ses intersections avec l'axe, donnera également toutes les solutions du Problème. Ainsi, si l'on trouve deux erreurs successives, l'une en excès et l'autre en défaut, c'est-à-dire, l'une positive et l'autre négative, on en conclura sur-Ic-champ qu'entre ces deux valeurs correspondantes de l'inconnue il y en aura une pour laquelle l'erreur sera nulle, et dont on pourra approcher aussi près (}u'on voudra par des substitutions successives, ou même aussi par la description mécanique de la courbe.

Cette manière de résoudre les questions par les courbes des erreurs est une des plus utiles qu'on ait imaginées; elle est d'un usage continuel en Astronomie, où les solutions directes seraient trop difiicilcs et souvent impossibles; elle peut servir à résoudre des Problèmes importants de Géométrie et de Mécanique, et même de Physique : c'est, à proprement parler, la règle de fausse position prise dans le sens le plus général et rendue applicable à toutes les questions où il y a une inconnue à déterminer. Elle peut s'appliquer aussi à celles qui dépendent de deux ou plusieurs inconnues, en donnant successivement à ces inconnues difl'érentes valeurs arbitraires, et calculant les erreurs qui en résultent, pour les lier par différentes courbes ou les réduire en Tables; de .sorte que par cette méthode on peut parvenir immédiatement à la solution cherchée, sans aucune élimination préliminaire des inconnues.

Nous allons en faire voir l'usage par quelques Exemples.

On demande un cercle dans lequel on puisse inscrire un polygone dont tous les côtés soient donnés.

Ce Problème, mis en équation, monterait à un degré d'autant plus haut que le nombre des. côtés donnés serait plus grand. Pour le résoudre par la méthode dont nous venons de parler, on décrira d'abord un cercle à volonté, comme ABCD [fig. 3), et l'on portera dans ce cercle les côtés donnés

AB, BC, CD, DE, EF du polygone que je suppose ici, pour plus de simplicité, un pentagone.

Fig. 3.

Si l'extrémité F du dernier côté tombait en A, le Problème serait résolu; mais, comme il est très-difficile (jue cela arrive du premier ('ou[), on portera sur une ligne droite PR [fig. 4) I« rayon PA du cercle, et

Fie- l-

l'on élèvera au point A la perpendiculaire AF, égale à la corde AF de l'arc AF dans lequel consiste l'erreur de la supposition qu'on a laite sur la longueur du rayon PA. Comme cette erreur est un excès, il faudra

280 LEÇONS ÉLÉMENTAIRES décrire un cercli- d'un rayon plus grand, et faire la niônie opération, et ainsi de suite, en essayant des cercles de difTérentes grandeurs. Ainsi le cercle dont le rayon est PA' donnera l'erreur FA', laquelle, tombant de l'autre coté du point A', devra être censée négative; par conséquent, dans \à fig. 4, à l'abscisse PA' il faudra appliquer l'ordonnée A'F' audessous de l'axe. De celte manière on aura plusieurs points F, F, ... , qui seront dans une courbe dont l'intersection R avec l'axe PA' donnera le vrai rayon PR du cercle (]ui satisfera à la question, et l'on trouvera cette intersection en resserrant successivement les points de la courbe qui se trouveront de côté et d'autre de l'axe, comn)e F, F',

D'un point dont la position est inconnue, on a observé trois objets dont les distances respectives sont connues, et l'on a détermine les trois angles formés par les rayons visuels, menés de l'œil de l' observateur à ces trois objets. On demande la position du lieu de l' observateur par rapport aux mêmes objets.

Si on lie les trois objets par des lignes droites, il est visible que ces trois droites avec les trois rayons visuels formeront une pyramide triangulaire dont la base sera donnée, ainsi que les trois angles qui forment l'angle solide du sommet auquel l'observateur est supposé placé, et la (juestion sera réduite à déterminer les dimensions de cette pyramide.

Comme la position d'un point dans l'espace est entièrement déterminée par ses trois distances à trois points donnés, il est clair que le Problème sera résolu, si l'on détermine les trois distances du point où est l'observateur à chacun des trois objets : or, en prenant ces distances pour inconnues, on aurait trois équations du second degré qui, par l'élimination, donneraient une équation finale du huitième degré; mais, en prenant pour inconnues une des distances et les rapports des deux autres à celle-ci, l'équation finale ne sera que du quatrième degré. On pourrait donc résoudre ce Problème rigoureusement par les méthodes connues; mais, la solution directe étant compliquée et peu commode pour la pratique, voici celle qu'on pourra trouver par la courbe des erreurs.

sua LES MATHÉMATIQUES. 281

Soient faits {fig. 5) les trois angles successifs

APB, BPC, CPD,

ayant le même sommet P, égaux respectivement aux angles observés entre le premier objet et le second, entre le second et le troisième, cl

Fig. 5.

entre le troisième et le premier; et soit d'abord prise la droite PA à volonté, pour représenter la distance de l'observateur au premier objet. Comme la distance de cet objet au second est supposée connue, si elle est égale à la ligne AB, on la portera en AB, et l'on aura ainsi la distance BP du second objet à l'observateur. De même, on portera en BC la distance BC du second objet au troisième, et l'on aura la distance PC de cet objet à l'observateur. Maintenant, si l'on porte en CD la distance du troisième objet au premier, on aura de nouveau PD pour la distance (lu premier objet à l'observateur; par conséquent il faudra, pour que la première distance supposée soit exacte, que les deux lignes PA, PD soient égales. Prenant donc sur la ligne PA, prolongée s'il est nécessaire, la partie PE = PD, si le point E ne tombe point en A, la différence EA sera l'erreur de la première supposition PA. Ayant tiré [fig. 6)

rif!. G.

la droite PR, on y prendra depuis le point fixe P l'abscisse PA, et Ton

y appliquera, à angle droit, l'ordonnée KA: on aura le point K de la

282 LEÇONS ELEMENÏAIKKS

courbe ERS des erreurs. En prenant d'autres distances à la place de PA, et faisant la même construction, on trouvera d'autres erreurs qu'on appliquera de même sur la ligne PR, et qui donneront d'autres points de la même courbe.

On pourra donc décrire ainsi celte courbe par plusieurs points, et le point R où elle coupera l'axe PR donnera la distance PR, dont l'erreur sera nulle, et qui sera, par conséquent, la véritable distance de l'observateur au premier objet; cette distance étant connue, on aura les deux autres par la même construction.

Il est bon de remarquer que la construction dont il s'agit donne, pour cliaque point A de la ligne PA, deux points B et B' dans la ligne PB; car, puis(|ue la distance AB est donnée, pour trouver le point B, il n'y a qu'à décrire du point A comme centre, et avec le rayon AB, un arc (le cercle (|ui coupera la droite PB en deux [xtints B et B', lesquels salisteront tous les deux aux conditions du Problème. De la même manière, cbacun de ces points en donnera deux sur la droite PC, et cliacun de ceux-ci en donnera aussi deux sur la droite PD; d'où il suit que clia(|ue point A, pris sur la première droite PA, en donnera généralement huit sur ia droite PD, (|u'il faudra donc considérer séparément et successivement pour avoir toutes les solutions possibles. J'ai dit ij^rneralement ; car il est possible : i" que les deux [)oints B, B' se réunissent en un seul, ce qui aura lien lorsque le cercle décrit du centre A avec le rayon AB toucliera la droite PB; 2° que ce cercle ne coupe poitit la droite PB, au(]uel cas le reste de la construction devient impossible, et il faudra dire la même cbose des points C, D. Ainsi, en menant la ligne; GF parallèli! à BP, et éloignée de celle-ci d'une distance égale à la ligne donnée AB, le point F où elle coupera la ligne PE, prolongée s'il est nécessaire, sera la liniilc au delà de la<|iiell(! il ne faudra point prendre les points A pour avoir des solutions possibles. On aura de même des liniites pour les points B et C, les(|nelles serviront à restreindre les suppositions primitives qu'on |)ourrait faire sur la distance PA.

Les liuil points D, <\m dépendent en général de cbaque point A, ré-

pondent aux huit solutions dont le Problème est susceptible, et, lorsqu'on n'a aucune donnée particulière par laquelle on puisse déterminer laquelle d^ ces solutions convient au cas proposé, il est indispensable de les chercher toutes, en employant pour chacune des huit combinaisons une courbe particulière des erreurs. Mais, si l'on sait, par exemple, que la distance de l'observateur au second objet est plus grande ou plus petite que sa distance au premier, il ne faudra prendre alors dans la ligne PB que le point B dans le premier cas, ou le point B' dans le second, ce qui diminuera les huit combinaisons de moitié. Si l'on avait la même donnée sur le troisième objet, relativement au second, et sur le premier, relativement au troisième, alors les points C et D seraient déterminés, et l'on n'aurait qu'une solution unique.

Ces deux Exemples peuvent suffire pour montrer l'usage de la méthode de ces courbes dans la résolution des Problèmes; mais cette méthode, que nous n'avons présentée que d'une manière pour ainsi dire mécanique, peut aussi être soumise à l'Analjse.

En effet, tout se réduit à décrire ou faire passer une courbe par plusieurs points, soit que ces points soient donnés par le calcul ou par une construction, ou même par des observations ou des expériences isolées et indépendantes les unes des autres. Ce Problème est, à la vérité, indéterminé; car on peut, à la rigueur, faire passer par des points donnés une infinité de courbes différentes, régulières ou irrégulières, c'està-dire soumises à des équations, ou tracées arbitrairement à la main; mais il ne s'agit pas de trouver des solutions quelconques, mais les plus simples et les plus aisées à employer.

Ainsi, s'il n'y avait que deux points donnés, la solution la plus simple serait une ligne droite qu'on mènerait par ces points. S'il y a trois points, on pourrait faire passer par ces points un arc de cercle, qui est, après la droite, la ligne la plus facile à décrire.

Mais, si le cercle est la courbe la plus simple par sa description, elle ne l'est pas par son équation entre les abscisses et les ordonnées rectangles. Sous ce dernier point de vue, on peut regarder comme les plus simples les courbes dont l'ordonnée est exprimée par une fonction cn-

lièie cl lationnelle de l'abscisse, telle que

)■ =: a + bx -+■ ex'' -+- dx^ -h . . . ,

y étant l'ordonnée et x l'abscisse. Ces sortes de courbes s'appellent en général paraboliques, parce qu'on peut les regarder comme une généralisation de la parabole, qui a lieu lorsque l'équation n'a (jue les trois premiers termes. Nous en avons déjà montré l'usage dans la résolution des équations; mais leur considération est toujours utile dans la description approchée des courbes; car on peut toujours l'aire passer une ' courbe de ce genre par tant de points qu'on voudra d'une courbe proposée, puisqu'il n'y a qu'à prendre autant de coelficicnls indéterminés a, h, c, . . . qu'il y a de points proposés, et déterminer ces coelRcients de manière que les abscisses et les ordonnées, pour ces points, soient données. Or il est clair (jua, quelle que puisse être la courbe proposée, la courbe parabolique ainsi tracée en difi'érera toujours d'autant moins (|ue le nombre des points donnés sera plus grand, et leur distance moindre.

.Newton est le premier qui se soit proposé ce Problème; voici la solution qu'il en donne :

Soient P, Q, R, S, . . . les valeurs des ordonnées y qui répondent aux valeurs /^ y, r, s,... des abscisses x; on aura les équations suivantes

V = a + bp -\- cp'' + (Ip"" -h . . . , Q — a -h bq -h cq^ -h dq' -\- . . . ,

Il = « -)- br -h cr^ -+- (h' -(-...,

le nunibi'ede ces équations devant être égal à ((diii îles coellicients indéterminés «, Ij, c Soustrayant ces équations l'une de l'autre, les restes

seront divisibles par fj —p, r — q,..., et l'on ani'a, a[ircs la division,

-^^ = b + c(q -^- p) -h d{q' ■+- qp -+■ p'] -h . . .,

-^- = h -+■ c.r + q) -h d[r- -h rq + q- ] ^ . . . ,

r—q '■Il

SUR LES MATHEMATIQUES. iSo

Soit

011 Irouvera de la même manière, par la soustraction et la division,

/■ — /) ■ If'

Soit de même

'^'-^' R. ^.^:Jii=.s.

on trouvera

et ainsi de suite.

On trouve, de cette manière, les valeurs des coelficients a, b, c,. . . . à commencer par les dernières, et, les substituant dans l'équation générale

)• = « -h bx -+- ex' H- clx^ -(-...,

il viendra, après les réductions, cette formule, qu'il est aisé de continuer aussi loin qu'on voudra,

r= P-i-Q,(a; — /;) -+-Rs(a- — p) [x — q) -^ ?>,{x — p] [x — q) [x — r) +

Mais on peut réduire cette solution à une plus grande simplicité par la considération suivante.

Puisque y doit devenir l', Q, R,..., lorsque x devient [), q, r, — il est aisé de voir que l'expression de y sera de celte forme

y=k? + RQ + CR + DS +. . . ,

où les quantités A, B, C, . . . doivent être exprimées en x, de manière

(pi'i'ii fiiisanl a =/; on ail

»|iic (le inéiiie, ou faisant x = q, on ait

A r= o, B = I , C = o, 1) = o, ... ; (ju'en faisant .r- = /•. on ait pareillement

A=o, B = o, C=i, J) = o, ..., etc.;

d'où il est facile de conclure (|ne les valeurs de A, B, (.'.,... doivent être

de cette forme

en prenant autant de facteurs, dans les numérateurs et dans les dénominateurs, qu'il y aura de points donnés de la courbe, moins un.

Celle dernière expression de j, quoique sous une forme différente, revient cependant au même, comme on peut s'en assurer par le calcul, en développant les valeurs des (juantités Q,, Ro, Sj,..., et ordonnant les termes suivant les quantités P, Q, R,...; mais elle est préférable par la simplicité de l'Analyse sur laquelle elle est fondée, et par sa forme même, qui est beaucoup plus commode pour le calcul.

On pourra donc, par celle formule, qu'il ne serait pas dillicile de réduire à une construction géométrique, trouver la valeur de l'ordonnée y pour une abscisse quelconque x, d'après les ordonnées connues P, Q, R,... pour les abscisses données/?, q, r, . . . . Ainsi, ayant plusieurs termes d'une série quelconque, on pourra trouver tel ternie intermédiaire qu'on voudra, ce qui est fort utile pour remplir les lacunes qui pourraient se trouver dans des suites d'observations ou d'expériences.

ou dans des Tables calculées par des formules ou des constructions données.

Si maintenant on applique cette théorie aux deux Exemples proposés ci-dessus et aux Exemples semblables, dans lesquels on a les erreurs (jui répondent à diflerentes suppositions, on pourra trouver directement l'erreur vqui répondra à une supposition quelconque intermédiaire x, en prenant les quantités P, Q, B, . . . pour les erreurs trouvées, et p, q, /•,... pour les suppositions d'où elles résultent. IMais, dans ces Exemples, la question étant de trouver, non pas l'erreur qui répond à une supposition donnée, mais la supposition dont l'erreur serait nulle, il est clair que cette question est l'inverse de la précédente, et qu'elle peut se résoudre aussi par la même formule, en prenant réciproquement les quantités p, q, /',... pour les erreurs, et les quantités P, Q, R, . . . pour les suppositions correspondantes : alors j- sera l'erreur de la supposition jk; par conséquent, en faisant x = o, la valeur de y sera celle de la supposition dont l'erreur sera nulle.

Soient donc P, Q, R,. . . les valeurs de l'inconnue dans les différentes suppositions, eip, q, r,... les erreurs qui résultent de ces suppositions, en donnant à ces quantités les signes convenables; alors on aura pour la valeur de l'inconnue dont l'erreur sera nulle l'expression

AP + BOh-CU-i-....

dans bxiuelle les valeurs de A, B, C,... seront

en prenant autant de facteurs (ju'il y aura de suppositions, moins un.