ela posé, si l'on ajoute ensemble les deux équations

B rt — A m = ± I , el mb — an -- zp i ,

on aura

•» > ,11, . B — n m [B — n)a— [A — b) ni=:o, savoir r = —

Or, la fraction — étant réduite à ses moindres termes, la fraction -j ?

ne peut lui être égale, à moins que le numérateur B — n et le dénominateur k — b ne soient équimultiples de m et a. On aura donc nécessairement, en prenant pour X un nombre entier indéterminé,

B — n = lm, A — b^la; donc « = 6 — Xw, 6 = A — /«.

Or, n devant être <<m et b<Ca, il est clair qu'on ne pourra prendre pour n ei h que les restes des divisions de B par m et de A par a, et X sera alors le quotient commun de ces divisions. Ainsi, connaissant les

deux premières fractions ^? —■> on pourra trouver de cette manière la

troisième j- De même, les équations

mb + rt« = qz I et ne — bp ^^±i,

étant ajoutées ensemble, donnent

[m — p] b — [a — c)n^^o, savoir ^ = r'

d'où l'on tirera, de la même manière,

m — p :^ fxn, a — c =^ [xb,

,y. étant un nombre quelconque entier.

On aura ainsi /> = m — [in, c=^ a — (x6; et, comme /> doit être <// et c < è, il s'ensuit que /> 'et c ne pourront être que les restes des divisions de m par n et de a par h, et que \i. sera leur quotient commun.

On tirera pareillement des deux équations

ne — pb^= ±1, pd — (■(] ^ zp i

ces deux formules

q ^ n — V p, <l = b — vc,