Nous venons de trouver les formules

« = 15 — }.ni, j) = m — [j.n, <j =: n — v/;, . . . , 6 = A — TiO, c = a ^ ah, d = b — vc, ....

Si l'on substitue ces valeurs dans les expressions des nombres N, P, Q.... du n" 19, il viendra, à cause de Bri — \m =; ± i , on ôtanl l'ambiguïté des signes qui afl'eclenl tous les termes,

N=rX, I>=I-4-fJlN, Q=:N-|-'./P,

R = P-4-raQ, S = Q + pI{,

Ibrniules (|ui l'ont voir (jue les nombi'cs N, P, Q,... vont nécessaiiement en aui^mentant, landis (pie les iionibi'es a, h, c, c/,... el //i, n, p, y,... vont en diminuant.

Ces formules peuvent aussi servir h déterminer directement la valeni' de ces nombres lorsque les coelïicients À, 'j., v,... seront connus; el ces mêmes nombres N, P, Q,... serviront à exprimer d'une manière simple

les diirércnces des fractions —■, j^--- et de la fraction -r- (19).

22. Maintenant, comme les nombres m, n, j> ainsi que les nombres a, b, c doivent aller en diminuant, il est évident que par la

continuation des mêmes opérations on parviendra à des termes nuls.

Supposons donc, j)ar exemple, qu'on ait /= o; alors l'équation //— e.ç = zp I (19) deviendra — c.î = r;: i ; donc il faudra prendre le signe supérieur et faire e =^ \ , s — i .

Donc l'équation 15/ — A* — rp S du même numéro deviendra, en prenant le signe supérieur, — A = - S, savoir, S = A.

SLR LA TRANSFOKM ATION DES FRACTIONS. 307

Ensuite l'équation (|ni la piécède, Bc — Ar= ±R, donnera B — Ar=R; donc, |)uistjiK' B est <A, pour que R soit positif, il faudra faire /•= o, et l'on aura R = B.

23. Ayant ainsi les valeurs des deux derniers termes de la série X, P, Q,..., on pourra trouver les valeurs de tous les précédents, ainsi que telles des nombres >., a, . . . , par les formules du n" 21 ,

/ = N, i = P — uN, N = Q-vP, P = R-roQ, Q=S — pR,

En effet, ayant trouvé S = A et R = B, on aura Q = A — sB; mais Q doit être <R, par l'équation P = R — wQ; donc, Q devant être < B, il est visible que Q ne pourra être que le reste de la division de A par B, et o en sera le quotient; ainsi l'on aura Q.

Ensuite l'équation P = R— ctQ = B — ??Q fait voir de même (à cause que P doit être < Q par l'équation qui précède, N = Q — vPj que P ne peut être que le reste de la division de R par Q, et que zs en sera le quotient.

Pareillement l'équation N = Q — vP, dans laquelle N doit être < P en vertu de l'équation i = P — ij.N qui précède, fait voir que N ne peut être que le reste de la division de Q par P, et que v en sera le quotient.

Enfin l'équalion i = P — y.N donnera [j. = ^.^ > et l'équation /. == N donnera la valeur de /..

24. Les nombres X, fx, v, w,... étant ainsi connus, on pourra trouver directement les nombres m, n, /;,..., et a, b, c, d,..., par le moyen des formules du n° 21.

En effet ces formules donnent

«=fjLft-t-c. b:=vc + d, (■:=u}d-^-e, d:=pe + f, ...;

et, comme on a trouvé f22 /"= o, e = i , ^ = i , / -— o. on aura, en remontant successivemeiil, les valeurs de (t, c, b, a et y, />. n, ni.

Mais 011 peut faire toules ces opérations à la fois, comme on lo voit par l'exemple suivant.

■27i. Soit |)roposée la fraction — ^i en sorte que l'on ait A = iio3 ' '^ iio3 '

et B = 887; on disposera le calcul ainsi :

lA-

oBr=

I io3

oA -

iB=^

lA —

iB =

ii5A —

igSA -

io3B =^

Les deux premières équations sont toujours lA — oB = A et oA — iB = — B. Pour en déduire la troisième, on cherclie combien B est contenu en A; ici c'est une fois, et l'on met i à coié de la seconde équation; ensuite on ajoute cette équation, multipliée par le même nombre i, à la précédente, et l'on aura la troisième équation lA ~iB = 216. On cherche de nouveau combien le nombre 216 est contenu dans le précédent 887, c'est 4 fois; ainsi l'on met 4 à coté de celte équation, et le produit de cette équation par 4. ajouté à la précédente, donnera la suivante 4 A — 5B = — 23, et ainsi de suite.

On voit d'abord, par ce procédé, que les nombres de la troisième colonne sont les restes, et ceux de la quatrième les (juotients des dilFcrentes divisions qui ont lieu dans l'opération connue pour chercher le plus grand commun diviseur des deux |)remiers nombres de la troisième colonne; de sorte que, ces nombres étant supposés premiers entre eux, il s'ensuit qu'on doit nécessairement parvenir à un reste égal à l'unité, ce qui donnera sur-le-champ une écjualion de la forme mA — ali = ±: \;

ainsi, on aura nécessairement de cette manière une solution de celte équation, et par conséquent des valeurs convenables de m et a, d'où l'on pourrait tirer successivement celles de n, p, (/,... et de h, c, cl,.... par la méthode du n° 20.

26. Mais, en rapprochant ces opérations de celles auxquelles notre analyse nous a conduits ci-dessus (23;, il est facile de voir que les coelfi-

cients de A dans la première colonne sont tous les nombres»?, n,p

et les coefficients de B dans la seconde colonne sont les nombres correspondants a, b, c,..., ces nombres étant disposés à rebours; en sorte (|ue les premiers m et a soient les avant-derniers, savoir, iqS et a4B.

On doit voir en même temps que les nombres qui forment la troisième colonne sont les nombres i, N, P, Q. ..., disposés aussi à rebours et pris alternativement en plus et en moins, de manière qu'on aura N = 4. P = 5, Q = 9

Enfin les nombres de la quatrième colonne seront les nombres /., a. V, . . . , pris également à rebours; en sorte que l'on aura ) = 4. /-i = i .

Ainsi l'on aura tout de suite les fractions les plus approchantes de la fraction donnée, et conçues en termes toujours plus petits, en suppo-

sant la troisième colonne nulle et prenant successivement pour - les

valeurs qui résultent de cette supposition.

88'- Dans le cas de l'Exemple précédent, où la fraction donnée est — ^2'

les fractions convergentes seront donc

iq3 ii5 78 37 4 I o y.40 143 97 4*^ ^ ' '

et les équations iqS A — a/joH = — i, 1 15 A — i43B = /j, . . . font voir que l'erreur de la première de ces fractions est en excès, celle de la seconde en défaut, et ainsi de suite.

Si l'on voulait avoir une première fraction en défaut, on prendrait (I61

hi Iraclion — 'n ^5 savoir ô^J, oI, si 1 on vouhiil de ineiiio avoir uno

1 io3 — 240 obi

seconde Iraetion on excès, on prendrait la IVaction -4 jr.t savoir

— , cl ainsi des autres.

27. \n reste, si l'on met les formules du n" 21 sous la roriui!