I' .0 N R PS
iv f-^r F=''+d' n^-^+M' iï=P+n' ••'
m auia, par la substitution successive,
= ro-f-
CJ +
ilr sorte que, comme les deux derniers tenues de la série N, P, Q,...
sont ei^aux à B et A (22), il s'ensuit que la fraction ^ se trouvera ainsi
réduite a une fraction continue, dont les dénominateurs successifs seront les nombres X, a, v,... pris à rebours, et par conséquent les nombres mêmes de la cinquième colonne dans la Table du n" 25.
Ainsi la fraction — '- de l'Exemple de ce numéro se réduit à celle
Iraclion continue
et celle fraclion, étant coupée successivement au premier dénominateur, au second, au troisième, etc., donne les mêmes fractions convergentes
trouvées ci-dessus, -? J' tf' — I 040
28. C'est par le moyen des iractions continues qu'on a coutume de résoudre le Problème des fractions les plus convergentes vers une fraclion donnée. On commence par réduire celte fraction en fraction continue, en faisant sur le numérateur et le dénominateur l'opération connue pour trouver le plus grand commun diviseur, et prenant les quotients de ces divisions successives pour les dénominateurs de la fraclion continue; ensuite on en déduit les fractions convergentes par des formules
semblables à celles du n" 24. La fraction — ^^ traitée de cette manière.
I lOJ
donne les quotients i, 4. 9» 2, i, 1, /j, et l'on en forme immédiatement cette suite de fractions,
I o I 4 37 78 ii5 i;)3 887 01 I 5 4*^ 97 '4^ a4o iio3
dont chacune est composée des deux précédentes, en prenant pour numérateui' la somme du numérateur précédent, multiplié par le nombre de la série des quotients qui est placé au-dessus, et du numérateur qui précède cidui-ci^; et de uièuie. pour dénominateur, la somme du detniminaleur précédent, multiplié par le même nombre, et du dénominateur (|ui précède ce dernier.
Mî ESSAI D'ANALYSE NUMÉRIQUE
29. Mais on peut déduire de nos formules un aulre procédé pour parvenir directement à une quelconque des fractions convergentes par le moyen d'une seule série. Pour cela, je considère les équations du n" 21 .sous cette forme,
B = Im -h II, m = an -f- p, n -^vp + q, . . . , A = >.fl -(- A, a =z fj.b -h c, b = j/c -{- (/, . . . ,
cl j'observe que les valeurs de B et A dépendent des quantités ),, p., V, . . . , comme celles de m et a dépendent des quantités [x, v, zs, . . . , et celles de n el b dépendent de v, sr, . . . , ce quH est évident par la forme même de ces équations. D'un autre côté, si l'on considère la série des nombres N, P, Q, . . , et qu'on y ajoute au commencement les deux nombres L = o et M = i , on a, par les formules du n" 21 ,
N XM-t-L, P=fxN-i-M, Q = vl>-f-N, H = crQ -f- 1', ...;
or on a vu '22) que les deux derniers termes de cette série sont nécessairement les nombres B et A; donc, si dans ces formules on cbange les nombres X, p., v, . . . en fi, v, ro, . . . , les deux derniers termes de la série seront met a; de sorte que l'on aura immédiatement la première fraclion convergente — > par les deux derniers termes de la .série
L = o, M=i, N=pM-f-L, P vN-»-M, UizroP-f-N
et, par la même raison, on aura la seconde fraction convergente t» en prenant pour n et b les deux derniers termes de la série
L=o, M=rl, N=:vMH-L, Pr^wN-f-M, ...,
et ainsi de suite; les nombres X, p., v, . . . étant les dénominateurs de la fraction continue, pris à rebours, c'est-à-dire à commencer par le dernier.
30. Ainsi, avant trouvé pour la fraction — ^ cette suite de quotients
' I io3 '
ou (le (lénominalcurs i, /|, <), 2, i, i, 4. on |t<)iinii former les séries suivantes :
(), I, 4' 5» ;)• "3, 216, 88-, iio3,
o, I, 1 , 3, 28, 1 15, 143, elc,
où chaque terme est composé du terme précédent multiplié par le nombre qui est au-dessus, et de celui qui le précède; et l'on voit que la première série redonne les deux termes de la fraction proposée, que la seconde donne les deux termes de la première fraction convergente
^) que la troisième série donne les termes de la seconde fraction
1 15 convercente ^» et ainsi do suite. Les nombres placés au-dessus des ^ 143
termes de ces séries sont, comme l'on voit, les dénominateurs de la
fraction continue, écrits par ordre à commencer du dernier, ou de l'a-
vant-dernier, ou du second avant le dernier, etc.
31. Nous avons considéré le Problème de la réduction des fractions à d'autres plus simples, d'une manière générale, et nous avons dérivé d'un même principe la théorie des fractions décimales, considérée dans un système quelconque de numération; la théorie d'une autre espèce de fractions peu connues, que feu Lambert a, je crois, proposées le premier, et qui ont l'avantage singulier de former des suites plus convergentes qu'aucune série géométrique; enfin la théorie des fractions continues, qui avait toujours été traitée jusqu'ici d'une manière isolée. Le seul objet de cet écrit a été de montrer comment ces différentes théories pouvaient être rapprocliées et présentées sous un même point de vue.
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SIK LE
