DES VITESSES VIRTUELLES
quilibre où la doscento du poids serait la plus petite au lieu d'être la |)lus grande. Sur quoi voyez la Mccaniqitc analytique.
Cela posé, supposons, pour plus de simplicité, que l'extrémité fixe de la corde soit attachée à la première moufle lixc, et que l'autre l)0ut de la corde porte le poids, après avoir passé sur la poulie de renvoi fixée à la dernière moufle fixe. Soient a; la distance entre les deux premières moufles, l'une fixe et l'autre mobile, d'où résulte la force aP. y la distance entre les deux autres moufles qui produisent la force />P, :; la distance entre les moufles qui produisent la force cP, et ainsi de suite. Soient de plus / la distance entre les deux premières poulies de renvoi, g la distance entre la seconde et la troisième, /* la distance entre la troisième et la quatrième, et ainsi de suite; enfin soit u la portion de la corde interceptée entre la dernière poulie de renvoi et le
poids -■> attaché à son extrémité. Il est facile de voir que, comme il
y a la cordons qui joignent les deux premières moufles, la longueur totale de la corde qui embi'asse ces moufles sera aaa;; de même la longueur totale de la portion de la corde qui embrasse les deux moufles suivantes sera ^by, et ainsi de suite; nous faisons abstraction ici du diamètre des poulies, qu'on peut supposer aussi petit qu'on voudra. De plus les portions de la corde qui se trouvent entre les poulies de renvoi seront/, g,--.; donc, ajoutant à toutes ces parties la dernière portion u de la corde, on aura
pour la longueur totale de la corde, que nous désignerons par/. De là nous tirons
« =: / — f — g — h — . . . — "înx — iby — nez — ....
Dans cette équation, les quantités /, /, g, /«,... sont constantes et données, ainsi que les nombres a, b,c,..., par la nature du système;
les distances x, y, :■,... sont des variables qui dépendent de la position
du système, et la quantité u détermine la descente du poids --, la(|uelle
a-20 SUR LE PRINCIPE
(levant ùlre la plus p;ran(le dans Télat d'ocuiilibre du système, il faudra que u soit alors un maximum.
Ainsi l'on aura en général, pour l'équililtrc du système, soit que la (|uantité u soit un maximum ou un minimum, la condition
h'= o, el par conséquent ■}.ax'-\- -îby' + ■}.cz'-\-. . .= o,
les fonctions primes x' ,y' , z ,. . . se rapportant à chacune des variables d'où dépendent les quantités x, y, z.
I/équalion précédente, étant multipliée par — » devient
nPx'-h bP)'-i- cPz'-{- . . . = 0,
équation générale du principe des vitesses virtuelles pour un système de points tirés par les forces aP, bV, cP, .... suivant les directions des lignes X, y, z,. .. , puisque les fonctions primes x' , y', =',... ne sont autre chose que les vitesses que les points du système pourraient recevoir, suivant la direction de ces mêmes lignes, par un changcmenl (luelconque de position du système. \Voir le n" 210 (*) de la Thcorie des fondions, auquel ce que nous venons de dénioiilicr |)cul servir de supplément. '
Quoicjue la démonstration précédente suppose la commensurabilité des puissances, elle n'en est pas moins générale pour des puissances (juelconques, el il ne serait pas difficile de l'appliquer aux puissances incommensurables par les raisonnements connus; mais nous ne nous y arrêterons pas.
.l'ajouterai seulement, par rapport aux cas d'é(juilibre où la descente du poids serait un minimum, que ces sortes d'équilibres peuvent toujours se ramener à l'équilibre du maximum, en prenant les forces dans des directions contraires à leurs directions propres; car on sait que, si
(*) Il s'agit ici de la première édition de la Théorie des fnnctions. (f oir le n" 30 du Cliapilre V de la troisième Partie de l'Ouvrage, pour la deuxième édition.)
{Note de l'Édileitr.]
DKS VITESSRS NIlîTlELLKS. 321
des forces se font équilibre dans un syslèuie quelconque, l'équilibre subsistera encore en donnant aux mêmes forces des directions opposées, pourvu qu'il n'en résulte aucun dérangement dans le système, c'està-dire que les corps ou points, qui par la nature du système doivent être contigus ou à des distances données, soient obligés de conserver leur position respective après le cbangement de direction des forces; et il est facile de prouver que, si la descente du poids était un maximum dans le premier état, elle ne sera plus qu'un minimum après ce changement, et, réciproquement, qu'elle deviendra un maximum si elle était un minimum.
